CHAPTER 3 L1 WORD LEARNING AND PROCESSING
3.3 L1 Word Recall
56. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de chapa de acero de 3,2 mm de
espesor, de base circular que tenga una capacidad de 490 m3. Hallar sus
dimensiones de manera que la cantidad de chapa requerida (área de la superficie) sea mínima cuando el contenedor es (a) una contenedor abierto y (b) un
contenedor cerrado.
57. Un cable de 135 m de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un triángulo equilátero. Cómo debe cortarse el cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.
58. Se va a construir una caja rectangular abierta de chapa con extremos cuadrados
para que tenga una capacidad de 138 m3 a un costo de 930 $/m cuadrado para la
base y 670 $/m cuadrado para los cuatro lados. Hallar las dimensiones más económicas.
59. Se trata de construir una caja rectangular abierta a partir de una chapa de acero de 3,2 mm de espesor de 2 m de ancho y 8 m de largo cortándole un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Hállense las dimensiones de la caja de volumen máximo. No considere los 4 cuadrados de desperdicio.
60. Un cable de 18 m de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un cuadrado y con la otra un hexágono regular. Cómo debe cortarse el cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima y b) la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.
61. Hay que construir un silo en forma de cilindro rematado por una semiesfera. El costo de la construcción por metro cuadrado de área superficial es del 53 % más para la semiesfera que para el cilindro. a) Determínense las dimensiones que han de utilizarse si el volumen es fijo y el costo de construcción ha de ser el mínimo. Despréciense el espesor de la pared del silo y el desperdicio producido en la construcción. b) Determine las dimensiones si el silo tiene un volumen V=670 m³
62. Dada una lata cerrada de forma cilíndrica circular, cuyo volumen es de 4755 cm3. Determinar sus dimensiones para que el área del material utilizado para construir la lata sea mínima.
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63. Si la distancia OB es de 26700 m y la distancia OA es de 9070 m, siendo OB un camino consolidado donde el costo de transporte es de 1,73 u$s el km y AC un camino no realizado donde se debe seleccionar la traza y el costo por km es de 1,98 u$s. Seleccionar el recorrido más económico para ir de A a B.
64. En la ribera de un río de 0,85 km de ancho hay una planta eléctrica; en la otra ribera, a 8 km corriente arriba, hay una fábrica. Tender cables por tierra cuesta 13,5 u$s por cada m y hacerlo bajo el agua cuesta 36,3 u$s por cada m. ¿Cuál es la forma más económica de tender un cable desde la planta a la fábrica?. Sin usar cálculo, ¿Cuál sería (aproximadamente) la mejor ruta si L fuera muy grande?, ¿si L fuera muy pequeña?. Resuelva el problema con la ayuda del cálculo y trace las rutas para L=1/2, L=3/4, L=1 y L=2.
65. Una caja rectangular de base cuadrada ha de contener 32 cm3. El material de las
caras laterales cuesta el triple que el de la tapa y el de la base. Si la base tiene lado b y la altura es h, ¿cuánto cuesta la caja? Halle las dimensiones de la caja más económica.
66. Encuentre entre todas las cajas rectangulares sin tapa, con bases cuadradas y de
20000 cm3 de volumen aquella que tiene menos material para construirse.
67. Se debe agregar una valla a una pared de 27 m de largo, como se muestra en la figura. ¿Cuánto debe agregarse para maximizar el área del rectángulo si la valla adicional tiene una longitud de: a) 106 m, b) 159 m, c) 295 m?
68. Un recipiente cilíndrico está diseñado para contener 52 m3. El material de la base y de la tapa cuesta el 35% más que el de su cara lateral. Halle el radio y la altura del recipiente más económico.
69. Una casa en forma de caja rectangular tiene base cuadrada. Allí entra cuatro veces más calor por metro cuadrado a través del techo que a través de las paredes. ¿Cuál debe ser la forma de la casa para que tenga un volumen de 1244 m3 y haga mínima la entrada de calor? (se supone que no entra calor por el suelo)
70. La siguiente figura muestra dos pasillos que forman un ángulo recto. Uno de ellos tiene de ancho 2,8 m y el otro 3,3 m. Halle la máxima longitud de un tubo
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que pueda pasar horizontalmente por esa esquina.
71. Entre todas las cajas rectangulares cerradas con bases cuadradas y de 3540 cm3
de volumen. ¿En cuál se usa menos material?
72. Dos pasillos de 5,1 m y 6,6 m de ancho están unidos en un ángulo recto.
Determine la longitud de la varilla más larga que puede pasarse horizontalmente
de un pasillo a otro por esa esquina.
