Hasta este punto, hemos considerado dos tipos de probabilidad: la probabilidad marginal (o incondi- cional) y la probabilidad conjunta. Simbólicamente, la probabilidad marginal es P(A) y la probabili- dad conjunta es P(AB). Además de estas dos, existe otro tipo de probabilidad, conocido como proba- bilidad condicional. Simbólicamente, la probabilidad condicional se escribe como:
Probabilidad condicional Resultados en términos de “al menos” Lista de resultados
Tabla 4-2 Un lanzamiento Dos lanzamientos Tres lanzamientos
Resultados posibles Probabilidad Resultados posibles Probabilidad Resultados posibles Probabilidad
H1 0.5 H1H2 0.25 H1H2H3 0.125 T1 0.5 H1T2 0.25 H1H2T3 0.125 1.0 T1H2 0.25 H1T2H3 0.125 T1T2 0.25 H1T2T3 0.125 1.00 T1H2H3 0.125 La suma de T1H2T3 0.125
las probabilidades de todos T1T2H3 0.125
los posibles resultados debe T1T2T3 0.125
ser siempre igual a 1 1.000
P(B A)
Probabilidades bajo independencia estadística
Tabla 4-3 Tipo de probabilidad Símbolo Fórmula
Marginal P(A) P(A)
Conjunta P(AB) P(A)P(B)
Condicional P(B⎢A) P(B)
La probabilidad condicional es la probabilidad de que un segundo evento (B) se presente si un pri- mer evento (A) ya ha ocurrido.
Para eventos estadísticamente independientes, la probabilidad condicional de que suceda el even- toBdado que el evento Ase ha presentado es simplemente la probabilidad del evento B:
Probabilidad condicional de even- tos independientes
Probabilidad condicional para eventos estadísticamente independientes
P(B|A) P(B) [4-5]
A primera vista, esto parecería ser contradictorio. Recuerde, sin embargo, que por definición, un evento independiente es aquel cuyas probabilidades no se ven afectadas de forma alguna por la ocu- rrencia del resto de los eventos. De hecho, la independencia estadística se define simbólicamente co- mo la condición en la cual se cumple que P(B|A) P(B).
Podremos entender mejor la probabilidad condicional si resolvemos un problema ilustrativo. Nuestra pregunta es, ¿cuál es la probabilidad de que en el segundo lanzamiento de una moneda se obtenga cara, dado que el resultado del primero fue cara? Simbólicamente, lo anterior se escribe como P(H1|H2). Recuerde que para dos eventos independientes el resultado del primer lanzamien-
to no tiene absolutamente ningún efecto sobre el resultado del segundo. Como la probabilidad de ob- tener cara y la de obtener cruz son exactamente iguales en cada lanzamiento, la probabilidad de obte- ner cara en el segundo lanzamiento es de 0.5. Por tanto, debemos decir que P(H1|H2) 0.5.
En la tabla 4-3 se resumen los tres tipos de probabilidad y sus fórmulas matemáticas bajo condi- ciones de independencia estadística.
Advertencia: en términos de indepen- dencia estadística, el supuesto es que los eventos no están relacionados. Por ejemplo, esto se cumple en una serie de lanzamientos de una moneda, pero en una serie de de- cisiones de negocios puede existir una relación entre ellas. Como mínimo, el tomador de decisiones aprende
del resultado de cada decisión y ese conocimiento afecta a la siguiente. Antes de calcular probabilidades condicio- nales o conjuntas en situaciones de negocios asumiendo una independencia, debe tenerse cuidado de tomar en cuenta algunas maneras en que la experiencia afecta el juicio futuro. SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES
Ejercicios 4.5
Ejercicios de autoevaluación
EA 4-7 Calcule la probabilidad de que al seleccionar dos cartas de una baraja con reemplazo, una a la vez, la se- gunda carta sea:
a) Una carta con cara, dado que la primera era roja. b) Un as, dado que la primera carta era una cara. c) Una jota negra, dado que la primera era un as rojo.
EA 4-8 Sol O’Tarry, el administrador de una prisión, revisó los registros de intentos de fuga de los reclusos. Tie- ne datos que abarcan los 45 años más recientes de funcionamiento de la prisión, ordenados según las es- taciones. Los datos se resumen en la siguiente tabla.
Intentos de escape Invierno Primavera Verano Otoño
0- 5 3 2 1 0 1- 5 15 10 11 12 6-10 15 12 11 16 11-15 5 8 7 7 16-20 3 4 6 5 21-25 2 4 5 3 Más de 25 02 05 04 02 45 45 45 45
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un año seleccionado al azar, el número de intentos de fugas haya sido entre 16 y 20 durante el invierno?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan intentado más de 10 fugas durante un verano elegido de ma- nera aleatoria?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se intentaran entre 11 y 20 fugas en una estación seleccionada al azar? (Sugerencia:agrupe los datos.)
Conceptos básicos
■ 4-24 ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo hijo de una pareja sea a) niño, dado que primero tuvieron una niña?
b) niña, dado que primero tuvieron una niña?
■ 4-25 Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener
a) un total de 7 puntos en el primer lanzamiento, seguido de 11 en el segundo? b) un total de 21 puntos en los primeros dos lanzamientos combinados? c) un total de 6 en los primeros tres lanzamientos combinados?
■ 4-26 Una bolsa contiene 32 canicas: 4 rojas, 9 negras, 12 azules, 6 amarillas y 1 morada. Las canicas se sacan una a la vez con reemplazo. Calcule la probabilidad de que
a) la segunda canica sea amarilla dado que la primera fue amarilla. b) la segunda canica sea amarilla dado que la primera fue negra.
c) la tercera canica sea morada dado que la primera y la segunda fueron moradas.
