Lens depth function and statistical depth functions in general

3.4.5.1 Generalidades

Según los códigos de diseño ( NSR-98 y ACI-318-02) toda sección de hormigón armado debe diseñarse para una condición de falla por fluencia del refuerzo a tracción, es decir comportamiento dúctil, con una posición del eje neutro tal que permita deformaciones en el acero a tracción mayores o iguales a 0.005. Sin embargo por limitaciones arquitectónicas, constructivas o económicas, se puede presentar en una sección la falla por agotamiento del hormigón a compresión sin una previa fluencia del refuerzo a tracción. En estos casos se recomienda colocar un refuerzo adicional en la zona comprimida dando lugar a la conocida sección doblemente reforzada ( SDR ).

El uso generalizado que se le dio a este tipo de sección durante los primeros 50 años del siglo XX (diseños por tensiones admisibles) disminuyo considerablemente cuando se impuso en la practica de la ingeniería el diseño por resistencia. Sin embargo los estudios experimentales y la observación del comportamiento en servicio de las estructuras diseñadas con doble refuerzo mostraban novedosas ventajas respecto a las secciones simplemente reforzadas. En principio se pudo comprobar como las deflexiones se reducían considerablemente, además estas barras a compresión servían para controlar posibles inversiones de momento por efecto de altas cargas laterales ( caso de sismos), inclusive su presencia facilitaba el ensamble de las barras de refuerzo transversal ( amarres y estribos) y un aspecto nuevo fue que su presencia aumentaba la capacidad de deformación plástica de la sección situación principalmente útil en los diseños por cargas sísmicas ( secciones confinadas de alta ductilidad).

3.4.5.2 Mecánica y comportamiento del refuerzo a compresión

En la figura 3.35 se comparan las fuerzas internas que se generan cuando una sección de hormigón armado simple y doblemente reforzada alcanza su resistencia a flexión. La diferencia en ambas secciones es la presencia de un refuerzo a compresión en 3.35.b de magnitud A´s localizado a una distancia d´ del borde mas comprimido. Sin embargo el área de refuerzo a tracción, As, es la misma en ambos casos. Del equilibrio horizontal se debe cumplir que la resultante a compresión, C, debe ser igual a la resultante a tracción, T, en donde T = As fy. En la sección simplemente reforzada C es resistida por el hormigón a compresión, mientras que en la doblemente reforzada C debe ser resistida por la contribución del hormigón, Cc y la del acero, Cs. Como parte de la resultante a compresión en 3.35.b es resistida por el acero Cc es menor que C indicando que la altura del bloque comprimido de hormigón es menor en la SDR. Si se toman momentos alrededor del punto de aplicación de C =>

En SSR è Mn = As fy (J1d)

En SDRè Mn = As fy (J2d)

El brazo de palanca J2d es la distancia entre la fuerza de tracción, T y la resultante a

compresión entre Cs y Cc; en este sentido se puede comprobar rápidamente que J2d es

cantidad de refuerzo a tracción la adición de acero a compresión tiene poco efecto sobre la capacidad de momento de la sección ya que el refuerzo a tracción entra en fluencia este o no el acero a compresión

A´s a1 C a2 C d j1d j2d T T As As d´ ec=0.003 e´s S.S.R. S.D.R. es

Figura 3.41 Secciones simple y doblemente reforzadas

Mn´ / Mn 1.2 1.1 1.0 0.9 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ?´ / ?

Figura 3.42 Variación de la resistencia a flexión con el acero a compresión. Mn´ es la resistencia a flexión con acero a compresión

? = 0.021 d´/ d = 0.10 ? = 0.015 d´/ d = 0.10 ? = 0.015 d´/ d = 0.20 f´c = 21 MPa fy = 420 MPa J2.d C a T C1 d J1.d T C c2

Este concepto se ilustra en la figura 3.42 en la cual se presentan las variaciones de la resistencia a momento en función de las cuantías de refuerzo a tracción y a compresión. De esta figura se concluye que para cuantías típicas de refuerzo ( ? < 0.015) en donde el aumento en capacidad a flexión es insignificante a medida que aumenta ?, la efectividad del refuerzo a compresión disminuye a medida que aumenta d´.

3.4.5.3 Factores que justifican el uso del refuerzo a compresión

• Se reducen las deflexiones de la estructura bajo cargas de servicio. En primer lugar las deflexiones en las estructuras de hormigón armado son las respuestas a la acción de las cargas y naturalmente son inevitables. En la practica lo que se hace es controlarlas y mantenerlas en los limites tolerables.

Deflexión ( mm) 150 100 50 60 120 180 240 2 años Edad ( días)

Figura 3.43 Efecto del refuerzo a compresión en la deflexión de las estructuras

Experimentalmente se ha comprobado, y así lo ilustra la figura 3.43, que la presencia del acero a compresión reduce considerablemente la magnitud de estas deflexiones. Por ejemplo en la figura indicada se muestra como en el momento de la aplicación de la carga la deflexión es similar en las vigas independiente de si tienen o no refuerzo a compresión. Sin embargo después de varios meses la deflexión en las vigas con acero a compresión es menor dependiendo de la cuantía de este refuerzo. A los dos años la viga con una ?´= 0.50 ? ha aumentado la deflexión inicial en un 120%, mientras que si ?´= ? el aumento es de un 60%. Las vigas sin refuerzo a compresión muestran aumentos de la deflexión en un 300%.

• Se aumenta la ductilidad de la sección. Como se indico en la figura 3.41, el refuerzo a compresión produce una reducción en la altura del bloque a compresión del hormigón. Esto hace aumentar la deformación del refuerzo a tracción en la falla produciendo un comportamiento mas dúctil de la sección.

?´ = 0.00

?´ = ?

La figura 3.44 compara los diagramas momento-curvatura ( M vs F) para tres vigas con diferentes cantidades de refuerzo a compresión (?´). Se puede apreciar como el momento flector al inicio de la fluencia del acero a tracción es el mismo para las tres vigas independiente de la presencia del acero a compresión.

El aumento de la curvatura si es importante en las vigas con mayor cantidad de acero a compresión en donde se puede llegar a duplicar la curvatura de las secciones simplemente reforzadas. Lo anterior es particularmente importante en diseños sísmicos donde se presenta redistribución de momentos.

Mn / ( f´c.b.h2) 0.2 0.1 Momento de fluencia 2 4 6 8 f .h ( %)

Figura 3.44 Efecto del refuerzo a compresión en la ductilidad

Se modifica el modo de falla de la sección. Cuando las cuantías de refuerzo a tracción están próximas a la cuantía balanceada siempre existe la posibilidad de presentarse una falla por agotamiento del hormigón a compresión sin una fluencia previa del acero a tracción. La figura 3.45 muestra el diagrama momento-curvatura para vigas con y sin acero a compresión. En la viga sin acero a compresión el porcentaje de ductilidad es ligeramente mayor al 1% mientras que en los otros dos casos se llegan a valores del 3 y 5%. Esto significa que cuando se refuerza el hormigón a compresión se garantiza una falla por fluencia del acero a tracción. En conclusión la sección modifica su condición en la falla de súbita a dúctil.

Si el acero a compresión entra en fluencia al llegar la sección a su resistencia a flexión, las deformaciones y la curvatura serán prácticamente las mismas que las que se presentan en una sección simplemente reforzada con una cuantía igual a ( ?- ?´). Generalmente se diseñan las secciones doblemente reforzadas con la premisa de que ( ?- ?´) = 0.50 ?b.

?´ =0.00

?´ =0.5? ?´ =?