73. Si se cortan 4 cuadrados congruentes en las esquinas de una chapa de forma cuadrada que tiene 1,25 m de lado, y se doblan sus cuatro lados, se obtiene un cajón sin tapa ¿Cuál es el tamaño de los cuadrados que se cortan para obtener un cajón de máximo volumen?
74. Una caja de base cuadrada y sin tapa debe contener 12357 cm3. Hállense las
dimensiones que requieren la menor cantidad de material. Despréciense el espesor del material y los residuos.
75. La rigidez de una viga rectangular es proporcional al producto de su anchura por el cubo de su altura, pero no está relacionada con su longitud. Hállense las proporciones de la viga más rígida que puede cortarse de un tronco de diámetro 47 cm.
76. Un río tiene un codo de 124º, como muestra la figura. Un empresario desea construir un corral limitado en dos lados por el río y en los otros dos por 17,4 m
de valla ABC, como se muestra en la figura. Halle las dimensiones del corral de área máxima
77. Un depósito abierto de base cuadrada y lados verticales ha de construirse con
una cantidad dada de material (43 m2 ). Determínese sus dimensiones si el
volumen es máximo. Despréciense el espesor del material y los residuos. 78. Un granjero quiere construir un corral rectangular y dividirlo por una valla
paralela a uno de los lados. Dispone de 176 m de alambre. ¿Cuáles son las dimensiones del corral de área máxima que puede encerrar?
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79. Se trata de hacer una pileta como la de la figura, con una chapa de 16 m de longitud y 9 m de anchura. La pileta se hace doblando hacia arriba tiras de 1,65 m de anchura hasta formar ángulos iguales con la vertical, exprésese el volumen de la pileta en términos del ángulo. Hállese el máximo volumen posible de la pileta si l = 16 m.
80. De todos los recipientes metálicos cilíndricos que encierran un volumen de 59 m3 ¿cuál de ellos requiere menos m2 de chapa para construirlo?
81. Una araña que se encuentra en el vértice A de un cubo cuya arista tiene 3,2 m se propone capturar una mosca en el vértice opuesto B. La araña debe caminar por la superficie del cubo sólido y debe encontrar el camino más corto. Halle el camino más corto con ayuda del cálculo. Halle el camino más corto sin hacer uso del cálculo.
82. En una oficina de correos solo admiten paquetes con forma de paralelepípedo rectangular, tales que la altura sea igual al ancho y, además, la suma de sus tres dimensiones debe ser 104cm. Determinar las dimensiones del paralelepípedo para que el volumen sea máximo.
83. Se necesita construir un depósito de base cuadrada a cielo abierto para contener 2063000 lt de un líquido. Las paredes y el piso serán de hormigón de 10 cm de espesor. ¿Qué dimensiones debe tener para que se ocupe la menor cantidad de
hormigón?¿Cuántos m3 de hormigón se necesitan?
84. Se necesita construir un depósito de base circular a cielo abierto para contener 2069180 lt de un líquido. Las paredes y el piso serán de hormigón de 12 cm de espesor. ¿Qué dimensiones debe tener para que se ocupe la menor cantidad de
hormigón?¿Cuántos m3 de hormigón se necesitan?
85. Una ventana tiene la forma que indica la figura. Es rectangular en su parte inferior y su parte superior es un triángulo equilátero. Si el perímetro de la ventana es de 12,4 m, ¿cuáles deben ser las medidas de a y b para que la ventana tenga un área máxima?
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86. Se desea realizar un cartel de ancho a y altura h. Deben quedar sin imprimir 51 m arriba y abajo y 42 m a la izquierda y derecha.
El área impresa debe ser de 29 m2. El fabricante cobra por metro cuadrado de área total (axh). ¿Qué dimensiones debe tener el cartel para que el costo sea mínimo?
87. En un campo rectangular de ancho a y ancho b se desea realizar un camino perimetral de 3,3 m de ancho en el lado sur y norte y de 4,4 m de ancho en el este y oeste. Determinar las dimensiones para que el área utilizable para sembrar sea máxima si el campo tiene 306 ha.
88. Se desea alumbrar un terreno rectangular. El alumbrado norte cuesta $ 940 por metro, en cambio el de los otros tres lados cuesta $ 576 el metro. Determinar el área del mayor terreno que se puede alambrar si se dispone de $ 238000. 89. Sean AC y BD dos postes de 23 m y 12 m de altura respectivamente
distanciados entre sí AB = 27 m. Al poste BD se le colocan dos riendas de cables de acero de 220 $/m y al poste AC se le colocan dos riendas de cables de acero de 281 $/m. Determinar la posición del punto E de anclaje de los cables para el costo de los cables utilizados sea el mínimo.
