Materials and Methods

Cuando Claire eligió utilizar un modelo de programación lineal para representar este problema de mezcla publicitaria, reconoció que este tipo de modelo no da una correspondencia perfecta del pro- blema. Un modelo matemático pretende ser sólo una representación aproximada de un problema real. Lo común es que deban hacerse aproximaciones y suposiciones de simplificación para tener un modelo manejable. Todo lo que en realidad se necesita es que exista una correlación razonablemente alta entre la predicción del problema y lo que realmente sucedería en la realidad. Ahora el equipo necesita comprobar que este criterio se satisface.

Una de las suposiciones de programación lineal es que se permiten las soluciones fraccionarias. Para el problema actual, esto significa que debe permitirse una cantidad fraccionaria de comerciales de televisión (por ejemplo, 3 ½) o de anuncios en revistas o en los suplementos dominicales). Esto es técnicamente cierto, pues es posible transmitir un comercial durante un tiempo menor que lo normal, y es posible incluir un anuncio en una fracción del tamaño usual en las revistas o suple- mentos dominicales. Sin embargo, el defecto del modelo es que supone que los costos de Giacomi &

Los modelos de progra- mación lineal aceptan soluciones fraccionarias. Sugerencia de Excel: El cuadro de diálogo de Solver se utiliza para informar al Solver la ubicación de varios ele- mentos del modelo en la hoja de cálculo: las celdas cambiantes, la celda meta, y las restricciones.

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Jackowitz para planear y desarrollar un comercial o anuncio de una fracción de lo normal equivalen sólo a esa fracción del costo, cuando en realidad sería el mismo que con una exposición completa. Afortunadamente, la solución óptima que se obtuvo arriba fue entera (ningún comercial de televi- sión, 20 anuncios en revistas y 10 en suplementos dominicales), por lo tanto la suposición de solucio- nes fraccionarias no fue necesaria.

Otra suposición clave de programación lineal es que la ecuación adecuada para cada una de las celdas de salida, entre ellas la celda meta, es la que se puede expresar como SUMAPRODUCTO de las celdas de datos y de las celdas cambiantes (ocasionalmente, como sólo una SUMA de las celdas cambiantes). Para la celda meta (celda H13) de la figura 3.1, esto implica que el número esperado de exposiciones que se obtienen de cada medio de publicidad es proporcional al número de anuncios en ese medio. Esta proporcionalidad parece cierta, ya que cada observación de los anuncios por un individuo cuenta como otra exposición. Otra implicación al utilizar una función SUMAPRO- DUCTO es que el número esperado de anuncios en un medio de publicidad no afecta el número de exposiciones obtenidas del otro medio. De nuevo, esta implicación parece válida, puesto que obser- var los anuncios en medios distintos cuenta como exposiciones independientes.

Aunque una función SUMAPRODUCTO es adecuada para calcular el número esperado de exposiciones, la elección de esta cifra como la medida global de desempeño es algo cuestionable. El objetivo verdadero de la dirección es maximizar la ganancia generada como resultado de la cam- paña publicitaria, pero es difícil medir esto por lo que se seleccionó número esperado de exposiciones como sustituto de las ganancias. Esto sería válido si la ganancia fuera proporcional al número esperado de exposiciones. Sin embargo, la proporcionalidad es sólo una aproximación en este caso porque demasiadas exposiciones para el mismo individuo llegan a un nivel de saturación donde el impacto (ganancia potencial) debido a una exposición más es bastante menor que para la primera exposición.

Para comprobar qué tan razonable es utilizar el número esperado de exposiciones como sus- tituto de la ganancia, Claire se reúne con Sid Jackowitz, uno de los socios de mayor categoría de Giacomi & Jackowitz. Sid señala que la campaña promocional contemplada (20 anuncios en revis- tas y 10 en los suplementos dominicales) es bastante modesta y muy por debajo de los niveles de saturación. La mayoría de los lectores sólo notarán estos anuncios una o dos veces y un segundo aviso es muy útil para reforzar el primero. Además, los lectores de revistas y suplementos domini- cales son bastante diferentes y la interacción del impacto de la publicidad en estos dos medios es pequeña. En consecuencia, Claire concluye que utilizar el número esperado de exposiciones para la celda meta de la figura 3.1 es una aproximación razonable. (Una continuación de este caso de estudio, el caso 8-1, profundizará en el análisis más complejo requerido para usar la ganancia directamente como la medida de desempeño que se registra en la celda meta en lugar de hacer esta aproximación.)

