La instancia activa de un DAF debe contener s´olo estructuras activas, concepto definido a continuaci´on.
2.3. La Instancia Activa 35
Definici´on 2.16 (Estructura Argumental Activa)
Dado un DAF F =hE, W , ./,prefi, una estructura argumental bien for- mada Σ en F est´a activaseg´un E sssi pr(Σ)⊆E y cada argumento en
args(Σ) es coherente seg´un E.
El conjunto de estructuras argumentales activas de un DAF se define an´alogamente al conjunto de argumentos activos, y se denota como “S”. Esta definici´on establece una propiedad importante: el soporte de una estructura activa est´a compuesto por evidencia. Esto acerca las nociones de estructura activa y argumento activo, lo cual demuestra que las estruc- turas argumentales, con cierto grado de abstracci´on, se comportan igual que los argumentos. Tambi´en debe tenerse en cuenta que una definici´on de estructura activa podr´ıa haber sido “toda estructura compuesta por argumentos activos”. Sin embargo, esta noci´on no captura el sentido que le queremos dar, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.4 Consideremos la evidencia E2,4 = {a, b}, y dos estruc- turas Σ1 y Σ2 tal que args(Σ1) = {A1,A2}, args(Σ2) = {A1}, donde
int(A1) = h{c}, di, int(A2) =h{a, b}, ci, como puede verse en la Figu- ra 2.4. Seg´un E2,4, Σ1 est´a activa, pero Σ2 no. Claramente, ambas es- tructuras contienen argumentos activos, pero esta condici´on no asegura que las estructuras lo est´en.
c d
A
1A
2 a b c dA
1 Σ1 Σ2Esto es, el tipo de estructura argumental que queremos que sea con- siderada como activa debe incluir todos los argumentos que fueron ne- cesarios para su construcci´on. Toda otra estructura “incompleta” no nos brindar´ıa m´as informaci´on que la ofrecida por cada argumento activo. Por otra parte, cabe destacar que una estructura activa est´a compuesta s´olo por argumentos activos. La relaci´on inversa no siempre se verifica, tal como se acaba de explicar.
Proposici´on 2.3 Si Σ es una estructura argumental activa seg´un un conjunto de evidenciaE, entonces todo argumento enargs(Σ) est´a activo seg´un E.
Demostraci´on: Las hip´otesis son: pr(Σ)⊆E y todo argumento en
args(Σ) es coherente.
Probaremos este resultado por inducci´on sobre la longitud n de la secuencia de soporte entre argumentos. Llamaremos secuencia de so- porte de un argumento Ak ∈ args(Σ) a la secuencia de argumentos [A1, . . . ,Ak], donde A1≤i≤k ∈ args(Σk) y Σk v Σ es la subestructura argumental cuyo argumento tope es Ak.
Caso base (n = 1) Los argumentos que son hojas del ´arbol subya- cente a Σ no est´an soportados por ning´un argumento y est´an trivial- mente activos, ya que sus premisas est´an satisfechas por E: si A es ho- ja entonces cl(B) ∈/ pr(A), para cualquier B ∈ args(Σ), y por lo tanto
pr(A) ⊆ pr(Σ) ⊆ E, por definici´on de conjunto de premisas de una es- tructura argumental.
Hip´otesis inductiva(n ≤k)Dada la secuencia de soporte[A1, . . . ,Ak], donde cada premisa de Ai est´a soportada o bien por Aj (1≤j < i≤k), o por evidencia en E. Asumamos que Ak est´a activo.
Paso inductivo (n =k+ 1) Dada la secuencia de [A1, . . . ,Ak+1], cada premisa deAk+1 est´a soportada o bien por evidencia en E, o porAj (j ≤
2.3. La Instancia Activa 37
k). Por hip´otesis inductiva tenemos que Aj est´a activo, por lo cual Ak+1 tiene sus premisas satisfechas por evidencia o por argumentos activos; es decir Ak+1 est´a activo.
Por ´ultimo, por hip´otesis todo argumento Σ es coherente; luego, todo argumento en args(Σ) est´a activo seg´un E.
M´as a´un, todo argumento activo est´a respaldado por una estructura argumental, en la cual el argumento en cuesti´on es el tope de la estruc- tura.
Proposici´on 2.4 Dado un conjunto de evidencia E, un argumento A
est´a activo seg´un E sssi existe al menos una estructura argumental activa Σ seg´un E tal que top(Σ) =A.