■ 4-27 Jorge, Ricardo, Pablo y Juan juegan de la siguiente manera: cada uno toma de una caja una de cuatro bo- las numeradas del 1 al 4. Quien saque la bola con el número más alto pierde; los otros tres regresan sus bolas a la urna y sacan de nuevo. El juego continúa de esta forma hasta que solamente queden dos bolas; en este momento, el que saque la bola número 1 es el ganador.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan no pierda en las dos primeras ocasiones? b) ¿Cuál es la probabilidad de que Pablo gane el juego?
Aplicaciones
■ 4-28 El Departamento de Salud efectúa rutinariamente dos inspecciones independientes a los restaurantes; un restaurante aprobará la inspección sólo si ambos inspectores lo aprueban en cada una de ellas. El inspec- tor A tiene mucha experiencia, en consecuencia, sólo aprueba 2% de los restaurantes que realmente están violando el reglamento sobre salubridad. El inspector B tiene menos experiencia y aprueba 7% de los res- taurantes con fallas. ¿Cuál es la probabilidad de que
a) el inspector A apruebe un restaurante, aun cuando el inspector B haya encontrado violaciones al re- glamento?
b) el inspector B apruebe un restaurante que esté violando el reglamento, aun cuando el inspector A ya lo haya aprobado?
■ 4-29 Cuando fallan las compuertas de una pequeña presa hidroeléctrica, se les repara de manera independien- te una de la otra; la presa tiene cuatro compuertas. A partir de la experiencia, se sabe que cada compuer- ta está fuera de servicio 4% de todo el tiempo.
a) Si la compuerta uno está fuera de servicio, ¿cuál es la probabilidad de que las compuertas dos y tres estén fuera de servicio?
b) Durante una visita a la presa, se le dice a usted que las posibilidades de que las cuatro compuertas es- tén fuera de servicio al mismo tiempo son menores a uno entre cinco millones. ¿Es esto cierto?
■ 4-30 Rob Rales se encuentra preparando un informe que su empresa en la que trabaja, Titre Corporation, entregará posteriormente al Departamento Federal de Aviación de Estados Unidos. El informe debe ser aprobado primero por el responsable del grupo del cual Rob es integrante, luego por el jefe de su depar- tamento y después por el jefe de la división (en ese orden). Rob sabe, por experiencia, que los tres direc- tivos actúan de manera independiente. Además, sabe también que su responsable de grupo aprueba 85% de sus informes, el jefe del departamento aprueba 80% de los informes de Rob que le llegan y el jefe de la división aprueba 82% de los trabajos de Rob.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera versión del informe de Rob sea enviada al Departamento Federal de Aviación?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera versión del informe de Rob sea aprobada por su responsa- ble de grupo y por su jefe de departamento, pero que no sea aprobado por el jefe de división?
■ 4-31 Una tienda de abarrotes revisó sus políticas de reabastecimiento y analizó el número de botellas de me- dio galón de jugo de naranja vendidos diariamente durante el último mes. Los datos son los siguientes:
Número vendido Mañana Tarde Noche
0-19 3 8 2 20-39 3 4 3 40-59 12 6 4 60-79 4 9 9 80-99 5 3 6 100 o más 03 00 06 30 30 30
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día seleccionado al azar el número de botellas de medio galón vendido durante la tarde esté entre 80 y 99?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan vendido 39 botellas o menos durante una tarde elegida alea- toriamente?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan vendido entre 0 y 19, o bien, 100 o más botellas durante una mañana elegida al azar?
■ 4-32 Bill Borde, ejecutivo consultor en jefe de la compañía Grapevine Concepts, lanzó recientemente una cam- paña publicitaria para un nuevo restaurante, The Black Angus. Bill acaba de instalar cuatro anuncios pa- norámicos en la carretera a la entrada de la ciudad, y sabe, por su experiencia, la probabilidad de que ca- da anuncio sea visto por un conductor escogido aleatoriamente. La probabilidad de que un conductor vea el primer anuncio es de 0.75; la probabilidad de que el segundo anuncio sea visto es de 0.82; ésta es de 0.87 para el tercero y de 0.9 para el cuarto. Suponiendo que el evento consistente en que un conductor vea cualquiera de los anuncios es independiente de si ha visto o no los demás; ¿cuál es la probabilidad de que a) los cuatro anuncios sean vistos por un conductor escogido aleatoriamente?
b) el primero y el cuarto anuncios sean vistos, sin que el segundo y el tercero sean notados? c) exactamente uno de los anuncios sea visto?
d) ninguno de los anuncios sea visto? e) el tercero y cuarto anuncios no sean vistos?
Soluciones a los ejercicios de autoevaluación
EA 4-7 a) P(cara2|roja1) 12/52 3/13
b) P(as2|cara1) 4/52 1/13
c) P( jota negra2|as rojo1) 2/52 1/26
EA 4-8 a) 3/45 1/15
b) (7 6 5 4)/45 22/45
Evento Probabilidad del evento
1 0.1
2 0.1 de color y con puntos
3 0.1
4 0.1 de color y con franjas
5 0.1
6 0.1 grises y con puntos
7 0.1
8 0.1
grises y con franjas
9 0.1
10 0.1
4.6
Probabilidades bajo condiciones
de dependencia estadística
La dependencia estadística existe cuando la probabilidad de que se presente algún evento de- pende o se ve afectada por la presentación de algún otro. Exactamente igual que con los eventos dependientes, los tipos de probabilidad bajo condiciones de dependencia estadística son:
1. Condicional.
2. Conjunta.
3. Marginal.