En una célebre demostración, el señor Zermelo se basa en el siguiente axioma:
En un agregado de cualquier tipo (o incluso en cada uno de los agregados de un agregado de agregados) siempre podemos seleccionar un elemento al azar (incluso si el agregado de agregados contiene un infinito de agregados).
Este axioma ha sido aplicado miles de veces sin haber sido establecido, pero, una vez que fue establecido, surgieron las dudas. Algunos matemáticos, como el señor Borel, lo rechazaron resueltamente, mientras que otros lo admitieron. Veamos qué es lo que piensa el señor Russell, de acuerdo con su último artículo. En sentido estricto, no pronuncia opinión alguna, pero sus consideraciones son muy sugestivas.
Para empezar con un ejemplo pintoresco, supongamos que tenemos tantos pares de botas como haya números enteros, de tal suerte que podemos numerar los pares del 1 al infinito. ¿Cuántas botas tendremos? ¿Será el número de botas igual al número de pares? Lo será si, en cada par, la bota derecha es distinguible de la izquierda, porque entonces, en realidad, será suficiente con dar el número 2n−1 a la bota derecha del par
n, y el número n2 a la bota izquierda del par n. Pero no será así si la bota derecha es similar a la izquierda, porque entonces tal operación se vuelve imposible, a menos que admitamos el axioma de Zermelo, porque en tal caso podemos elegir de cada par de botas y al azar, la bota que consideremos como derecha.23
XI. CONCLUSIONES
Una demostración realmente basada en los principios de la lógica analítica estará compuesta por una sucesión de proposiciones. Algunas de éstas, que servirán como premisas, serán identidades o definiciones, mientras que otras serán deducidas de las primeras paso a paso. Pero aunque la conexión entre cada proposición y la subsiguiente pueda comprenderse de inmediato, no resulta obvio, de un vistazo, cómo ha sido posible pasar de la primera a la última, que podríamos estar tentados a ver como una nueva verdad. Pero si sucesivamente remplazamos las distintas expresiones empleadas por sus respectivas definiciones, y si llevamos esta operación hasta el límite más lejano posible, al final no quedará nada excepto identidades, de tal forma que todo se reducirá a una inmensa tautología. La lógica, por tanto, sigue siendo estéril, a menos que sea fertilizada por la intuición.
Esto es lo que escribí antes. Los lógicos, en cambio, aseguran lo contrario, e imagina haberlo probado habiendo demostrado, eficazmente, nuevas verdades. ¿Pero qué mecanismo han empleado?
¿Por qué es que, al aplicar a sus argumentos el procedimiento que recién he descrito, es decir, al remplazar los términos definidos por sus definiciones, no vemos que se fundan en identidades como los argumentos ordinarios? Es porque el procedimiento no es aplicable a ellos. ¿Y por qué? Porque sus definiciones son no predicativas, y presentan aquel tipo de círculo vicioso oculto que señalé antes, y las definiciones no predicativas no pueden ser sustituidas por el término definido. Bajo estas condiciones, la lógica ya no es estéril, sino que engendra antinomias.
Es la creencia en la existencia de un infinito real la que ha dado lugar a estas definiciones no predicativas. Me tengo que explicar. En estas definiciones, encontramos la palabra todos, tal como vimos en los ejemplos citados arriba. La palabra todos tiene un significado muy preciso cuando se refiere a un número finito de objetos, pero para
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que tenga un significado preciso cuando el número de los objetos es infinito, es necesario que exista un infinito real. De otra forma, todos estos objetos no pueden ser concebidos como existentes antes de su definición, y entonces, si la definición de una noción N depende de todos los objetos A, aquella podría estar contaminada por el círculo vicioso si entre los objetos A hay uno que no puede ser definido sin introducir la propia noción N.
Las reglas de la lógica formal simplemente expresan las propiedades de todas las clasificaciones posibles. Pero para que sean aplicables, es necesario que estas clasificaciones sean inmutables y no requieran ser modificadas en el transcurso del argumento. Si únicamente tenemos que clasificar un número finito de objetos, es fácil preservar estas clasificaciones sin cambio. Si el número de los objetos es indefinido, esto es, si constantemente tendemos a encontrar objetos nuevos e imprevistos surgiendo, bien podría suceder que la aparición de un nuevo objeto nos obligue a modificar la clasificación, y es así que estamos expuestos a las antinomias.
No hay un infinito real. Los cantorianos olvidaron esto, y así cayeron en
contradicciones. Es cierto que el cantorismo ha sido útil, pero eso era cuando se aplicaba a un problema real, cuyos términos estuviesen claramente definidos, y entonces era posible avanzar sin temor al peligro.
Como los cantorianos, los lógicos han olvidado este hecho, y se han encontrado con las mismas dificultades. Pero es una cuestión de si tomaron este camino por accidente o por necesidad.
Desde mi punto de vista, no hay duda sobre lo anterior: la creencia en un infinito real es esencial a la lógica russelliana, y esto es exactamente lo que la distingue de la lógica hilbertiana. Hilbert adopta el punto de vista de la extensión precisamente para evitar las antinomias cantorianas. Russell toma el punto de vista de la comprensión, y, consecuentemente para él, el género es anterior a la especie, y el summum genus24 es anterior a todo. Esto no supondría dificultad alguna si el summum genus fuese finito, pero es infinito, y entonces es necesario poner lo infinito ante lo finito, es decir, considerar al infinito como real.
Y no solamente tenemos clases infinitas. Cuando pasamos del género a la especie al restringir el concepto por nuevas condiciones, el número de estas condiciones
24 El summum genus es el género más extensivo. Es el género bajo el cual caen todos los objetos. Nota del
sigue siendo infinito, porque por lo general expresan que el objeto bajo consideración es, de tal y cual forma, una relación con todos los objetos de una clase infinita.
Pero todo esto ya es historia. El señor Russell se ha dado cuenta de todos estos peligros y reconsiderará la cuestión. Cambiará todo, y debemos comprender claramente que está preparando no solamente introducir nuevos principios que permitan operaciones antes prohibidas, sino también que prohíban operaciones antes consideradas legítimas. No está contento con adorar lo que alguna vez quemó, pero ahora va a quemar lo que alguna vez adoró, lo que es mucho más serio. No está añadiendo una nueva ala al edificio, sino minando sus fundamentos.
La vieja lógica está muerta, y tan cierto es esto, que la teoría del zigzag y la teoría de no clases ya están disputando su sucesión. Esperaremos hasta que la nueva lógica exista antes de intentar juzgarla.