LOW-COMPLEXITY MIMO MMSE TURBO EQUALIZATION

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La l´ogica desarrollada por Prior y presentada en la secci´on anterior permite establecer alguna relaci´on de manera precisa entre las series A y series B de Mc. Taggart [McTaggart, 1908]. Estas series se corresponden a las concepciones del tiempo que utilizaron Rescher y Prior respectivamente, de acuedo a lo presentado previamente. Es de suma importancia no confundir las concepciones temporales, raz´on por la cual no se debe tratar las series A como si fueran series B; solo eso constituye la conocida Falacia de Mc Taggart. Sin embargo, ´esa fue pr´acticamente la ´unica falacia en esta ´area de estudio, y ella no debe conducir a imaginar que una serie A y una serie B son tan diferentes que no pueden ser tra´ıdas a un contexto com´un. Como Mc. Taggart menciona en sus trabajos, las series A “corren a lo largo” y las series B viceversa; “posteriores y posteriores t´erminos pasan al presente” y

“presentismo pasa a posteriores y posteriores t´erminos”. Cuando fue presentado el sistema de Rescher, se vio que hab´ıa hecho un an´alisis de las referencias de tiempo, haciendo una distinci´on entre ellas, e indicando que las referencias que dio en llamar “cronol´ogicamente indefinidas” pueden ocurrir dentro de las que llam´o “cronol´ogicamente definidas”. De por si este an´alisis da una idea de la posible relaci´on entre las dos series. Se ver´a como ejemplo, si se considera la sentencia temporalmente indefinida “Ser´a el caso que p”, la relaci´on entre las dos series puede ser dada a trav´es de reglas tan simples como la sentencia se da (permanentemente, o tal vez a´un temporalmente) en alg´un momento t llevando a la sentencia temporalmente definida “Ser´a el caso quepen un intervalonposterior” si y solo si es el caso que en t+nes simplemente el caso que p (tiempo presente).

Es tambi´en claro del art´ıculo de Rescher [Rescher, 1966] que se puede embeber pro- posiciones con fechas dentro de proposiciones temporales. Ha sido se˜nalado por algunos autores que el uso habitual de fechas y palabras como “m´as temprano” y “despu´es” con- duce a sentencias temporales en vez de atemporales. Por ejemplo, antes de que una batalla haya sucedido hubiese sido cierto decir “Habr´a una batalla en Hasting y habr´a una batalla en Waterloo 749 a˜nos despu´es”. Durante la batalla de Hasting hubiese sido cierto decir “Hay una batalla desarroll´andose en Hasting y habr´a una batalla en Waterloo 749 a˜nos despu´es”. En cualquier d´ıa intermedio hubiese sido cierto decir ...., etc., etc. Un fil´osofo dir´ıa, “La batalla de Hasting precede a la batalla de Waterloo en 749 a˜nos”. Algunos otros, comentando la frase de Mc. Taggart ‘Si M es siempre anterior aN, es siempre anterior’, podr´ıan expresar de manera similar sentencias como “Camila estuvo muerta antes que naciera su nieto” (meramente otra manera de decir que “Camila falleci´o antes que naciera su nieto”). Si bien esta sentencia es cierta ahora, no siempre lo es; por ejemplo en el a˜no 55 antes de Cristo era cierto que Camila podr´ıa morir antes que naciera su nieto, pero no que ella iba a morir antes que naciera su nieto. La ´unica cosa que era verdadera tanto en el a˜no 55 antes de Cristo y ahora es la proposici´on “O Camila morir´a antes que nazca su nieto, o Camila iba a morir antes que naciera su nieto, o Camila est´a muriendo antes que nazca su nieto”, y esta proposici´on alternativa es ciertamente verdadera ahora, fue verdadera en cada momento del pasado y ser´a verdadera en cada momento del futuro. Las proposiciones fechadas no son atemporales, pero cierta disyunci´on de proposiciones fechadas son verdaderas en todos los momentos. Mc Taggart aparentemente imagin´o que “o bien algo sucedi´o en alg´un momento anterior o ser´a en alg´un momento anterior” invo- lucran alguna proposici´on que puede ser expresada como “es anterior” donde el verbo “es” es utilizado de manera no temporal o atemporal, como lo es en la oraci´on “4 es dos veces 2”: pero ¿existe tal proposici´on? Si no existe, entonces la sentencia que est´a utilizando la toma como una abreviatura de la disyunci´on.

La omni-temporalidad de estas disyunciones y aquellas abreviaturas de ellas, significa que el prefijado de operadores temporales con ellas (con o sin intervalos) es bastante tri- vial. La regla de verdad para tales complejos podr´ıa ser tan simple como “Es (fue, ser´a) el caso que p”, donde p es de este tipo, es verdadera si y solo si la sencilla p lo es. Si, por otra parte, se mantienen las proposiciones con fecha o cualquier otra proposici´on (por ejemplo, ‘2+2=4’) como atemporales, pensando esto como que carece de sentido prefijar operadores temporales con ellas, se encuentra un problema serio que si tiene sentido pre- fijar tales operadores con composiciones, como conjunciones y disyunciones, donde una parte es temporal y la otra no. Wittgenstein dijo que “el producto l´ogico o conjunci´on de una tautolog´ıa con una proposici´on dice lo mismo que la proposici´on”. Lo que significa que el producto es igual a la proposici´on. Haciendo una equiparaci´on entre las proposiciones atemporales y la tautolog´ıa de Wittgenstein, si todas ellas son verdaderas, y con su con- tradicci´on, si son todas falsas. Esto sugerir´ıa que si se utilizana, b,etc. como proposiciones atemporales yp, q,etc. como proposiciones temporales, a∧p es lo mismo quep cuandoa

es verdadera y lo mismo que acuandoaes falsa;a∨pesp cuandoaes falsa, y acuando

a es verdadera. Es ciertamente el caso que si a es no temporalmente verdadera, el valor de verdad de a∧p estar´a sujeto a las variaciones del valor de p; mientras que a∨p esta atemporalmente fija como verdadera. Por otra parte siaes atemporalmente falsa, el valor de verdad dea∨p variar´a con el valor dep, mientras que el dea∧p est´a atemporalmente fijo como falso. Esto significa que tiene un sentido prefijar, sentencias como, “ser´a el caso que” paraa∧p siaes verdadera y no si es falsa, la conversa se da para a∨p. Esta es una regla de formaci´on dif´ıcil de manejar indiscutiblemente. A´un as´ı en el c´alculo uno podr´ıa permitir, tal vez, el uso de operadores temporales “vacuos” para prefijar las proposiciones atemporales. O se podr´ıa cuestionar si hay de verdad hechos como “5 es un n´umero ma- yor que 3” que sean atemporalmente verdaderos; se puede correctamente decir “es mayor ahora”, “siempre fue mayor” y “siempre ser´a mayor”.