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90. Con 4369 m de alambrado se deben cercar dos corrales rectangulares idénticos. Calcular las dimensiones del cercado para que el área encerrada sea máxima. 91. Con una lámina cuadrada de hojalata, de 1,22 m de lado, se hace una caja sin
tapa cortando un pequeño cuadrado de dicho material en cada esquina y
doblando los lados hacia arriba, ¿qué tamaño ha de tener el cuadrado cortado en cada esquina para que la caja tenga el mayor volumen posible?
92. La resistencia de una viga rectangular es proporcional al producto de su anchura por el cuadrado de su altura. Hállense las dimensiones de la viga más fuerte que pueda cortarse de un tronco cilíndrico circular de radio 28 cm.
93. Dado un vaso cilíndrico circular de capacidad 395 cm3. Determinar sus
dimensiones para que el área del material utilizado para construir el vaso sea mínima.
94. Un cable de 4,8 m de longitud se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un hexágono regular. Cómo debe cortarse el cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima y b) la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.
95. Cortando en dos un alambre de longitud 9,8 m, una parte se dobla para formar un cuadrado y con la otra se forma un triángulo equilátero. ¿Cómo habría que cortar el alambre para que la suma de las dos áreas a) sea mínima, y b) sea máxima?
96. Una porción rectangular de tierra de 1670 m2 ha de ser cercada y dividida en dos partes iguales por una cerca paralela a uno de los lados. ¿Qué dimensiones del rectángulo exterior requerirá la menor longitud total de las dos cercas?¿Cuánta cerca se precisa?
97. De todos los pares de números reales cuyas componentes suman 106, encontrar aquellos pares para el cual su producto sea máximo.
98. Se dispone de un alambre de longitud 23 m para hacer un círculo y un cuadrado. ¿Cómo ha de cortarse el alambre en sus dos formas para que la suma de las áreas correspondientes sea máxima?
99. Un contenedor de base rectangular, lados rectangulares y sin tapa ha de tener un
volumen de 7,58 m3. La anchura de la base ha de ser de 2,6 m. El material
cortado a la medida cuesta 16,4 u$s por metro cuadrado para la base, y 10,3 u$s por metro cuadrado para los lados. ¿Cuál es el costo del contenedor más barato?
100. El muro representado en la figura tiene 14 m de alto y dista 36 m del
edificio. ¿Qué longitud tendrá la viga recta más corta que, apoyándose en el suelo al otro lado del muro, alcance la pared del edificio?
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101. Entre todos los recipientes cilíndricos sin tapa y de 12,4 m3 de volumen.
¿Cuál requiere menos material?
102. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de metal, de base circular
que tenga una capacidad de 1250 m3. Hallar sus dimensiones de manera que la
cantidad de metal requerido (área de la superficie) sea mínima cuando el contenedor es (a) una lata abierta y (b) una lata cerrada.
103. Un cable de 315 m de longitud se corta en dos partes formando con una
de ellas un círculo y con la otra un triángulo equilátero. Cómo debe cortarse el cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.
104. Se va a construir una caja rectangular abierta de chapa con extremos
cuadrados para que tenga una capacidad de 275 m3 a un costo de 785 $/m
cuadrado para la base y 632 $/m para los cuatro lados. Hallar las dimensiones más económicas.
105. Se trata de construir una caja rectangular abierta a partir de una chapa de
1,22 m de ancho y 2,44 m de largo cortándole un cuadrado en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Hállense las dimensiones de la caja de volumen máximo.
106. Un cable de 13,32 m de longitud se corta en dos partes formando con una
de ellas un cuadrado y con la otra un hexágono regular. Cómo debe cortarse el cable para que: a) la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima y b) la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.
107. Una caja rectangular con base cuadrada ha de contener 16,6 m3. El
material de la tapa cuesta 952 m2, el material de las caras laterales cuesta 1132 m2, y el material de la base cuesta 1723 m2. Halle las dimensiones de la caja más económica.
108. Se quiere construir un contenedor cilíndrico de metal de base circular que
tenga una capacidad de 12735 cm3. Hallar sus dimensiones de manera que la
cantidad de metal requerido (área de la superficie) sea mínima cuando el contenedor es (a) un contenedor abierto y (b) un contenedor cerrado.
109. Los puntos P1 y P2 están ubicados enfrentados en los márgenes opuestos
de un río recto de 820 m de ancho. El punto P3 está a 1945 m de P2 y en el mismo margen del río. La empresa de energía debe tender un cable desde P1 a P3. La instalación del cable bajo el río es del 42% más caro que por tierra. ¿Qué recorrido debe tener el tendido del cable para que el costo total sea un valor mínimo?
