9.2 Identification of Items within the EHR
9.2.2 Levels of Identification
Ya se han citado ejemplos de estas importantes propiedades. Procedemos ahora a definirlas. Sea T una teoría axiomática con lista de primitivos P
3. Tal será siempre el caso si la lista es finita: tras un número finito de operaciones de comparación se podrá decidir entonces si el objeto propuesto figura o no en ella. Pero también es decidible la lista in· finita Po definida así: (i) la palabra «teoprim» está en Po; (ii) si una palabra X está en Po' entonces la pa labra formada agregando el sufijo «prim» al final de X está en Po; (iii) todo objeto perteneciente a Po cae bajo una de las descripciones (i) y (ii). Por simple inspección se puede establecer entonces que palabras como ( teoprimprimprim», «teoprimprimprimprimprimprim», etc., pertenecen a Po pero ((salaman dra» y «primprimprimteoprim» no pertenecen a Po' Obviamente, tampoco pertenece a Po la estatua de Felix Dzerzhinsky derribada en Moscú el 22 de agosto de 1991.
4. Nada de interjecciones. La mayoría de las preposiciones y adverbios admisibles han de figurar entre los primitivos o derivarse de ellos, pero -a menos que se trate de axiomatizar la lógica- es claro, por ejemplo, que las palabras requeridas para expresar la negación deben retenerse en su significado or dinario. Cuando hay varias conjunciones -como «pero» e (ey»_ que difieren por su fuerza retórica pero tienen el mismo valor epistémico, conviene retener sólo una de ellas, en aras de la simplicidad.
ROBERTO TORRETTI
y lista de axiomas
A.
Suponemos que todas las aseveraciones de T pue den expresarse en un fragmento bien delimitado CT de nuestro idioma. T es inconsistente si contiene una aseveración y la negación de esa aseve ración. De otro modo, T es consistente. Obsérvese que, según esto, T es inconsistente si y sólo si T no tiene modelos, esto es, si y sólo si no existe una interpretación de los primitivos P que haga verdaderos a todos los axiomasA.
En efecto, T contiene una aseveración Q y su ne gación -,Q si y sólo si tanto Q como -,Q son verdaderas a la vez en todo modelo de T. Pero, obviamente, esto sólo puede ocurrir si T no tiene nin gún modelo. Una teoría inconsistente carece, pues, de todo interés in trínseco. El modo usual de probar que una teoría es consistente es pro ducir un modelo suyo (en el § 8 nos referiremos a otro método). Si la teoría no tiene modelos finitos, no será posible, en rigor, producir un mo delo suyo, pero es posible caracterizarlo conceptualmente y demostrar su existencia apelando a otra teoría. Así se prueba la consistencia de aque lla teoría relativamente a ésta. Por esta vía, Lobachevsky estableció la consistencia de su geometría relativamente a la trigonometría esférica eu clidiana y Hilbert la consistencia de la geometría euclidiana relativa mente a la teoría de los números reales.Sea Q uno de los axiomas
A
yA'
la lista que resta si eliminamos Q.Q es independiente (con respecto a
A')
si la teoría determinada por A' y la negación de Q es consistente. Por lo tanto, las pruebas de indepen dencia también consistirán en producir modelos, como hace Hilbert (1899) para establecer la independencia de algunos de sus axiomas. De cimos que A es independiente si cada uno de sus axiomas es indepen diente (con respecto aA).
VII!. AXIOMATICA y FORMALIZACION
El mismo afán de rigor que condujo a Pasch, Hilbert y sus contemporá neos a perfeccionar el método axiomático promovió al mismo tiempo el desarrollo de <<lenguajes» artificiales, de sintaxis sencilla y estricta, para expresar las matemáticas. Frege (1879) inventa su «escritura conceptual» a fin de mostrar inequívocamente que las verdades aritméticas pueden deducirse de definiciones y <<leyes lógicas». Con ese propósito, crea los recursos simbólicos necesarios para expresar lúcidamente aquellas ver dades y estas leyes y estipula «reglas de inferencia» que permiten, aten diendo sólo a la figura representativa de una o dos aseveraciones (pre misas), calcular la figura representativa de una aseveración (conclusión) que es una consecuencia lógica de las primeras. Digamos que una regla
así trasmite la verdad (de las premisas a la conclusión) o, más breve
mente, que es una regla trasmisora. Tales reglas gobiernan la construc ción de 10 que los practicantes de este género de escritura llaman una
prueba, esto es, una secuencia finita de figuras de la escritura conceptual,
cada una de las cuales representa una aseveración adoptada como pre- 98
El METODO AXIOMATICO
misa o resulta de la aplicación de una regla de inferencia a una o más de las que la preceden.
