Methodology

Esquematización de las condiciones hidrogeológicas

Los flujos de las aguas subterráneas naturales y alterados se caracterizan por una gran variedad y complejidad. El estudio de los mismos solo se puede ejecutar mediante la esquematización de las condiciones hidrogeológicas, la cual representa la simplificación de los procesos reales. Con ello se considera la heterogeneidad de las propiedades de filtración de las rocas en planta y perfil, las condiciones de límites, sobre las condiciones de alimentación del acuífero.

El principio fundamental de esquematización de las aguas subterráneas se resume en la depreciación de los factores de poca influencia en el caudal del flujo y en los cambios de cargas en condiciones naturales existentes. Por su carácter y complejidad los flujos se dividen en lineal (unidimensional), planos (bidimensional) en planta o perfil y espaciales (tridimensionales).

Lineales: Son los flujos que cambian en una sola dirección. Con ellos se pueden relacionar los flujos con presión en un estrato homogéneo, limitado por contornos de alimentación y descarga paralelos. Con este tipo de flujo puede relacionarse también un fragmento homogéneo de flujo con presión, limitado por rocas de distinta permeabilidad.

Planos: Son los flujos que cambian en un área plana. En todas las secciones paralelas en esta área el flujo mantiene sus parámetros. En los cálculos hidrogeológicos relacionados con los flujos planos, las condiciones hidrogeológicas reales se resumen en esquemas para los cuales existen soluciones teóricas. Los principales esquemas son:

1. Estrato limitado en planta, que representa un área considerable y no recibe alimentación ni desde arriba, ni desde abajo.

2. Estrato semilimitado en planta, es el que de una parte limita con zonas de descarga y de otra con zona de alimentación.

3. Estrato en banda, desarrollado entre la zona de alimentación y descarga, con cargas constantes en las mismas.

4. Estrato semilimitado relacionado con ríos, limita y se encuentra hidráulicamente relacionado con un río, en el cual durante la explotación o drenaje de las aguas subterráneas no varía su presión en tiempo.

5. Estrato en banda desarrollado entre las zonas de alimentación y descarga, en el que durante la alimentación o drenaje de las aguas subterráneas, disminuyen las cargas paralelo al desarrollo de la influencia de la explotación de las aguas subterráneas.

6. Estrato en banda desarrollado entre una zona de alimentación con carga constante y un contorno de rocas impermeables, en el cual las cargas disminuyen durante la explotación o drenaje de las aguas subterráneas.

7. Estrato en banda desarrollado entre dos contornos impermeables y no presenta alimentación desde arriba, ni desde abajo.

8. Estrato circular, que presenta un área limitada de desarrollo rodeado por contornos de alimentación (aguas superficiales o zonas acuíferas muy permeables en relación con la permeabilidad del estrato circular).

9. Estrato circular, que representa un área limitada y no recibe alimentación ni desde arriba, ni desde abajo, rodeado por contornos de rocas impermeables. Relacionándolos con una terminología radical, como planos se pueden denominar solamente los flujos planos con presión, pero a menudo con estos se relacionan también los flujos freáticos, cuando la desviación de la línea de flujo en perfil es pequeña o la misma se desarrolla en áreas pequeñas, de tal forma la mayoría de los flujos freáticos son espaciales (tridimensionales).

Con los flujos espaciales se relacionan la mayoría de los flujos de aguas subterráneas (tanto naturales como artificiales) que cambian en todas las direcciones. Generalmente los flujos espaciales se esquematizan y se reducen a planos o a lineales o a la combinación de estos.

Condiciones iniciales o de límites

La tarea de definir las condiciones de inicio o de límites se ejecuta mediante la idealización y esquematización de las condiciones hidrogeológicas, debido a que en la naturaleza las condiciones de los estratos acuíferos son muy complejas. El análisis de la simplificación depende no solo de las condiciones naturales, sino también del carácter de la tarea a resolver.

La mayor importancia la presenta la esquematización de las condiciones de límites en los contornos de alimentación, ya que el aumento o disminución de la alimentación del flujo subterráneo se refleja directamente en el esquema de distribución de las cargas (presiones), y relacionado con esto, en el abatimiento del nivel del agua en las tomas de agua. Por ello, la esquematización de las condiciones hidrogeológicas en los límites de alimentación de los horizontes o estratos acuíferos deberá ser ejecutada lo más aproximadamente posible a las condiciones reales. De tal forma, las condiciones hidrogeológicas naturales las podemos diferenciar por esquemas que correspondan a la siguiente clasificación:

1. Condiciones límites de primer grado: Responden a las leyes de cambio de cargas en función del tiempo:

= f (t) = f (t) h o S y = y0

y =y0

(5.17) A menudo estas condiciones se relacionan con límites con cargas constantes

= const. h

y= y0

Las condiciones de la expresión 5.18 se mantienen en los límites de la alimentación del flujo. Las cargas pueden ser características para límites de flujos donde existen altas permeabilidades.

