La noci´on principal de la teor´ıa de Dung es la de marco argumentativo, que se define como un par ordenado compuesto por un conjunto de argumentos y una relaci´on binaria de derrota1 Un argumento es una entidad abstracta indivisible cuyo ´unico rol est´a deter-
minado por su relaci´on con otros argumentos. La relaci´on de derrota se define como un conjunto de pares de argumentos, donde cada par representa una derrota de la primera componente sobre la segunda.
Definici´on 3.1 (Marco Argumentativo Abstracto) Un marco argumentativo abs- tracto (MA) es una tupla M A= (AR,→), donde ARes un conjunto finito de argumentos y → ⊆(AR×AR) es la relaci´on de derrota sobre AR.
En general, los argumentos enARpara un marco argumentativo M Ason denotados a trav´es letras may´usculas caligr´aficas (A,B, . . . ,Aj,Ci, . . .). No se har´a ninguna referencia a
la l´ogica subyacente necesaria para la representaci´on y construcci´on de estos argumentos ya que, como se mencion´o anteriormente, este formalismo se abstrae de su estructura interna. Dados dos argumentos A y B, la relaci´on de derrota entre ellos (A,B) ∈ →, notadoA→B, representar´a que el argumento A derrota al argumento B. Al igual que lo
1En el trabajo original [Dun95] se la llama relaci´on deataque. Sin embargo, los ataques en un marco
argumentativo modelan el concepto que en esta tesis (y la gran mayor´ıa de los sistemas argumentati- vos [PS97, Pra10, GS04, RS09]) se conoce como derrota, es decir, un ataque que resulta efectivo.
Marcos Argumentativos Abtractos 45
ocurrido con el conjunto de argumentos, los marcos argumentativos abstractos se abstraen de c´omo se genera esta relaci´on.
Los marcos argumentativos abstractos son, esencialmente, un grafo dirigido en el que los nodos son argumentos y los arcos representan las derrotas entre los argumentos. En la literatura suele hacerse referencia a este grafo como grafo de derrotas asociado al marco argumentativo. En adelante, dado un marco M A, se har´a referencia a dicho grafo como grafo de derrotas asociado a M A o grafo deM A indistintamente.
Ejemplo 3.1 Considere el marco argumentativo M A1 = (AR1,→1), donde AR1 =
{A,B,C,D,E,F,G} y →1 = {(E,A),(F,A),(B,E),(C,F),(D,G)}. El grafo de derrotas
asociado a M A1 se presenta a continuaci´on en la Figura 3.1.
Figura 3.1: Grafo de derrotas para M A1.
3.2.2.
Sem´anticas de aceptabilidad en los marcos argumentati-
vos abstractos
En un marco argumentativo abstracto, cuando un argumento derrota a otro, estos argumentos no deber´ıan ser aceptados en conjunto. Por lo tanto, el estado de aceptabilidad de un argumento estar´a sujeto a una evaluaci´on de sus derrotadores, de los derrotadores de sus derrotadores, y as´ı sucesivamente. Esto se debe a que un argumento deber´ıa ser aceptado s´olo si “sobrevive” de alguna manera a las derrotas que recibe o ser rechazado en otro caso. Este proceso de evaluaci´on es definido por las sem´anticas de aceptabilidad. En esta tesis se considerar´an las cuatro sem´anticas de aceptabilidad propuestas origi- nalmente por Dung [Dun95], las sem´anticas completa, grounded, estable y preferida, las cuales son ampliamente reconocidas y utilizadas en la literatura de argumentaci´on [RS09]. En la literatura se presentan dos formas de definir las sem´anticas de aceptabilidad para estos marcos: el enfoque basado en asignaci´on de estado y el enfoque basado en extensio- nes. El primero, presentado en [Pol94], define una sem´antica caracterizando asignaciones
46 Cap´ıtulo 3. Conceptos B´asicos de Argumentaci´on
de estado (In, Out, Undecided) para los argumentos a evaluar. El segundo enfoque, pre- sentado en [Dun95], consiste en caracterizar declarativamente uno o varios conjuntos de argumentos, denominados extensiones, que se consideran colectivamente aceptados de acuerdo a la sem´antica adoptada. De esta manera, una extensi´on en el segundo enfo- que es un conjunto de argumentos que intuitivamente son aceptables en conjunto bajo una determinada sem´antica. En esta tesis se seguir´a el segundo enfoque para definir las sem´anticas, es decir, el enfoque basado en extensiones.