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110. Un cartel debe incluir un grabado de 11,4 m2 con márgenes de 24 cm, en
la parte superior e inferior, y 18 cm a los lados. Hállense las dimensiones totales si el área total del cartel es mínima.
111. Una ventana tiene una parte inferior rectangular y una superior en forma
de un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 13,45 m. ¿Cuáles son las medidas de la ventana para que el área ocupada sea máxima?
112. De una chapa se desea cortar un sector circular de la mayor área posible
y cuyo perímetro sea 8,7 m. Determinar el radio r del sector circular de área máxima.
113. Una viga de longitud L tiene un extremo empotrado en un muro, mientras
que el otro se mantiene en el aire. Si la viga pesa 54 kg/m, su flexión a una
distancia x del extremo empotrado satisface la ecuación y = (54/48EI)(2,2x4 –
4,8Lx3 + 3L2x2), donde E e I son constantes que dependen del material de la viga y la forma de su sección transversal. ¿A qué distancia del extremo empotrado se da la máxima flexión?
114. Un cilindro circular recto de diámetro d y altura h, con un domo
semiesférico encima, constituye un contenedor cerrado. Hállese la relación entre d y h que maximiza el volumen para un área superficial dada. Ejemplificar con A=60 m³.
115. Un contratista que está removiendo tierra de una gran excavación puede
conducir sus camiones por dos carreteras distintas. Hay que remover 73000 m3
de tierra. Cada camión carga 12 m3. Por una ruta, el costo por cada carga es de 1 + 2,25 x2 centavos de dólar cuando x camiones usan la ruta; la función registra los gastos por congestión. Por la otra ruta, el costo es de 1,97 + 0,96 x2 centavos de dólar por carga cuando x camiones usan la ruta. ¿Cuántos camiones deben despacharse por cada una de las dos rutas?
116. La rigidez de una viga rectangular es proporcional al producto de su
ancho por el cubo de la altura de su sección. ¿De qué forma debe cortarse la viga de un tronco circular recto de radio r con el fin de que la rigidez de la viga sea máxima? Ejemplifique si r = 27 cm.
117. Un canal de riego, hecho de concreto, debe tener una sección en forma de
trapezoide con dos de sus lados de 10,3 m y la base de 12,9 m. ¿Cuál debería ser la forma del trapezoide si se desea que tenga el área máxima? Considere el área como una función de x y resuelva.
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118. Una persona dispone de 370 m de alambre tejido para cercar una huerta
en tres de sus lados, dado que el cuarto lado da a un tapial. La huerta es
rectangular o cuadrada. ¿Qué medidas se deben seleccionar en el ancho y largo para que el área encerrada sea máxima?
119. Una hoja de papel para un cartel debe tener 18,5 m2 de área. Las
márgenes superior e inferior deben tener 0,52 m, y las márgenes de los lados, 0,38 m. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de la hoja para maximizar el área impresa?
120. Una ventana tiene forma de rectángulo con un semicírculo encima. El
rectángulo es de vidrio claro y el semicírculo de vidrio coloreado, que transmite sólo el 36% de luz por pie cuadrado que el claro, y el perímetro total es 10,4 m. Determínense las medidas de la ventana que admitirán más luz.
121. Se trata de hacer una pileta como la de la figura, con una chapa de 15,2 m
de longitud y 8 m de anchura. La pileta se hace doblando hacia arriba tiras de 1,35 m de anchura hasta formar ángulos iguales con la vertical, exprésese el volumen de la pileta en términos del ángulo. Hállese el máximo volumen
posible de la pileta si l =11 m.
122. De todos los recipientes metálicos cilíndricos que encierran un volumen
de 6,6 m3 ¿cuál de ellos requiere menos m2 de chapa para construirlo?
123. Hay que construir un silo en forma de cilindro rematado por una
semiesfera. El costo de la construcción por metro cuadrado de área superficial es del 49 % más para la semiesfera que para el cilindro. Determínense las
dimensiones que han de utilizarse si el volumen es de 1280 m³ y el costo de construcción ha de ser el minimo. Despréciense el espesor de la pared del silo y el desperdicio producido en la construcción.
124. Dada una lata cerrada de forma cilíndrica circular, cuyo volumen es de
2714 cm3 . Determinar sus dimensiones para que el área del material utilizado
para construir la lata sea mínima. El material de las tapas cuesta el 25% menos que el lateral. El costo del lateral es de 0,3 u$s/m².
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125. Si la distancia OB es de 14750 m y la distancia OA es de 3410 m, siendo
OB un camino consolidado donde el costo de transporte es de 1,63 u$s el km y