Demostraci´on:
(⇒)SiA est´a activo seg´unE, cada premisa que no est´e en E est´a so- portada por un argumento activo. Esto responde a la definici´on de es- tructura argumental. Dado que todo argumento activo es coherente, y las premisas no alcanzadas por otro argumento en esta estructura argumen- tal Σ ser´an evidencia en E, las premisas de Σ (la diferencia entre los conjuntos de premisas y conclusiones de todos sus argumentos) estar´an incluidas en E.
(⇐)Por la Proposici´on 2.3 tenemos que en cada estructura argumen- tal activa, todos sus argumentos est´an activos, en particular, el argumento tope.
Esta proposici´on establece que para cada argumento activo no ne- cesariamente hay una ´unica estructura argumental activa asociada. Por ejemplo, consideremos las estructuras argumentales ilustradas en la Figu- ra 2.5, y un conjunto de evidencia{a, x}; es claro que ambas estructuras est´an activas. N´otese que ambas tienen el mismo argumento tope, pero
el argumento que utilizan para lograr su activaci´on es distinto en cada caso. b c
A
1A
2 a b cA
1A
3 x Σ1 Σ2Fig. 2.5: Estructuras argumentales con mismo argumento tope
Por ´ultimo, las estructuras activas en un DAF involucran a todos los argumentos activos en ese DAF.
Proposici´on 2.5 Dado un DAF F, el conjunto de argumentos activos A en F seg´un E y el conjunto de estructuras argumentales activas S en
F seg´un E, entonces S
Σ∈S(args(Σ)) =A.
Demostraci´on:Por la Proposici´on 2.4 se tiene que todo argumento activo es el argumento tope de al menos una estructura argumental acti- va. Por esto, con s´olo unir estos argumentos tope ya tendr´ıamos todo el conjunto de argumentos activos.
Las estructuras argumentales activas son minimales en el sentido que incluyen todos los argumentos necesarios para determinar que el argu- mento tope est´a activo, pero ninguno m´as. Esta propiedad es importante para establecer el car´acter no superfluo de los elementos que componen una raz´on v´alida para una cierta conclusi´on. Por otra parte, la incorpora- ci´on de m´as argumentos que los necesarios debilitar´ıa innecesariamente la estructura argumental. Dado que la definici´on para una estructura activa no indica c´omo se realiza su construcci´on, el siguiente resultado demuestra esta afirmaci´on.
2.3. La Instancia Activa 39
Lema 2.1 (Minimalidad de una Estruct. Argumental Activa)
Dada una estructura argumental Σ activa seg´un un conjunto de eviden- cia E, no existe otra estructura argumental Σi activa seg´un E tal que
args(Σi)(args(Σ).
Demostraci´on: Supongamos por el absurdo que existe una estruc- turaΣi activa tal que args(Σi)(args(Σ), i.e., Σi est´a bien formada, todo argumento enΣi es coherente, ypr(Σi)⊆E. Sin p´erdida de generalidad, se puede asumir que existe un argumento A tal que args(Σ)\args(Σi) =
{A}. Dado que Σi est´a activa se verifica que, o bien:
cl(A)∈pr(Σi)⊆E, i.e., cl(A)∈E. Esto significa que A es redun- dante con respecto a la evidencia, A no es un argumento coherente yΣ no puede ser una estructura activa, ya que ´estas contienen s´olo argumentos coherentes (ver Definici´on 2.16), o
existe B ∈ args(Σ) tal que cl(B) = cl(A). Esto significa que la inclusi´on de A en Σ con respecto a Σi viola la propiedad de uni- formidad. Luego, Σ no es una estructura bien formada y no puede estar activa.
Dado que Σ est´a activa por hip´otesis, el absurdo provino de suponer la existencia de Σi. Luego, Σ es minimal con respecto a la inclusi´on de conjuntos sobre args(Σ).
Para entender la siguiente definici´on debe recordarse que la derro- ta entre dos estructuras argumentales se calcula a partir de la relaci´on de conflicto y la funci´on de preferencia, y se denota “⇒” (ver Defini- ci´on 2.13).
Definici´on 2.17 (Derrotas Activas entre Estructuras Argum.)
mentales activas en F seg´un E, la relaci´on activa de derrota entre estructuras argumentalesenF es=={(Σ1,Σ2)∈ ⇒ |Σ1,Σ2 ∈S}.
Definici´on 2.18 (Instancia Activa) Lainstancia activade un DAF F =hE, W , ./,prefi es el AF (S,=), donde S es el conjunto de estruc- turas argumentales activas a partir de W seg´un E, y = es la relaci´on activa de derrota entre estructuras argumentales enF.
