De aqu´ı cualquier 0−cadena sobreK0 es hom´ologa a una 0−cadena elemental h· ha0i donde h es algun entero.
Aplicando este resultado a cada componente combinatoria K1, K2, ..., Kr de K, hay un v´ertice ai de K
i tal que cualquier 0−ciclo sobre Ki es hom´ologo
a una 0−cadena de la forma hi· haii, donde hi es un entero. Entonces, para
cualquier 0−ciclo c0 sobre K, existen enterosh1, h2, ..., hr tal que
c0 ∼ r
X
i=1
hi· haii
Supongase que dos 0−cadenasP
hi· haii y
P
gi· haiirepresentan la misma
clase de homolog´ıa. Entonces X
(gi−hi)· haii=∂(c1)
Para alguna 1−cadenac1. Comoai yaj pertenecen a diferentes componentes
combinatorias cuando i 6= j, entonces la ecuaci´on no es verdadera a menos quegi =hi para cadai. Por tanto cada clase homol´ogica [c0] enH0(K) tiene
un ´unico representante de la forma P
hi· haii. La funci´on
X
hi· haii →(h1, ..., hr)
Es el isomorfismo requerido entre H0(K) y la suma directa de r−copias de
Z.
3.1.
El Teorema de Euler-Poincar´e
Si|K|es un poliedro rectil´ıneo homeomorfo a la 2−esferaS2 conV v´erti-
ces, E aristas y F caras 2−dimensionales, entonces V −E+F = 2
Este resultado fue descubierto en 1752 por Leonard Euler (1707-1783). Definici´on 3.2. Sea K un complejo orientado. Una familia {z1
p, ..., zpr} de
p−ciclos es linealmente independiente con respecto a la homolog´ıa, o lineal- mente independientemodBp(K), significa que no existen enterosg1, g2, ..., gr
no todos cero tales que la cadenaP
gizpi es hom´ologa a 0. El entero mas gran-
der para el cual existen r p−ciclos linealmente independientes con respecto a la homolog´ıa se nota por Rp(K) y es el n´umero de Betti de dimensi´on p
Teorema 3.3. (El teorema de Euler-Poincar´e) Sea K un complejo geom´etrico orientado de dimensi´on n, y para p= 0,1, ..., n sea αp el n´umero de p−simplejos de K. Entonces n X p=0 (−1)pαp = n X p=0 (−1)pRp(K)
donde Rp(K) denota el n´umero de Betti de dimensi´on p de K.
Demostraci´on. Como K es el ´unico complejo en consideraci´on, la notaci´on es simplificada omitiendo esta referencia en la notaci´on de grupos.
N´otese queCp, Zp y Bp son espacios vectoriales sobre el campo de los n´ume-
ros racionales. Sea {di
p} un conjunto m´aximal de p−cadenas tales que cada combinaci´on
lineal no propia de dip no es un ciclo, y sea Dp un subespacio lineal de Cp
generado por {di
p}. Entonces Dp ∩Zp ={0} de modo que, como un espacio
vectorial, Cp es la suma directa de Zp y Dp. Luego
αp =dimCp =dimDp+dimZp
dimZp =αp −dimDp, 1≤p≤n.
Donde la abreviaci´on “dim”denota la dimensi´on de espacio vectorial. Parap= 0,1, ..., n−1, seabip =∂(dip+1).
∂ :Cp+1 →Cp, ∂(cp+1) = Bp Cp
∂ :Cp →Cp−1, Ker(∂) =Zp Cp
Bp Zp Cp (:=subgrupo)
Como la intersecci´on entre Zp+1 y el generado de {dip+1} es el grupo trivial,
entonces Dp+1⊕Zp+1 =Cp+1
Sea bp ∈Bp entonces existe cp+1 ∈Cp+1 tal que
bp =∂(cp+1) como cp+1=h1d1p+1+h2d2p+1+...+zp+1, luego bp =∂(cp+1) =∂(h1d1p+1+h2d2p+1+...+zp+1) =∂(h1d1p+1+h2d2p+1+...) +∂(zp+1) =∂(h1d1p+1+h2d2p+1+...) =h1∂(d1p+1) +h2∂(d2p+1) +... =h1b1p+h2b2p +...
3.1. EL TEOREMA DE EULER-POINCAR ´E 35
Por tanto {bi
p} generaBp
{bi
p}es Linealmente Independiente.
Sean hi ∈Q, i∈I (I un conjunto de ´ındices) y {bip}tales que
0 =h1b1p+h2b2p +h3b3p+..., luego 0 =Xhi∂(dip+1) =X∂(hidip+1) =∂(Xhidip+1) EntoncesP hidip+1 ∈Zp+1, y ya queDp+1∩Zp+1 ={0}entoncesPhidip+1 =
0 y as´ıhi = 0, ∀i∈I. Por tanto {bip} es Linealmente independiente
Entonces el conjunto {bip} forma una base para Bp.
Sea {zi
p}, i = 1, ..., Rp el conjunto maximal de p−ciclos linealmente inde-
pendiente modBp. Estos ciclos generan un subespacio Gp de Zp, en efecto:
Sean ap =Pgizpi y dp =Phizip elementos en el generado de {zpi}.
ap+dp =
X
(gi+hi)zpi
Siap+dp fuera hom´ologo a cero entonces existecp+1 ∈Cp+1 tal que
P (gi+
hi)zpi = ∂(cp+1) y como {zpi} es linealmente independiente modBp entonces
gi =−hi, ∀i∈I, y esto contradice el hecho de que fue arbitraria la elecci´on
deap y dp.