Para definir c´omo se determinan las extensiones para estas sem´anticas ser´a necesario introducir algunos conceptos preliminares. En primer lugar se presenta la noci´on de acep- tabilidad. Dung postula que un argumento A es aceptable para un agente racional G si
G puede defender a A de todas las derrotas que A recibe. Esta intuici´on se formaliza a trav´es la siguiente definici´on.
Definici´on 3.2 (Argumento aceptable) SeaM A= (AR,→)un marco argumentativo abstracto. Un argumento A de AR es aceptable con respecto a un conjunto de argumentos
S ⊆AR si y solo si para cada argumento B de AR vale que si B derrota a A, entonces B
es derrotado por un argumento C tal que C ∈S.
Por otra parte, sea cual sea la sem´antica adoptada, ´unicamente un conjunto de argu- mentos libre de conflictos entre sus argumentos ser´a aceptable. Por lo tanto, es necesario definir la noci´on de libertad de conflictos para un conjunto de argumentos.
Definici´on 3.3 (Conjunto libre de conflictos) Sea M A = (AR,→) un marco argu- mentativo abstracto. Un conjunto de argumentos S ⊆ AR se dice libre de conflictos si y solo si no existen argumentos A y B en S tales que A → B.
Combinado estas dos nociones es posible definir el concepto de conjunto admisible. B´asicamente, un conjunto admisible es aquel que, adem´as de ser libre de conflictos, de- fiende a todos sus argumentos.
Definici´on 3.4 (Conjunto admisible) Sea M A = (AR,→) un marco argumentativo abstracto. Un conjunto de argumentos S ⊆AR es admisible si y solo si S es un conjunto libre de conflictos y todo argumento A de S es tal que A es aceptable con respecto a S.
Marcos Argumentativos Abtractos 47
Ejemplo 3.2 Considere el marco argumentativo M A1 presentado en el Ejemplo 3.1. Al-
gunos de los conjuntos admisibles de M A1 son: {A,B,C}, {B}, {D}, y {A,B,C,D}.
Mientras que {A,B} no es admisible ya que, si bien es libre de conflictos, no defiende a
A de la derrota de F.
El concepto de admisibilidad es esencial ya que permite definir la sem´antica completa, la cual es utilizada para definir las sem´anticas estable, preferida y grounded, en los mismos t´erminos. Adem´as, esta noci´on es importante dado cada extensi´on bajo alguna de estas sem´anticas es admisible. A continuaci´on se detallan estas sem´anticas de acuerdo a como fueron introducidas por Dung en [Dun95], y posteriormente refinadas en [CA07].
En primer lugar se presentar´a la sem´antica completa, la cual se caracteriza a trav´es de las extensiones completas. Estas extensiones b´asicamente consisten de conjuntos ad- misibles de argumentos, los cuales incluyen a todos los argumentos que defienden.
Definici´on 3.5 (Extensi´on Completa) Sea M A = (AR,→) un marco argumentativo abstracto. Un conjunto de argumentos S ⊆ARes una extensi´on completa deM Asi y solo siS es un conjunto admisible tal que para todo argumento Ade AR, si A es aceptable con respecto a S entonces A est´a en S.
Ejemplo 3.3 Considere el marco argumentativo M A1 del Ejemplo 3.1. Observe que
{A,B,C,D} es la ´unica extensi´on completa de M A1. Por otra parte, por ejemplo, {B,C}
no es una extensi´on completa ya que, si bien es un conjunto admisible, no incluye a A
(al cual defiende de las derrotas de E y F) ni tampoco a D (al que defiende trivialmente ya que nadie lo derrota).
Es posible que existan m´ultiples extensiones completas para un marco argumentativo abstracto. A continuaci´on se mostrar´an ejemplos de estas situaciones.
Ejemplo 3.4 Considere los marcos argumentativos M A2 y M A3 caracterizados por los
grafos de derrota de las figuras 3.2(a) y 3.2(b).
48 Cap´ıtulo 3. Conceptos B´asicos de Argumentaci´on
Note que en M A2 las extensiones completas son ∅, {H} e {I}, mientras que las exten-
siones completas de M A3 son ∅, {J,L} y {K}.
La primera de las sem´anticas principales para los marcos argumentativos abstractos presentadas por Dung en [Dun95] es la sem´antica preferida. Esta sem´antica se identifica a trav´es de las extensiones preferidas. Intuitivamente, una extensi´on preferida representa un conjunto de argumentos coherente y maximal, ya que debe ser libre de conflictos y clasificar como aceptados a la mayor cantidad posible de argumentos.
