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Definición 3.3.1

a) Una esfera es un subconjunto deR3formado por los puntos cuya distancia a un punto fijo (centro) es menor o igual que una cierta cantidad r (radio). Es decir, es el conjunto deR3definido por

E ={(x, y, z)∈ R3: (x− x0)2+ (y− y0)2+ (z− z0)2≤ r2

} (r > 0 es el radio de la esfera y (x0, y0, z0) el centro de la misma).

b) La superficie de una esfera de centro en el punto (x0, y0, z0) y radio r > 0 es el subconjunto deR3

definido por

S ={(x, y, z)∈ R3: (x− x0)2+ (y− y0)2+ (z− z0)2= r2

}

Observación 3.3.2 Cuatro puntos no coplanarios del espacio euclídeoR3definen una superficie esférica y sólo una. ₂

Proposición 3.3.3 La intersección de un plano con una esfera de radio r es un círculo que tiene por radio

r′=√r2_{− d}2_{siendo d la distancia del centro de la esfera al plano de corte.}

DEMOSTRACIÓN. Ejercicio. ₂ Definición 3.3.4

a) Un círculo máximo es la intersección de una esfera con un plano que contiene el centro de dicha esfera; la palabra “máximo” se refiere a que se trata de un círculo de radio r (véase la Proposición3.3.3), que es el mayor posible en la esfera. Con un abuso de lenguaje, es a la circunferencia que delimita un círculo máximo a la que se denomina círculo máximo. Si el plano no pasa por el centro de la esfera entonces éste la intersecta en un círculo menor; análogamente, se usa la expresión círculo menor para denominar a la circunferencia que lo delimita.

b) Cada círculo máximo define dos puntos sobre la esfera que se llaman sus polos: son los extremos del diámetro perpendicular al círculo máximo (dicho de otro modo: el círculo máximo está dado por la intersección de un plano –que pasa por el centro– con la esfera; los polos son los puntos de intersección de la recta perpendicular al plano por el centro con la esfera). ₂

Ejemplo 3.3.5 Los polos del ecuador son, precisamente, los polos norte y sur. ₂ Definición 3.3.6

a) Diremos que dos puntos son antipodales si son extremos de un mismo diámetro.

b) Dados dos puntos A y B de la esfera, existe un círculo máximo (único, salvo que los puntos sean antipo- dales, en cuyo caso hay infinitos) que pasa por ambos (basta considerar el plano que pasa por A, B y el centro de la esfera). Se define la distancia esférica entre dos puntos A y B como el menor de los arcos de extremos A y B del círculo máximo que pasa por ellos. ₂

Observación 3.3.7

a) La distancia esférica entre cada punto de cada círculo máximo y sus polos es 90◦.

b) La longitud de arco ℓ correspondiente a una distancia esférica α en una esfera de radio r es

ℓ = αr π

180.

En el caso particular de que r = 1, se tiene que ℓ = α π 180. 2

Proposición 3.3.8 Un arco de círculo máximo es la distancia más corta sobre la esfera entre dos puntos

de la esfera.

DEMOSTRACIÓN. Vamos a demostrar únicamente que, dados dos puntos en la esfera, el arco de circunfe- rencia que proporciona la menor distancia entre ellos es el que sigue el círculo máximo que los une. Basta probar que, para una longitud de cuerda fija 2c, la longitud de arco más corta es la correspondiente al radio más grande o, lo que es lo mismo, al arco 2β más pequeño (véase la Figura3.4); esto es, que la longitud de un arco de cuerda fija es una función creciente del arco.

Ahora bien, expresando β en radianes, puesto que la longitud de arco viene dada por

ℓ(β) = 2βr = 2β c

sen β = 2c

β

sen β derivando esta función de β obtenemos

ℓ′(β) = 2csen β− β cos β sen2_β .

Es fácil comprobar (hágase) que, si 0 < x ≤ π₂, entonces tan x > x. Esto prueba que ℓ′ es positiva en (0,π₂], es decir, la función ℓ es creciente en ese intervalo. 2

Elementos de Matemáticas y aplicaciones Trigonometría esférica 79

Figura 3.4: Longitud de arco.

Observación 3.3.9 (Comparación de la geometría en la esfera y la geometría en el plano)

La Proposición3.3.8indica que los círculos máximos juegan en la esfera el papel que juegan las rectas en el plano (son “el camino más corto entre dos puntos”). También se pueden definir los triángulos sobre la esfera (lo haremos más adelante; véase la Figura3.5) como el resultado de unir tres puntos “no alineados” (es decir, que no estén en un círculo máximo) mediante “rectas” (o sea, mediante círculos máximos). Los ángulos de un triángulo esférico serán los ángulos que forman los planos que contienen a cada lado (por ser un arco de círculo máximo, cada lado está en un plano que pasa por los vértices y el centro de la esfera). Esto permite definir una geometría (conocida como geometría esférica) que tiene algunas características especiales.

Veamos, en primer lugar, algunas cuestiones relativas a la geometría en el plano. La geometría usual en el plano es la conocida como geometría euclídea y se basa en los cinco postulados (o axiomas) que Euclides estableció en sus Elementos en el siglo III a.c. Los postulados se suelen enunciar como:

1) Por dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.

2) Cualquier segmento puede prolongarse indefinidamente.

3) Se pueden trazar circunferencias de centro y radio arbitrarios.

4) Todos los ángulos rectos son iguales.

5) Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta.

El quinto postulado siempre fue polémico, y mucha gente (al parecer, el propio Euclides) intentó de- mostrarlo a partir de los cuatro anteriores. Estos intentos llevaron a la aparición, en el siglo XVIII, de las geometrías no euclídeas, tras probarse que el quinto postulado no es consecuencia de los cuatro anteriores, pero su negación tampoco los contradice. La geometría esférica es un ejemplo de geometría no euclidea: en ella se cumplen los cuatro primeros postulados, pero no se cumple el quinto, puesto que dos rectas (es decir, dos círculos máximos) siempre se cortan en dos puntos (los extremos del diámetro intersección de los dos planos que los contienen) y, por tanto, no existen rectas paralelas. A continuación se recogen algunas de las diferencias entre la geometría en la esfera y la geometría en el plano:

PLANO ESFERA

Dos rectas en el plano son paralelas o se cortan en un único punto

Dos círculos máximos se cortan siempre en dos puntos de la superficie de la esfera

La suma de los ángulos de un triángulo plano es igual a dos rectos (180◦)

La suma de los ángulos de un triángulo esférico es va- riable y siempre mayor que dos rectos

Un triángulo plano solamente puede tener un ángulo recto

Un triángulo esférico puede tener dos o tres ángulos rec- tos

Dos perpendiculares a una recta son paralelas Dos círculos máximos perpendiculares a otro se cortan en los polos de éste

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta está formado por dos rectas paralelas a la dada

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de un círculo máximo está formado por dos círculos menores