2. Condiciones de límites de segundo grado: Responden a las leyes de cambio del caudal del flujo en función del tiempo:

Q = f (t) y = y0

(5.19) Donde:

Q; caudal del flujo subterráneo, m3_/día.

Como ejemplo de estas condiciones puede citarse además la superficie de las aguas freáticas con una infiltración homogénea y constante de las precipitaciones atmosféricas. En este caso, en el límite del flujo con el lecho del acuífero impermeable el gradiente de carga es igual a cero.

∂h _{= 0}

∂y

_(5.20)

y = y0

3. Condiciones límites de tercer grado: Representa una dependencia lineal la carga y la derivada de la misma en dirección normal al límite.

Como ilustración del caso más simple, esta condición puede ser representada de la siguiente forma: ∂h Z = m0 = h0 m0 ­ h (5.21)

∂y

Donde:

mo; potencia de un estrato relativamente poco permeable, que separa al estrato

más permeable del lecho de un río, m

h y h0; cargas en el techo y lecho del estrato aislante Z; ordenada del lecho del estrato aislante, m.

4. Condiciones límites de cuarto grado: Son características para los flujos en límites de estratos de diferente permeabilidad. En dichos límites se conserva la igualdad de cargas en cualquiera de ellos, para ambos estratos y la igualdad de las velocidades normales de filtración en este límite para los dos estratos. Estas condiciones se representan por la expresión siguiente:

=h2 (5.22) h1 y = y0 K1 ∂h1 K2 ∂h2 (5.23)

∂y

∂y

y= y0 y = y0 Donde:

K1 y K2; coeficiente de filtración de ambos estratos respectivamente, m/día;

h1 y h2; cargas en los estratos respectivamente, m.

Las líneas del flujo que pasan formando un ángulo, por los límites entre ambos estratos presentan refracción, a la vez que la tangente del ángulo formado por las líneas de flujo en el punto de intersección de estas, con el límite entre ambos estratos, será inversamente proporcional al coeficiente de filtración de los estratos. Las condiciones de límites en la superficie libre del flujo, en movimientos estacionarios, cuando no existe infiltración y la influencia de la zona capilar se puede despreciar, se puede considerar que la trayectoria de las partículas del agua en la superficie libre del flujo son líneas del flujo, y que la presión en esta superficie es igual a la atmosférica, es decir, constante. Si se considera el principio de las coordenadas en el nivel estático, tendremos en la superficie libre del mismo, que:

S = Z (5.24)

Donde:

S; descenso del nivel en un punto dado; m

Z; ordenada de cualquier punto en la superficie libre del agua; m.

Las condiciones límites entre líquidos de distintas densidades lo representa, por ejemplo, el límite entre las aguas dulces y saladas. En tales límites se crea una variación de cargas que se pueden representar de la siguiente forma:

γ

−γ

Hs– Hd = s d _{Z (5.25)}

γ

_d

Donde:

Hs y Hd; cargas en el límite de aguas saladas y dulces, m

γ

_s

;γ

d ; densidad de las aguas saladas y dulces, respectivamente, kg/m 3_,

gr/cm3

Z; coordenada del punto en el límite entre las aguas dulces y saladas, m. Las condiciones de inicio caracterizan la distribución de las cargas o de las velocidades de filtración en un flujo estacionario en un momento dado antes del inicio de su perturbación. Por ejemplo, para un flujo plano la condición de inicio puede representarse como:

= H0 ( x, y ) (5.26)

t = 0 Donde:

H0; es la función de las cargas en un flujo estacionario en un momento antes

del inicio de su perturbación (t = 0).

Si se considera la función del descenso de la carga relacionado con su situación en tiempo t = 0, entonces las condiciones de inicio estarán dadas por la expresión:

= 0

S (x, y) (5.27)

t = 0

Principales ecuaciones diferenciales de filtración

Las ecuaciones diferenciales de filtración están fundamentadas en la consideración del balance del agua (líquido) de masa o contenido de sales en un volumen elemental. En los flujos no estacionarios con cargas, en condiciones de explotación de las aguas, la disminución de las cargas en los espacios ocupados por el agua (poros, grietas, etc.), conlleva a la dilatación del agua y a la vez a la consolidación de las rocas. Como el esqueleto de las rocas se considera incompresible, su consolidación se ejecuta principalmente, por la disminución de la porosidad, agrietamiento, etc. El efecto resumen de la dilatación del agua y disminución de las cavidades de las rocas fue definido por primera vez por Sheskashóv, como fuente de alimentación de las aguas subterráneas en condiciones dadas. Esta alimentación presenta un carácter volumétrico y es proporcional al cambio de carga en un punto dado. El movimiento del agua está subordinado a la ley de filtración lineal.

