Mathematical problem

The problem we consider is the scheduling of surgical procedures over a short time  period  (typically  one  week).  The  project  management  goal  is  to  define  and  schedule  the  different  surgeries  and  to  assign  them  the  available  resources  (human  or  material)  under  costs and time constraints (Roland et al. 2007). 

The project has a length of D opening days. We consider that there are T periods in 

We  consider  J  non  preemptive  activities,  the  elective  surgeries.  Each  surgical  intervention j has a deterministic processing time  . To be performed, the surgery requires  a  certain  amount  of  renewable  resources.  The  renewable  resources  we  consider  are  the  personnel as the anesthetists, the nurses and the scrub nurses. The availability of renewable  resources  is  constant  for  each  period  over  the  day.  The  availability  of  the  resource  can  though  vary  over  the  period  to  take  into  account  the  variation  over  the  week  (there  are  fewer nurses during the weekend). The availability of nonrenewable resources is defined for  the whole day. Non renewable resources are for instance specific materials as prosthesis, or  blood. 

Each operation j has to be carried out between an earliest and a latest starting day,   and   respectively. An operation cannot start before the admission day of the patient  and  has  to  be  carried  out  within  an  acceptable  amount  of  time  to  maximize  the  patient’s  satisfaction (Chaabane et al. 2007). 

Each surgical treatment is assigned  to a particular surgeon, c, who has  his personal  availability  a  day.  However,  it  could  be  possible  to  affect  a  surgery  to  several  surgeons  to  model the fact that in some hospitals surgeries are led by a pool of surgeons. 

Each activity can be performed in one of the S operating rooms. If the surgeries can  be performed in any one of the ORs, we model an open scheduling management policy; if  the  interventions  can  only  take  place  in  some  specific  OR  at  some  determined  time,  we  model a block scheduling management policy. Each of these rooms has a regular availability  for  day  d,  representing  the  normal  opening  hours  of  the  room  defined  by  a  number  of  periods.  Since  we  allow  an  elective  operation  to  occur  after  the  normal  working  hours,  in  overtime, a room has also a maximal availability for day d which depicts the total amount of  periods available this day for this room (opening hours and overtime).  

Each time an operating room is opened the hospital spends   €, and pays a fixed  amount  for  each  time  unit  an  OR  is  opened  in  overtime,   € per time unit. Hence the  objective is to minimize the costs associated with room openings and with overtime pay.  

2.2.1 Assumptions and notations 

The model has the following characteristics: 

• Indices 

‐ j: number of surgical interventions to schedule; j =1,...,J. 

‐ s: number of operating rooms ;s =1,...,S. 

‐ d: number of opening days; d=1,…,D. 

‐ t: number of periods in a day; t=1,…, T. 

‐ c: number of surgeons; c =1,...,C. 

• Parameters 

‐ : operating duration of surgical intervention j 

‐ : earliest starting day for surgical intervention j 

‐ : latest starting day for surgical intervention j 

‐  : amount of renewable resource  Κ  requires for intervention j  

‐ : availability of renewable resource k for day   

‐ : OR s where the surgical intervention j can take place  

‐ : availability of the surgeon c for day d 

‐ : amount of non‐renewable resource  Κ  requires for intervention j. 

‐ : availability of non‐renewable resource k for day   

‐  : availability of room s for day d 

‐  : the total amount of periods available for room s the day d (normal and  overtime hours) 

‐ : opening cost of a room 

‐ : cost of opening a room in overtime, per period 

• Decisions variables 

‐  : binary variable ; take value 1 when the surgical operation j starts in  room s during day d and at time period t 

‐ : binary variable; take value 1 when room s is opened in day d 

‐ : overtime work in room s for day d 

2.2.2 Mathematical programming formulation 

The model formulation for our problem takes the following expression:  

min, , 0      . 2.1  

where the closing hour of a room s in day d is given by:  

max,     . 2.2  

subject to:  

  ,     . 2.3  

  1,     . 2.4  

  ,      , ,     . 2.5  

  , ,     . 2.6  

,       , ,     . 2.7  

,       , ,     . 2.8  

1,         , ,    . 2.9  

, ,    . 2.10   

, 0,1 ,       , ,  ,     . 2.11    

where  the  binary  variables  (2.11)   take  value  1  when  the  surgical  operation  j  starts  in  room  s  during  day  d  and  at  time  period  t  while   take  value  1  when  room  s  is  opened in day d. 

A number of constraints are defined to ensure the feasibility of the OT planning: 

• A surgical intervention has to take place between an earliest and latest starting day  (2.3). 

• A patient undergoes the surgery only once (2.4). 

• There  are  a  limited  number  of  renewable  resources  (nurses,  anesthesiologists)  available  to  operate  (2.5);  the  amount  of  renewable  resources  consumed  at  one  given  time  by  all  operations  undergoing  cannot  exceed  the  amount  of  resources  available. 

• The OT can use a certain amount of non renewable resources (surgical materials,  medicines, etc.) each day: the total consumption of all surgeries of a day cannot go  beyond  that  amount  (2.6).  The  OR  are  also  renewable  resources.  Since  OR  are  managed according a block scheduling policy, an operation can only take place in  the OR dedicated to the appropriate surgical specialty that day. 

• Each surgery is performed by a surgeon and has to take place when he is available  (2.7). In these latter, we sum over the operations attributed to each surgeon c and  defined by the set O(c). 

• A  surgical  operation  only  occurs  during  the  opening  hours.  An  operation  cannot  finish after the closing hours (2.8). 

• Surgical interventions cannot overlap in an OR (2.9). 

• A surgical intervention can only take place in the operating room dedicated to the  appropriate specialty (2.10) 

Expressed  like  this,  the  programming  is  nonlinear  since  the  objective  function  contains  the  nonlinear  term   , 0 .  This  difficulty  can  be  overcome  by  introducing  a  new  variable  0 and  by  adding  two  new  constraints.  The  objective  function (2.1) becomes: 

min,    . 2.12  

and the additional constraints are:  

 ,         , , ,    . 2.13   0,       ,    . 2.14  

The variables   represent the overtime work in room s for day d, if indeed there is  overtime  work,  and  are  null  otherwise.  This  new  formulation  makes  the  model  a  linear  mixed‐integer programming. The amount of overtime in each room is computed through the  constraints (2.13); the overtimes are always positive numbers (2.14). 

The  MIP  program  is  then  solved  with  optimization  software  using  a  branch‐and‐

bound algorithm. This way of resolution ensures to find the optimal planning, exploring all  the possible solutions. However, while the number of resources and the number of surgical  interventions are increasing, the number of feasible solutions explodes and it becomes hard  to solve. Hence there exists no efficient method to solve it to optimality, only on small scale  problems.