A continuación, Claire cuestiona a Sid respecto a los costos de su empresa para la planeación y desarrollo de los anuncios en estos medios. ¿Es razonable suponer que el costo en un medio dado es proporcional al número de anuncios en el mismo? ¿Es razonable suponer que el costo de desarrollar anuncios en un medio no se reduciría sustancialmente si la firma acaba de terminar el desarrollo de anuncios con temas similares en otro medio? Sid reconoce que existe cierto traspaso entre la pla- neación para un medio y otro, en especial si ambos son medios impresos (como revistas y suplemen- tos dominicales), pero que ese traspaso se limita mucho por las diferencias claras que existen entre estos medios. Además considera que la suposición de proporcionalidad es bastante razonable para cualquier medio dado ya que la cantidad de trabajo involucrado en la planeación y desarrollo de cada anuncio adicional en el medio es casi igual que para el primero en ese medio. La suma total que Super Grain pagará al final a Giacomi & Jackowitz estará basada en una contabilidad detallada de la cantidad de trabajo hecho por la firma. Sin embargo, Sid considera que las estimaciones de costos que proporcionó antes (registradas en las celdas C9, D9 y E9 en cientos de dólares) dan una base razonable para la proyección aproximada del costo para cualquier plan dado (datos de las celdas cambiantes) para la campaña promocional.

Con esta información, Claire concluye que el uso de una función SUMAPRODUCTO para la celda F9 proporciona una aproximación razonable. Hacer lo mismo en la celda F8 se justifica claramente. Dadas sus conclusiones anteriores también, Claire decide que el modelo de programa- ción lineal incorporado a la figura 3.1 (además de cualquier ampliación del mismo que se requiera después para la planeación detallada) es una representación bastante precisa del problema real de mezcla publicitaria. No será necesario refinar más los resultados del modelo recurriendo a modelos matemáticos más complejos (como los que se describen en el capítulo 8).

Los modelos de pro- gramación lineal deben utilizar las funciones de SUMA o SUMAPRO- DUCTO en las celdas de salida, incluyendo la celda meta.

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Por lo tanto, Claire le envía un memorando a David Sloan, presidente de la compañía, en el que le describe una campaña promocional que corresponde a la solución óptima del modelo de progra- mación lineal (ningún comercial de televisión, 20 anuncios en revistas y 10 anuncios en suplementos dominicales). También solicita una reunión para valorar este plan y analizar si deben hacerse algu- nas modificaciones.

Regresaremos a este caso en la sección 3.4.

1. ¿Cuál es el problema que se quiere resolver en este caso? 2. ¿Qué medida global de desempeño se está utilizando?

3. ¿Por qué David Sloan está preocupado por el plan recomendado por el modelo de programación lineal de hoja de cálculo?

4. ¿Cuáles son las suposiciones de programación lineal que deben revisarse para valorar la conveniencia de utilizar un modelo de programación lineal para representar el problema en consideración?

3.2 PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN DE RECURSOS

En el párrafo inicial del capítulo 2, analizamos problemas gerenciales que se referían a la asignación de los recursos de una organización a sus diversas actividades productivas. Esos eran problemas de

asignación de recursos.

Los problemas de asignación de recursos son problemas de programación lineal que implican la

asignación de los recursos a las actividades. La característica de identificación de cualquiera de estos

problemas es que cada restricción funcional del modelo de programación lineal constituye una restric- ción del recurso, y tiene la siguiente forma

Cantidad de recurso utilizado ≤ cantidad de recurso disponible para uno de los recursos.

La cantidad de recurso utilizado depende de qué actividades se emprenden, de los niveles de las actividades y de cuál es el consumo del recurso que necesitan esas actividades. De esta manera, las restricciones de recursos limitan los niveles de las actividades. El objetivo es seleccionar los niveles de las actividades para maximizar alguna medida global de desempeño (como puede ser la ganancia total) de las actividades al tiempo que se satisfacen todas las restricciones de recursos.

Comenzando con el caso de estudio y luego el conocido problema de mezcla de productos de Wyndor Glass Co., analizaremos los cuatro ejemplos que ilustran las características de los proble- mas de asignación de recursos. Estos ejemplos también demuestran cómo puede surgir este tipo de problema en varios contextos.