Caracterizando las condiciones señaladas, la ecuación diferencial de la filtración espacial (tridimensional) en un estrato homogéneo se representa por la fórmula siguiente:

∂

2

H

∂

2

H

∂

2

H

1 ∂H

∂x

2

+

∂y

2

+

∂z

2

=

a . ∂t

(5.28)

Donde:

H = H (x, y, z); función de la carga para el flujo analizado, m t; tiempo, días

a; coeficiente de piezoconductividad de nivel, m2_/día.

El coeficiente de piezoconductividad representa la velocidad característica de las variaciones de carga en el estrato, y es proporcional al coeficiente de filtración e inversamente proporcional al coeficiente de capacidad elástica de las rocas acuíferas. Por eso, mientras mayor sea el coeficiente de filtración, es decir, mientras menor sea la resistencia interna de las rocas, más rápido ocurren los cambios de carga; y al contrario, mientras mayor sea la capacidad elástica de las rocas menor será la disminución de las variaciones de carga, según Shelkashóv:

K

a = (5.29)

β

Donde:

β

; coeficiente de capacidad elástica de las rocas, m/m.

Para las aguas freáticas se puede utilizar la ecuación 5.28, considerando las condiciones límites en la superficie libre del agua en traslado en función del tiempo, para la cual no existe resolución.

Para una infiltración elástica plana (bidimensional) en un estrato homogéneo

∂

2

H

comprendido en la ecuación 5.28 la relación ₂ es igual a cero, y para estas

∂z

condiciones la ecuación diferencial será:

∂

2

H ₊∂

2

H ₌

1 ∂H

.

(5.30)

∂x

2

∂y

2

a

∂t

Para estas condiciones, Bochevier, por analogía con las aguas freáticas, introdujo el término de entrega de aguas elástica del estrato acuífero

µ

* _{, siendo la misma una}

magnitud adimensional. De tal forma el coeficiente de conductividad elástica se expresa en la siguiente forma:

KM

a = _* (5.31)

µ

Donde:

M; espesor del estrato acuífero, m. Para los flujos de ejes simétricos tendremos:

∂

2

H

1

∂H

1 ∂H

+ +

=

.

(5.32)

∂r

2

r

∂r

a

∂t

En las condiciones sin presión (aguas freáticas), la ecuación se transforma en no lineal, ya que en lugar de la carga (H) en ella se incluye h2_{, es decir, el cuadrado del} espesor variable del estrato acuífero, en condiciones de que su lecho sea horizontal. La resolución de esta ecuación para las condiciones de aguas freáticas se ejecuta por la linealización que puede ejecutarse por dos vías:

h

2

a) Introduciendo la función (método de Veríguin-Bagróv)

2

b) Introduciendo en los cálculos el espesor medio del estrato acuífero hm para el

período de tiempo analizado:

S

hm = h - (método de Bíndeman)

2

Considerando que la entrega de agua elástica es algunas veces menor que la entrega de agua natural de las rocas, incluyendo las rocas agrietadas, en condiciones sin presión puede despreciarse la entrega de agua elástica.

El cálculo del coeficiente de conductividad de nivel se ejecuta por la fórmula 5.31 en la cual la magnitud (M) se cambia por hm y

µ

* por

µ

que es el coeficiente de entrega de

agua gravitacional de las rocas de acuíferos freáticos. Para los flujos lineales, la ecuación 5.28 se transforma en una forma más simple:

∂

2

H

1 ∂H

=

.

(5.33)

∂H

En condiciones de movimiento estacionario = 0, es decir, en las ecuaciones antes

∂t

relacionadas, la parte derecha se iguala a cero y su resolución se simplifica.

En espesores de rocas estratificadas el análisis hidromecánico de los procesos de filtración puede ser ejecutado mediante la resolución de sistemas de ecuaciones. Con ellas se relacionan:

a) Ecuaciones diferenciales confeccionadas para cada estrato independientemente. b) Ecuaciones que respondan a ecuaciones límites de cuarto grado para los

contactos entre los estratos de distinta permeabilidad.

c) Ecuaciones que respondan a otras condiciones límites del espesor acuífero. d) Ecuaciones para las condiciones de inicio.

