El modelo est´andar desarrollado a partir de los trabajos de Carr [71] y Helfrich [10] es ampliamente usado para describir fen´omenos de electro- convecci´on en cristales l´ıquidos. En este modelo las propiedades el´ectricas,
Figura 51: Voltaje umbral en las celdas de 127µmen funci´on de la frecuencia del campo el´ectrico AC.
Figura 52: dependencia con la frecuencia del numero de onda cr´ıtico en celdas de 127µm.
descritas por las ecuaciones de Maxwell, est´an acopladas al flujo de materia descrito por las ecuaciones de Navier-Stokes. Los torques el´asticos, el´ectricos y viscosos determinan la din´amica del director de la mesofase.
El modelo propone que las fluctuaciones espaciales del director, en pre- sencia de un campo el´ectrico, pueden inducir una densidad de carga espacial, la que provoca la aparici´on de fuerzas de Coulomb y flujo de materia. Sin embargo, el establecimiento de un fen´omeno electroconvenctivo depende fuer- temente de las propiedades materiales del sistema. De todas las propiedades de un cristal l´ıquido que pueden influenciar el desarrollo de una inestabilidad electroconvectiva se destacan dos cantidades claves: la anisotrop´ıa diel´ectrica (εa) y la conductividad anisotropica (σa). A estas cantidades se debe sumar
el alineamiento inicial del director, el cual tambi´en juega un rol importante. En un celda electro´optica donde la orientaci´on del director es homog´enea, el modelo est´andar requiere para el establecimiento de un proceso EHD que la conductividad anisotr´opica sea positiva y la anisotrop´ıa diel´ectrica negativa (o levemente positiva). En esta configuraci´on se destacan dos reg´ımenes, con- ductivo y diel´ectrico, encontrados para f < fc y f > fc respectivamente. La
frecuencia fc es una frecuencia de corte que se relaciona con los tiempos de
respuesta del sistema.
En el caso donde la orientaci´on inicial del director es homeotr´opica, el modelo est´andar tambi´en predice inestabilidades electroconvectivas cuando la conductividad anisotr´opica es negativa y la anisotrop´ıa diel´ectrica positiva. Para los casos mencionados, el modelo est´andar est´a compuesto mayormente por un conjunto de ecuaciones que describen el comportamiento del sistema [72]. Estas ecuaciones son:
I - La densidad de energ´ıa que incluye las interacciones el´asticas (ecua- ci´on (6)) y diel´ectricas (ecuaci´on (28)) dada por:
Fe+d= Z 1 2K1(∇ ·nˆ) 2 + 1 2K2(ˆn· ∇ ×nˆ) 2 +1 2K3(ˆn× ∇ ×nˆ) 2 (89) − εa 4π ˆ n·E~ 2 dV.
II - La ecuaci´on de balance de torques,
~
Γ = ˆn×S~ (90)
~ S=− δFe+d δnˆ + γ1N~ +γ2A~nˆ . (91)
El primer t´ermino de la ecuaci´on (91) es el torque debido a las fuer- zas el´asticas y el´ectricas con la derivada funcional δ/δnˆ = ∂ni −∂j(∂ni,j).
El torque viscoso est´a dado por los t´erminos restantes de (91) donde N~ es la variaci´on del director respecto al fluido en movimiento (dada por la ecua- ci´on (61) en el capitulo I). La cantidadA~es el gradiente de velocidad tensorial definida por la ecuaci´on (59) (capitulo I), dondeγ1 y γ2 son viscosidades de
rotaci´on.
II - La ecuaci´on de movimiento dada por [13, 12]:
ρd~v
dt =∇T~+ ~
f , (92)
dondeρ es la densidad del medio y~v es la velocidad del fluido. La fuerza
~
f debida a un campo el´ectrico E~ es,
~
f =ρeE,~ (93)
dondeρe es la densidad de carga espacial en el medio. En la ecuaci´on (92)
en tensor T~ij esta dado por:
~ Tij =−pδij − δFe+d δnk,i nk,j+tij, (94)
donde p es la presi´on, el segundo t´ermino del lado derecho re´une las deformaciones de segundo orden del director y el ´ultimo t´ermino re´une una combinaci´on de los seis coeficientes de viscosidadαi [13]. Tambi´en es tenida
en cuenta aqu´ı la incompresibilidad del material,
∇ ·~v = 0. (95)
IV - La ecuaciones electrost´aticas,
∇ ·ε ~E=ρe, ∇ ×E~ = 0 (96) y la conservaci´on de la carga, ∇ ·~j+ ∂ ∂tρe= 0, ~j =σa ~ E+ρe~v. (97)
La aplicaci´on del modelo est´andar a compuestos l´ıquidocristalinos conεa
y σa de igual signo, no predice inestabilidades convectivas. Esto se debe a
que las inestabilidades inducidas por el desplazamiento de la carga espacial no afecta la orientaci´on molecular, ya que la direcci´on de ambas coincide. El voltaje cr´ıtico predicho para inestabilidades EHD queda dado por [10]:
Vc= 2π v u u t 4πK3 h εaσσ⊥k +εkα2η2 σ⊥ σk − ε⊥ εk i. (98)
Empleando los valores t´ıpicos de los par´ametros materiales del 5CB (εa∼
10, σ⊥/σk ∼ 0,7 ε⊥/εk ∼ 0,5 [51], α2/η2 ∼ 0,1 [73] y K3 ∼ 10×10−12 ) se
obtiene un valor muy peque˜no, del orden de 0,2mV, el cual no se comprueba experimentalmente.
La introducci´on de efectos flexoel´ectricos en el modelo est´andar permi- ti´o explicar los patrones obtenidos en compuestos con εa < 0 y σa <0 [70].
Esta modificaci´on es introducida en la ecuaci´on (97) a trav´es de,
ρe =∇ ·D,~ (99)
dondeD~ es el desplazamiento diel´ectrico dado por:
~
D=εεaE~ +P~f lexo. (100)
La polarizaci´on flexoel´ectrica P~f lexo est´a definida por [13]:
~
Pf lexo =e1ˆn(∇ ·nˆ) +e3(ˆn· ∇) ˆn. (101)
Esta modificaci´on al modelo est´andar tampoco predice inestabilidades convectivas en compuestos con εa>0 y σa>0.
Si bien la aplicaci´on del modelo est´andar a compuestos conεa>0 yσa>
0 no predice inestabilidades convectivas, permite calcular el valor umbral de campo para una transici´on de Freedericksz:
EF ≈ π d r 4πK3 εa . (102)
A partir de la evidencia experimental presentada se interpreta que las estructuras hexagonales observadas son el resultados de una deformaci´on est´atica del director, donde los efectos flexoel´ectricos pueden ser importantes.
De hecho, estas estructuras parecen formarse a partir de cruces de Malta debido a fuertes deformaciones localizadas del director cerca de los electrodos. Podr´ıa plantearse una extensi´on al volumen del desarrollo que predice la formaci´on de estructuras peri´odicas, posiblemente de origen flexoel´ectrico [49].