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La formulaci´on IGABEM es utilizada para calcular la distribuci´on de flujo y potencial en la super- ficie de una ´anodo y un c´atodo, dentro de un medio electrol´ıtico. Aqu´ı un modelo de celda galv´anica similar al presentado en [75] es modelado. Las condiciones de borde para el par galv´anico son:

I(0, x2) = I(a, x2) = I(x1, w) = 0 (4.1) φ(x, 0) + RpI(x, 0) = φaH(x− c) (4.2) Donde H es la funci´on escal´on de Heaviside y Rp es el par´ametro de polarizaci´on y φa es el diferencial de potencial entre el ´anodo y el c´atodo. Como existe una relaci´on no lineal entre el contorno del ´anodo y el c´atodo, la soluci´on num´erica es obtenida implementando el esquema de soluci´on iterativa reportado en [90]. finalmente la soluci´on obtenida es comparada con la soluci´on anal´ıtica reportada en [96]

Pare este caso, la constante φa = 1.0V y el par´ametro de polarizaci´on Rp = 1.0 para una celda galv´anica de a = 1cm, c/a = 0.5 y w/a tiene los valores de 0.5, 0.1, 0.05 y 0.005. Los valores de densidad de corriente y potencial son mostrado en la figura 69(a) y 69(b), mientras que la configuraci´on geom´etrica y la distribuci´on de nodos son mostradas en la figura 68(a) y 68(b).

(a)

(b)

El contorno de la celda es generado con 5 B-spline lineales, con una conductividad del medio igual a 1.0Ω−1_cm−1_{, la malla tiene un tama˜no de 96 knot-span con 16 de estos, distribuidos uniformemente} sobre el c´atodo y el ´anodo.

(a)

(b)

Figura 69: (a) Valores calculados de potencial utilizando IGABEM vs los valores anal´ıticos (S´IMBO- LOS); (B) valores calculados de densidad de corriente utilizando IGABEM vs los valores anal´ıticos

(a)

(b)

Figura 70: (a) Error relativo entre potencial anal´ıtico y calculado con IGABEM ; (B) Error relativo entre flujo anal´ıtico y calculado con IGABEM

5.

Conclusiones y recomendaciones

5.1.

Conclusiones

En la secci´on 2.1 se estudia las funci´on param´etrica base, utilizada para la generaci´on tanto de superficies y curvas B-spline y NURBS. Se estudian dos tipos de interpolaci´on de datos y se indica las ventajas y desventajas de uno con respecto al otro. Se puede concluir que la t´ecnica MLS es m´as eficiente si los datos que se desean interpolar presentan considerable dispersi´on, pero en el caso en el que sea requerido que la curva o la superficie satisfaga exactamente los puntos de interpolaci´on, es mejor utilizar la t´ecnica directa en la cual el n´umero de puntos de control es igual al n´umero de datos a interpolar. No obstante, especial cuidado debe tomarse en como se planea asignar cada dato Mi al espacio param´etrico ui ya que este procedimiento repercute directamente en la calidad de la aproximaci´on.

Luego se determina la longitud de arco de un B-Spline y el ´area de superficie. Se resuelven las integrales con el mentodo de la cuadratura de Gauss-Legendre y luego se comparan los resultados num´ericos con la soluci´on real, se da un indicador de la calidad de la interpolaci´on. Sin embargo este indicador no siempre es suficiente, puesto que, dos superficies pueden tener dos ´areas de superficie semejantes, pero no implica que tengan formas similares en el dominio de an´alisis, se concluye que los resultados m´as estables y precisos para el c´alculo de longitud de arco y ´area de superficie se obtienen al posicionar los puntos de Gauss-Legendree entre los nudos de la curva(knot-span) o la superficie en vez de colocarlos globalmente, estos hacen las veces de elementos (Unidimensionales para el caso de las curvas y bidimensionales para el caso de las superficies). Finalmente se explica como el vector de pesos en una superficie o curva NURBS puede cambiar localmente la forma de la curva manteniendo el mismo pol´ıgono de control. Permitiendo generar mayor variedad de curvas con el mismo n´umero de puntos de control. Por dicha caracteristica, las curvas y superficies NURBS son m´as ampliamente utilizada en los sistemas CAD, que las curvas B-spline convencionales. No obstante, si el vector de pesos posee valor unitario, no existe distinci´on alguna entre utilizar funciones NURBS o B-splines ya que ambas representar´ıan exactamente la misma geometr´ıa.

El m´etodo de elementos de contorno isogeom´etrico de variaci´on constante para la soluci´on de la ecuaci´on de Laplace 2D fue presentado en la secci´on 5.4 . Se desarrolla la formulaci´on num´erica del m´etodo el cual utiliza las curvas B-spline para intepolar el espacio geom´etrico pero utiliza elementos de variaci´on constante para facilitar la interpolaci´on del espacio soluci´on. El m´etodo requiere de un tratamiento diferente de las integrales de singularidad d´ebil ya que las soluciones propuestas por BEM tradicional no funcionan para elementos isogeom´etricos, no obstante el tratamiento de las integrales fuertemente singulares sigue siendo el mismo m´etodo de cuerpo r´ıgido. La validaciones num´ericas fueron realizadas con FEM ya que se ha demostrado, ampliamente en la literatura, que los resultados obtenidos con este m´etodo concuerdan con los resultados de modelos experimentales. Al compara las dos metodolog´ıa se observan errores relativos no mayores al 1 % en los valores de potencial calculado. Ademas, se encuentra que IGABEM requiere de menor numero de elementos para concretar una precisi´on en los resultados, semejante a FEM lo que permite afirmar que, IGABEM posee una m´as r´apida rata de convergencia. Finalmente se prueba IGABEM para realizar c´alculos de distribuci´on de potencial y densidad corriente el´ectrica en un par galv´anico sumergido dentro de un electrolito. Al elaborar el mismo problema de la secci´on 2.2.8 en la secci´on 5.4 pero esta vez variando la altura del electrolito y comparando los resultados obtenidos de potencial y densidad de corriente el´ectrica con la soluci´on anal´ıtica, se obtienen errores relativos no mayores al 1 % tanto para potencial como para densidad de corriente. Esto aplica para la relaci´on w/a = 0.5, w/a = 0.1 y w/a = 0.05, no obstante cuando w/a = 0.001 el error se incrementa notablemente hasta casi un 40 %, esto se debe a que los elementos del contorno est´an tan cerca uno de otros que, los valores de las distancia r tienden a cero, haciendo entonces que las funciones fundamentales que tienen la expresi´on 1/r y 1/r2 tiendan a infinito, esto no significa que exista una falla en el m´etodo, significa que el n´umero de elementos isogeom´etricos que modelan el contorno debe incrementar en la medida en que la altura del electrolito disminuye.No obstante, en este trabajo no se pudo incrementar el numero de elementos

por limitaciones computacionales, si bien IGABEM propone la generaci´on de mallas de contorno sin intervenci´on humana(lo cual ahora valioso tiempo de an´alisis), la cantidad de iteraciones necesarias para calcular una integral de singularidad d´ebil con la t´ecnica de sub-divisi´on de elemento, es un claro cuello de botella que relentiza el proceso de c´alculo, por lo tanto, se debe investigar una t´ecnica diferente a la aqu´ı propuesta para resolver este tipo de integrales con menor consumo computacional.

Del trabajo mostrado en este documento se concluye lo siguiente