De tal forma, el número de ecuaciones será igual al número de incógnitas, y la resolución de las mismas es posible. En la actualidad las ecuaciones diferenciales de la filtración para sistemas estratificados notablemente se simplifican gracias a las proposiciones de Guirínski y Matiév, las cuales consideran que en un espesor estratificado horizontalmente en los estratos relativamente permeables, el flujo es horizontal y en los estratos poco permeables es vertical.

Para estas ecuaciones, Bochevier, considerando la depreciación de la entrega de agua elástica del estrato delimitante, presenta las siguientes expresiones:

a_1⎜⎜⎛ ∂ ∂ x S 2 1 ₊ ∂ ∂ y S 2 1 ⎟⎟ ⎞ −b₁

(

S₁ −S₂

)

= ∂ ∂ S t 1 _(5.34) ⎝ ⎠ a_2⎜⎜⎛ ∂ ∂ S x2 2 ₊∂ ∂ S y2 2 ⎟⎟ ⎞ −b₂

(

S₂ −S₁

)

= ∂ ∂ S t 2 _(5.35) ⎝ ⎠ Donde:

a1 y a2: coeficiente de piezoconductividad de los estratos superiores e inferiores

respectivamente, m2_/día

K

₀

K

₀

b1 = _* y b2 = _*

m

₀

µ

₁

m

0

µ

2

K0; coeficiente de filtración del estrato intermedio (poco permeable), m/día

* *

µ

₁ y

µ

₂ : coeficiente de entrega de agua elástica de los estratos superiores e inferiores respectivamente

S1 y S2: disminuciones de las cargas en los estratos superiores e inferiores

respectivamente, m.

Por las investigaciones sobre una “porosidad doble” en toda una serie de rocas agrietadas, Brenblat y Zheltóv proponen un sistema a caracterizar, compuesto por los medios porosos (I, II) con distintas permeabilidades y capacidades. En condiciones de movimiento no estacionario ocurrirá el desbordamiento desde un medio (con alta capacidad y poca permeabilidad) hacia el otro medio (con alta permeabilidad y poca capacidad).

⎧K

₁

∂H

₁

⎫

⎪

∆H

₁

=(β

₁

+n

₁

β

L

)

−α(H

2

−H

1

)

⎪

⎪ν

1

∂t

⎪

⎨

⎬

(5.36)

⎪K

₂

∆H

=(β

+n β

)∂H

2

+α(H

−H )⎪

⎪ν

2 2 2 L

∂t

2 1

⎪

⎩

2

⎭

Donde:

H1 y H2; carga en los medios porosos I y II K1 y K2; permeabilidad de los medios I y II n1 y n2; porosidad en los medios I y II

ν

₁ y

ν

₂ ; viscosidad del agua, centipuaz

β

₁,

β

₂,

β

L ; compresibilidad de las rocas en los medios I, II y líquido (agua)

∆

; símbolo de Laplace

α

; coeficiente adimensional entre distintos medios porosos.

α

=K

₂

f

2

=

K

₂2 (5.37)

l

Donde:

f; superficie específica de las grietas, m2 l; dimensión media de un bloque dado, m

En condiciones de cambios de carga de forma paulatina, la intensidad del escurrimiento se puede considerar independiente al tiempo, es decir, el proceso toma un carácter cuasi-estacionario. De tal forma la representación de la intensidad del desbordamiento será:

Q =

γα

(

H₂ −H₁

)

(5.38)

ν

Donde:

γ

; densidad del agua, gr/cm3_.

En los casos en que la permeabilidad de las rocas, debido a su agrietamiento o porosidad de un bloque, es considerablemente mayor al otro bloque (k1

〉〉

k2), y la

porosidad es en uno de los bloques muy pequeña en comparación con el otro bloque (n1

_〈〈

n2), entonces en el sistema de ecuaciones 5.36 se puede considerar n1

≈

0 y K2

≈

0, de tal

forma:

∂

∂

H

t

1

_−n ∂(∆

∂

H

t

1

)_=α∆H

1 (5.39) Y

α

=

ν(β

₂

K

+

1

n

₂

β

₁

)

; n =

α

K

1 1 ₌

K

K

₁ 2

l

2 (5.40)

Cuando n → 0, el efecto de la doble porosidad no es sensible y la filtración toma el mismo carácter que en un medio poroso único. Por evaluaciones hechas por Langue, oscila entre 10-4 _{y 10}-6 _m.

El tiempo de retraso (

τ

) en el cual ocurrirá el desbordamiento de un medio poroso hacia otro estará dada por la expresión:

τ

=

n

(5.41)

α

Después del vencimiento de este tiempo, los cálculos pueden ejecutarse por las ecuaciones normales para medios porosos.

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