Por tantoGp = el generado de{zpi}, es un subespacio de Zp y Gp∩Bp ={0}
Ahora Zp =Gp⊕Bp, 0≤p≤n−1 y as´ı
dimZp =dimGp+dimBp
Como Rp =dimGp. Entonces
Rp =dimZp−dimBp =αp −dimDp−dimBp, 1≤p≤n−1.
Como {1·σip+1} el conjunto de p+ 1−cadenas elementales es una base para Cp+1 y ∂ : Cp+1 → Cp es un homomorfismo entonces {∂(1·σ
p+1
i )} es una
base para ∂(Cp+1) = Bp, luego
∂(1·σip+1) = X
σpj∈K
[σip+1, σjp]σpj =Xηij(p)·σjp
donde (ηij(p)) = η(p) es la matriz de incidencia de dimensi´on p. As´ı
dimBp =ran(η(p))
Puesto que el n´umero de di
p+1 es el mismo que el n´umero de bip, entonces
dimDp+1=dimBp =ran(η(p)), 0≤p≤n−1
entonces
Rp =αp−dimDp−dimBp
=αp−ran(η(p−1))−ran(η(p)), 1≤p≤n−1
N´otese tambien que
R0 =dimZ0−dimB0 =α0−ran(η(0))
Rn =dimZn=αn−dimDn=αn−ran(η(n−1))
En la suma alternantePn
p=0(−1) pR
p, todos los terminosran(η(p)) se cance-
lan y se tiene que
n X p=0 (−1)pRp = n X p=0 (−1)pαp
Definici´on 3.3. SiK es un complejo de dimensi´onn, el n´umero χ(K) = n X p=0 (−1)pRp es la caracter´ıstica de Euler deK.
Definici´on 3.4. Un poliedro rectil´ıneo en el espacio tridimensional Eucli- diano R3, es un s´olido acotado por pol´ıgonos convexos propiamente unidos.
Los pol´ıgonos acotados son caras, la intersecci´on de las caras son aristas, y la intersecci´on de las aristas son v´ertices. Un poliedro simple es un poliedro rectil´ıneo cuya frontera es homeomorfa a la 2−esferaS2. Un poliedro regular
es un poliedro rectil´ıneo cuyas caras son pol´ıgonos regulares planos y cuyos ´
angulos del poliedro son congruentes.
Teorema 3.4. (Teorema de Euler) Si S es un poliedro simple con V
v´ertices, E aristas y F caras, entonces
Conclusiones
La teor´ıa de Homolog´ıa representa un puente entre el ´algebra, la topolog´ıa y la geometr´ıa, y consiste en la asociaci´on de un espacio topol´ogico con una sucesi´on de grupos abelianos. Esta asociaci´on permite hacer una descripci´on m´as simple acerca de la estructura del espacio topol´ogico y con ello ayudar en la clasificaci´on de los espacios topol´ogicos.
Para la construcci´on de grupos de Homolog´ıa Simplicial de un espacio to- pol´ogico X, es necesario que el espacio topol´ogico X admita una triangula- ci´on, es decir, que sea homeomorfo a un Complejo Simplicial K. Una vez ya se haya definido su triangulaci´on, se definen lasp−cadenasCp(K), una suce-
si´on de grupos abelianos libres que son generados por la combinaci´on lineal de los p−simplejos de K sobre los enteros. Ahora se hace la construcci´on de una sucesi´on de homeomorfismos frontera ∂p sobre las p−cadenas deK.
. . .−−→∂p+2 Cp+1(K) ∂p+1 −−→Cp(K) ∂p −→Cp−1(K) ∂p−1 −−→Cp−2(K) ∂p−2 −−→. . . Con la propiedad que ∂p ◦∂p+1 es el homomorfismo trivial.
Los homeomorfismos frontera generan nuevos grupos. El grupo de p−ciclos Zp(K) = Ker(∂p) de K y el grupo de p−fronteras Bp(K) = ∂p+1(Cp+1(K))
de K, de modo que Bp(K) ⊆ Zp(K) ⊆ Cp(K). Se define el p−grupo de
Homolog´ıa Hp(K) de K como el grupo cociente.
Hp(K) =
Zp(K)
Bp(K)
.
Estos grupos permiten hacer una clasificaci´on de los espacios topol´ogicos triangulables, y establecer si dos espacios son homeomorfos. Por ejemplo: Los grupos de Homolog´ıa de la esfera S2 son:
H0(S2)∼=Z H1(S2)∼={0} H2(S2)∼=Z
y los grupos de Homolog´ıa de la Cinta de M¨obius M son: H0(M)∼=Z H1(M)∼=Z H2(M)∼={0}
Como los grupos de Homolog´ıa no son los mismos entonces se puede decir que la Esfera y la Cinta de M¨obius no son espacios homeomorfos.
Bibliograf´ıa
[1] Fred H. Croom, Basic Concepts of Algebraic Topology, Springer-
Verlag, New York (1978)
[2] Czes Kosniowski, Topolog´ıa Algebraica, editorial Revert´e, S.A.,
Barcelona Espa˜na, (1986)
[3] James R. Munkres, Elements of algebraic Topology, Addison-Wesley,
(1984)
[4] John B. Fraleigh,Algebra Abstracta, Addison-Wesley, (1988)
[5] Erwin O. Kreiszig, Introductory Functional Analysis with Applica-
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[6] Walter Rudin, Principios de An´alisis Matem´atico, McGraw Hill, 3a