El modelo de turbulencia k-épsilon (k-ε) es el modelo más utilizado en dinámica de fluidos computacional (CFD) para simular las características de flujo medio para condiciones de flujo turbulento. Se trata de un modelo de dos ecuaciones que da una descripción general de la turbulencia por medio de dos ecuaciones de transporte en derivadas parciales. El objetivo original del modelo k-épsilon fue mejorar el modelo mixing-length.
La primera variable transportada determina la energía en la turbulencia y se denomina energía cinética turbulenta (k). La segunda variable transportada es la disipación turbulenta
(ε), la cual determina la tasa de disipación de la energía cinética turbulenta. A diferencia de
los modelos de turbulencia anteriores, el modelo k-ε se centra en los mecanismos que afectan a la energía cinética turbulenta. El modelo mixing length carece de este tipo de generalidad. La hipótesis subyacente de este modelo es que la viscosidad turbulenta es isotrópica, es decir, la relación entre el tensor de esfuerzos aparentes de Reynolds y la velocidad media de deformación es la misma en todas las direcciones [27].
El modelo k-ε se aplica en flujos sin cizallamiento, como los que presentan gradientes de presión relativamente pequeños. Sin embargo, no es el mejor modelo para problemas con grandes gradientes de presión adversos. Por lo tanto, este modelo puede no ser adecuado para entradas y compresores. Además, este modelo resulta no ser muy preciso para flujos en rotación, con gran separación, flujos simétricos y fluidos totalmente desarrollados en tubos no circulares.
La energía cinética turbulenta k es la energía cinética por unidad de masa de las fluctuaciones turbulentas de un flujo turbulento. Se mide en J/kg y viene dada por la siguiente expresión:
𝑘 = 3 2 (𝑈𝐼)2
donde U es la velocidad media de flujo e I es la intensidad de turbulencia. La intensidad de turbulencia determina el nivel de turbulencia y se puede definir de la siguiente manera:
𝐼 = 𝑢′ 𝑈
donde u’ es la media cuadrática de las fluctuaciones de la velocidad de turbulencia y U es la velocidad media. La media cuadrática de las fluctuaciones de la velocidad de turbulencia u’ viene dada por la siguiente fórmula:
𝑢′= �1
3 (𝑢′𝑥2+ 𝑢′𝑦2+ 𝑢′𝑧2) = � 2 3 𝑘 La velocidad media U puede calcularse de la siguiente forma:
La disipación turbulenta ε representa la velocidad a la que la energía cinética turbulenta se convierte en energía térmica interna. Se mide en J/(kg∙s) y se puede expresar de varias formas:
• A partir de la escala de longitud turbulenta: 𝜀 = 𝐶𝜇𝑘
3 2
𝑙
donde 𝑙 es la escala de longitud turbulenta y 𝑘 es la energía turbulenta. 𝐶𝜇 es una constante del modelo de turbulencia y normalmente toma un valor de 0,09.
• A partir de la relación de viscosidad turbulenta: 𝜀 = 𝐶𝜇𝜌𝑘 2 𝜇 � 𝜇𝑡 𝜇 � −1
donde 𝜌 es la densidad, 𝜇 es la viscosidad dinámica molecular y 𝜇𝑡
𝜇 es la relación de
viscosidad turbulenta [29].
6.1.2.2.1.1 Modelo de turbulencia k-épsilon (k-ε) estándar
Las ecuaciones exactas del modelo k-ε contienen muchos términos desconocidos y no medibles. Existen tres variantes de este modelo: RNG, realizable y standard Para un enfoque mucho más práctico, en este trabajo se va a utilizar el modelo de turbulencia k- épsilon estándar o standard k-ε. Este modelo propuesto por Launder y S palding minimiza las incógnitas y presenta un conjunto de ecuaciones que pueden ser aplicadas a un gran número de casos de flujo turbulento. Su robustez, su economía de cálculo y su precisión razonable para una amplia gama de flujos turbulentos explican su popularidad en simulaciones industriales de flujo y transferencia de calor.