Un DAF tiene, en todo momento, una instancia activa asociada, la cual es un AF. De esta forma, los resultados existentes en la literatura acerca de aceptabilidad de argumentos y sem´anticas sobre marcos argu- mentativos son aplicables al DAF. M´as a´un, dado que el DAF representa argumentos con mayor nivel de detalle (i.e., premisas y conclusiones), se puede ir un paso m´as all´a y considerar justificaci´on de conclusiones, ya sea a partir de una sem´antica esc´eptica u osada.
Como fue mencionado antes, los DAFs pueden ser vistos como una plantilla para generar m´ultiples AFs representando el mismo conocimien- to, pero aplicado a diferentes situaciones. Puede obtenerse una gran can- tidad de instancias activas a partir de un DAF: dado que cada subcon- junto de evidencia conforma una instancia activa diferente, entonces la cantidad de instancias de un DAF est´a en el orden de 2|L|, donde Les el
lenguaje para representar evidencia, premisas y conclusiones.
Lema 2.2 Dado un DAFF =hE, W , ./,prefi, la instancia activa(S,=) de F es un marco argumentativo abstracto [Dun95].
Demostraci´on: Dado que cada estructura argumental representa una raz´on para una conclusi´on en base a un conjunto de premisas, ´estas siguen la misma noci´on que los argumentos en un AF. Los ataques en- tre estructuras siguen el mismo fundamento que los ataques entre argu- mentos de un AF: denotar una relaci´on de derrota de una estructura
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sobre otra. Finalmente, la instancia activa s´olo contiene estructuras ar- gumentales y ataques que est´an activos, i.e., pueden ser utilizados para el razonamiento. Luego, una instancia activa de un DAF es capaz de representar, al menos, el mismo conocimiento que un AF.
Ejemplo 2.5 Consideremos el DAF hE2,5, W2,5, ./2,5,pref2,5i, donde: W2,5 ={A1,A2,A3,B1,B2,B3};
./2,5 ={(A2,A1),(B1,A1),(B2,B1)};
pref2,5(A2,A1) =A2; pref2,5(B1,A1) = B1; pref2,5(B2,B1) =B2.
Las interfaces de los argumentos y las estructuras argumentales se ilustran en la Figura 2.6. La direcci´on de las flechas indica la preferencia ante un conflicto. muchos policías buena seguridad
A
2 ladrones, mala seguridad ruta peligrosaA
3 ladrones, mala seguridad ruta peligrosaA
3 salarios bajosA
1 policías extranjerosB
3 policías voluntarios buena seguridadB
1 área no conocida mala seguridadB
2 policías extranjerosB
3 área no conocidaB
2 Σ2 Σ13 Σ1 Σ23 Σ323Fig. 2.6:DAF del ejemplo 2.5
La estructura Σ2 especifica que la presencia de muchos polic´ıas en un lugar suele ser una se˜nal de buena seguridad. La estructura Σ13 establece que una ruta es peligrosa porque hay ladrones all´ı y la seguridad es mala debido a que la polic´ıa del lugar recibe salarios bajos. La estructura Σ1 provee una raz´on a favor de la buena seguridad en una locaci´on si es que
los polic´ıas all´ı son voluntarios. La estructura Σ23 dice que la presencia de polic´ıas extranjeros en un lugar lleva a pensar que la seguridad es mala, dado que no conocen el ´area. La estructura Σ323 tiene el mismo argumento tope queΣ13, pero justifica la mala seguridad en un lugar por la raz´on dada por Σ323.
Dados los conjuntos de evidencia:
E2,5,1 ={muchos polic´ıas, ladrones, salarios bajos}
E2,5,2 ={muchos polic´ıas, ladrones, salarios bajos, polic´ıas voluntarios}
E2,5,3 ={ladrones, salarios bajos, polic´ıas voluntarios, polic´ıas extranj.}
E2,5,4 ={ladrones, salarios bajos, polic´ıas voluntarios}
tenemos las instancias activas ilustradas en la Figura 2.7, donde los tri´angulos con v´ertices redondeados representan estructuras argumenta- les2.
Σ
2Σ
13Σ
2Σ
1Σ
13Σ
1Σ
Σ
13 32Σ
323Σ
1Σ
13 (S2,5,1,=2,5,1) (S2,5,2,=2,5,2) (S2,5,3,=2,5,3) (S2,5,4,=2,5,4)Fig. 2.7:Instancias activas del Ej. 2.5 de acuerdo a distintos conjuntos de evidencia
Si consideramos la sem´antica grounded, las estructuras argumentales garantizadas en cada situaci´on ser´ıan:
Σ2 en (S2,5,1,=2,5,1);
Σ2 yΣ1 en (S2,5,2,=2,5,2);