Definici´on 3.6 (Extensi´on preferida) Sea M A = (AR,→) un marco argumentativo abstracto. Un conjunto de argumentos S ⊆ AR es una extensi´on preferida de M A si y solo si S es una extensi´on completa maximal con respecto a la inclusi´on de conjuntos.
Ejemplo 3.5 Considere los marcos argumentativos M A1, M A2 y M A3, presentados en
los ejemplos 3.1 y 3.4. EnM A1 {A,B,C,D} es la ´unica extensi´on preferida; enM A2 {H}
e{I} son las extensiones preferidas; mientras que enM A3 las extensiones preferidas son
{J,L} y{K}.
Otra de las sem´anticas presentadas por Dung en [Dun95] es la sem´antica estable. Esta sem´antica es m´as restrictiva que la preferida, ya que impone que ´unicamente ser´an extensiones estables aquellas extensiones preferidas que derrotan a todos los argumentos fuera de la extensi´on.
Definici´on 3.7 (Extensi´on estable) SeaM A= (AR,→)un marco argumentativo abs- tracto. Un conjunto de argumentos S ⊆ AR es una extensi´on estable de M A si y solo si para todo argumento B en AR\S existe un argumento A en S tal que A derrota a B.
En los marcos argumentativos de los ejemplos 3.1 y 3.4 note que las extensiones es- tables coinciden con las preferidas. Esto no es siempre as´ı, m´as a´un, Dung en [Dun95] demuestra que todas las extensiones estables son preferidas, pero que no todas las exten- siones preferidas son estables.
Ejemplo 3.6 Considere el marco argumentativo M A4 = ({M},{(M,M)}). En M A4,
∅ es una extensi´on preferida. Sin embargo, ∅ no es una extensi´on estable de M A4 ya que
Marcos Argumentativos Abtractos 49
Finalmente, la ´ultima sem´antica presentada por Dung en [Dun95] es la sem´antica grounded. Esta sem´antica tiene la caracter´ıstica de ser la mas esc´eptica de las sem´anticas propuestas por Dung. Por lo tanto, corresponder´a a la extensi´on m´as chica que contenga a todos los elementos que defiende.
Definici´on 3.8 (Sem´antica grounded) Sea M A = (AR,→) un marco argumentativo abstracto. Un conjunto de argumentos S ⊆AR es la extensi´on grounded de M A si y solo si S es la extensi´on completa minimal con respecto a la inclusi´on de conjuntos.
Ejemplo 3.7 Considere los marcos argumentativos M A5 y M A6 caracterizados por los
grafos de derrota de las figuras 3.3(a) y 3.3(b).
Figura 3.3: Grafos de derrotas paraM A5 y M A6.
La ´unica extensi´on completa de M A5 es {O,Q}, mientras que en M A6 las extensiones
completas son ∅, {R,U } y{S,U }. Note que la extensi´on grounded enM A5 ser´a {O,Q},
mientras que en M A6 ser´a ∅.
Si bien la sem´antica grounded es la mas esc´eptica, a diferencia de las otras sem´anticas caracteriza una ´unica extensi´on siempre existente. Adicionalmente, otra caracter´ıstica interesante de esta sem´antica es que, como se muestra en [Dun95], la extensi´on grounded se puede computar utilizando una teor´ıa de punto fijo, al igual que en numerosos sistemas de razonamiento no mon´otono.
Aplicando una sem´antica a un marco argumentativo abstracto es posible entonces de- terminar cu´ales ser´an los argumentos aceptados. En particular, como se vio anteriormen- te, para algunos marcos argumentativos pueden obtenerse m´ultiples extensiones al aplicar ciertas sem´anticas. Por lo tanto, los argumentos de un marco argumentativo podr´an estar cr´edulamente aceptados, esc´epticamente aceptados o rechazados.
50 Cap´ıtulo 3. Conceptos B´asicos de Argumentaci´on
Definici´on 3.9 SeaM A= (AR,→)un marco argumentativo yS una sem´antica de acep- tabilidad. Un argumento A de AR estar´a:
esc´epticamente aceptado con respecto a S, si pertenece a toda extensi´on obtenida al aplicar la sem´antica S a M A,
cr´edulamente aceptado con respecto S, si pertenece a alguna extensi´on (pero no a todas) obtenida al aplicar la sem´antica S a M A, o
rechazado con respecto aS, si no pertenece a ninguna extensi´on obtenida al aplicar la sem´antica S a M A.