La ecuación de transporte del modelo para k se deriva de la ecuación exacta, mientras que la ecuación de transporte del modelo para ε se obtuvo mediante razonamiento físico y tiene poca semejanza con su contraparte matemática exacta. El modelo k-épsilon estándar solo es válido para flujos completamente turbulentos.
La ecuación para la energía cinética turbulenta k es la siguiente: ∂(ρk) ∂t + ∂(ρkui) ∂xi = ∂ ∂xj��µ + µt σk� ∂k ∂xj� + Pk+ Pb− ρε − YM+ Sk
La ecuación para la disipación ε es la siguiente: ∂(ρε) ∂t + ∂(ρεui) ∂xi = ∂ ∂xj��µ + µt σε� ∂ε ∂xj� + C1ε ε k(Pk+ C3εPb) − C2ερ ε2 k + Sε Ambas ecuaciones se estructuran de forma aproximada de la siguiente forma [27]:
donde
Tasa de variación de k o ε + transporte de k o ε por convección =
TEORÍA
A continuación, se explican los diferentes términos de estas ecuaciones:
• ui representa la componente de velocidad en la dirección correspondiente
• μt representa la viscosidad de torbellino o eddy viscosity
𝜇𝑡 = 𝜌𝐶𝜇𝑘 2
𝜀
• Pk representa la producción de energía cinética turbulenta debido a los gradientes de
velocidad media y se define de la siguiente forma: Pk= −𝜌𝑢𝑖′𝑢𝑗′∂u∂xj i
Para evaluar Pk de manera consitente con la hipótesis de Boussinesq, Pk= 𝜇𝑡𝑆2
donde S es el módulo del tensor de la velocidad media de deformación. S = �2SijSij
• Pb representa la producción de energía cinética turbulenta debido al empuje
hidrostático y se calcula de la siguiente manera: Pb= βgi𝑃𝑟𝜇𝑡
𝑡
∂T ∂xi
donde 𝑃𝑟𝑡 es el número de Prandtl turbulento para la energía y gi es la componente del vector gravitacional en dirección i. El valor predeterminado de 𝑃𝑟𝑡 es 0,85.
El coeficiente de expansión térmica β se define así: β = −1
ρ � ∂ρ ∂T�p
Para gases ideales, la expresión de la producción de energía cinética turbulenta debido al empuje hidrostático se puede reducir.
Pb= −giρ𝑃𝑟𝜇𝑡 𝑡
∂ρ ∂xi
• YM representa la contribución de la dilatación fluctuante en flujos turbulentos
compresibles a la velocidad de disipación total. En los flujos con alto número de Mach, la compresibilidad afecta a la turbulencia a través de la denominada disipación de la dilatación, la cual se desprecia en el modelado de flujos incompresibles. Si se desprecia la disipación de la dilatación, no se predice correctamente la disminución de la tasa de difusión al aumentar el número de Mach en mezclas compresibles y otras capas sin cizalladura. Por este motivo, para tener en cuenta estos efectos se incluye el término de disipación de la dilatación YM en la ecuación. Este se modela de acuerdo con una propuesta de Sarkar:
YM= 2ρεMt2
donde 𝑀𝑡 es el número de Mach turbulento. Este se define así: 𝑀𝑡 = �𝑎𝑘2
donde 𝑎 es la velocidad del sonido.
𝑎 = �𝛾𝑅𝑇
• σk y σε son los números de Prandtl turbulentos para k y ε respectivamente.
• Sk y Sωson términos definidos por el usuario.
Las ecuaciones también constan de algunas constantes ajustables. Los valores de estas constantes han sido obtenidos mediante numerosas iteraciones de ajuste de datos para una amplia gama de flujos turbulentos. Estas constantes utilizadas toman los siguientes valores:
Cµ = 0,09 σk= 1,00 σε= 1,30 C1ε = 1,44 C2ε = 1,92
El valor de C3ε toma distintos valores en función de la literatura que se siga [27] [30].