Whitehead y Russell (1910/13) reemplazaron el simbolismo bidi mensional de Frege, elocuente pero tipográficamente difícil, por otro unidimensional -como nuestra escritura ordinaria- inspirado en la pasigrafÍa de Peano (1895ss), del cual provienen a su vez los simbolismos actualmente en usos. Las escrituras conceptuales de Frege y de Whitehe ad/Russell tienen en común la siguiente propiedad, que las distingue ra dicalmente de un lenguaje propiamente tal, como el castellano: su gra mática incluye reglas que permiten decidir inequívocamente, tras un número finito de operaciones, si un objeto dado es o no [1] un símbolo elemental de la escritura, [2] un término o predicado (compuesto de símbolos elementales), [3] una oración (compuesta de predicados, tér minos y símbolos elementales) o [4] una prueba (compuesta de oracio nes). Gracias a esta propiedad es posible, en principio, certificar sin lugar a dudas que un texto constituye una prueba. En tal caso, se dice que su conclusión -esto es, su última oración- es deducible de las oraciones admitidas como premisas. Como es obvio, si las reglas de in ferencia estipuladas son realmente reglas trasmisoras, la conclusión será también una consecuencia lógica de las premisas. Diremos que una teo ría axiomática expresada mediante una escritura conceptual de este tipo ha sido formalizada efectivamente.
Las escrituras conceptuales, con su énfasis en la perspicuidad de las deducciones, son ni que mandadas hacer para expresar las teorías axio máticas, con su característico ordenamiento del saber en axiomas y con secuencias de los axiomas. El ajuste entre expresión y contenido expre sado es tan grande que en el primer tercio del siglo xx fue corriente confundirlos: más de un prestigioso filósofo creyó seriamente que la re lación lógica de consecuencia entre los axiomas y teoremas de una teoría era idéntica a la relación sintáctica o, mejor dicho, ortográfica de dedu cibilidad entre las figuras que representan a aquéllos y a éstos en una for malización de la teoría. También el carácter formal de las teorías axio máticas -vale decir, su indiferencia a la identidad individual de sus objetos- que resulta, como hemos visto, de la presencia de primitivos in terpretables de muchas maneras, se confundió a veces con la formalidad en la presentación de dichas teorías mediante una escritura conceptual sujeta a reglas estrictas sobre la construcción de términos, oraciones y pruebas.
Hilbert (1922, 1923) creyó ver en la formalización efectiva de la aritmética axiomatizada por Peano (1889) un camino seguro para probar directamente su consistencia absoluta, y con ella, indirectamente, la de cualquier otra teoría que se probare consistente relativamente a la arit mética. Bastaba, aparentemente, establecer, mediante una reflexión acu- 5. También introducen reformas más profundas en el sistema de Frege, para remover la incon sistencia que lo vicia.
ROBERTO TORRETTI
ciosa sobre las figuras representativas de los axiomas y las transforma ciones que pueden sufrir bajo la acción de las reglas de inferencia, que ninguna prueba de la aritmética formalizada puede terminar con una fi gura representativa de la desigualdad O ;é O. Digamos que la aritmética
formalizada es sintácticamente consistente si tiene esta propiedad. Es claro que la consistencia sintáctica asegura la genuina consistencia lógi ca sólo si la formalización efectiva es lo que se llama completa, es decir, si toda consecuencia lógica de los axiomas es deducible de ellos (de otro modo, podría ocurrir que O ;é O fuera una consecuencia lógica de los
axiomas, aunque no fuera deducible de ellos). Herbrand
(1929)
demos tró que e! fragmento de aritmética determinado por los primeros cuatro axiomas de Peano es sintácticamente consisten té. Godel(1930)
demos tró que la escritura conceptual llamada Cálculo Predicativo de Primer Orden (CPPOr tiene la siguiente propiedad: Si Ap ... , AI/' YQ
son ora ciones de! CPPO yQ
representa una aseveración que es una consecuen cia lógica de las aseveraciones representadas por Ap ... , A , existe una prueba del CPPO cuya conclusión esQ
y cuyas premisas figuran en la lista Al''''' AI/' Como e! fragmento de aritmética considerado por Her brand es expresable en el CPPO, su consistencia genuina había quedado demostrada. La meta de Hilbert parecía estar al alcance de la mano. Pero muy pronto se puso en evidencia que era inalcanzable, al menos por la vía originalmente prevista. Godel(1931)
demostró que si�
es una for malización efectiva de la aritmética y�
es sintácticamente consistente,�
incluye oraciones que representan verdades aritméticas pero no son de ducibles de los axiomas; además, bajo las condiciones indicadas es siem pre posible representar en