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La caracterización de la forma es un problema cuya solución general no se conoce. Debido a ello se suele limitar a un enfoque descriptivo (Thompson, 1942). Así, cuando se intenta describir la forma de un objeto se suele hacer con referencia a una forma geométrica definida, de modo que la descripción de la forma sólo es satisfactoria en aquellos casos en que el objeto coincide exactamente con un objeto de referencia, lo cual es poco frecuente; en la práctica, la forma de un objeto se aproxima más o menos a la forma de referencia y en esta evaluación radica la dificultad del problema (Coster et al., 1989).

El análisis de la forma se puede llevar a cabo esencialmente de dos maneras: 1- Los objetos de estudio se comparan con un objeto definido. Esta aproximación se aplica, por ejemplo, en el reconocimiento automático de la escritura; sin embargo, las formas de los lagos pueden ser mucho más complejas que las de las letras de un alfabeto, debido a una componente aleatoria difícil de evaluar.

2- Los objetos de estudio se analizan y clasifican mediante una serie de parámetros. Esto se puede hacer de forma muy aproximada, utilizando uno o varios índices de forma, o bien de manera completa a través de métodos de análisis espectral, que permiten describir un objeto mediante una serie de coeficientes (análisis de Fourier, análisis fractal) (Coster et al., 1989).

Las descripciones geométricas tradicionales de la forma de un objeto (e.g., su vector de coordenadas cartesianas) resultan por lo menos igual de complejas que la propia forma, y además algunas medidas son redundantes respecto a otras; a pesar de ello, constituyen la aproximación morfométrica más general (Lohmann, 1983).

En la primera parte del presente capítulo nos hemos ceñido al estudio de dichas variables e índices de forma.

Existen diferentes definiciones de los conceptos de tamaño y forma.

Por una parte, interesa que los índices de forma que se utilicen sean no sólo invariantes respecto a las rotaciones y translaciones, sino también - y en la medida de lo posible- respecto al tamaño. Estas propiedades conducen de un modo natural a una definición en términos matemáticos del concepto de forma: una forma es una clase de equivalencia en el conjunto de los objetos del espacio considerado (e.g., el plano) (Bookstein, 1978). Sin embargo, y a pesar del interés conceptual de esta definición, nos centraremos en otras definiciones menos generales de la forma, pero que son las que se refieren a los problemas aplicados en biología, o en geología.

Según Reyment (1985), y Jolicoeur et al. (1960), se pueden interpretar los dos primeros ejes de un análisis de componentes principales (PCA) como tamaño y forma, respectivamente, cuando explican casi toda la variabilidad por sí solos, mientras que si los valores propios decrecen paulatinamente no es correcta dicha interpretación. Además, para que el primer componente se pueda interpretar como tamaño global es necesario que todos sus coeficientes tengan el mismo signo positivo (Jolicoeur et al., 1960; Marcus, 1990). Esta sería una primera aproximación -de tipo estadístico- al estudio del tamaño y la forma.

En un PCA se considera útil una variable de forma cuando no está correlacionada (i.e., no presenta alometría) con el primer componente (interpretado a menudo como "tamaño global"), pero sí lo está con los siguientes componentes (interpretados entonces como "forma"). En biología las variables y cocientes de forma muy correlacionados con el tamaño no se suelen considerar de utilidad como caracteres taxonómicos; en el caso de los lagos hemos hallado que las correlaciones entre las variables cocientes y el área (tomada como variable de tamaño) son en general bajas (salvo en el caso de la profundidad media en el Pirineo; véase la tabla 39). Por otra parte, cuanto mayor sea la alometría de una variable con el tamaño, menos útil resultará como variable de forma, entendiéndose aquí la alometría como la correlación que existe entre una variable de tamaño y otra de forma (i.e., su loading) (Bookstein, 1990). La transformación a logaritmos se utiliza para eliminar relaciones de alometría entre variables morfométricas (Cuadras, 1981).

Una segunda aproximación más rigurosa al estudio del tamaño y la forma (Bookstein, 1989) sería la geométrica clásica de Mosimann (1970). Este autor define el tamaño como una función escalar G, tal que G(a*X) = a*G(X) (i.e., lineal o no, Bookstein, 1991) definida arbitrariamente entre las variables que miden los datos (A y B, por ejemplo); así, por ejemplo, G puede ser la variable A, o bien el logaritmo de la raíz cuadrada de A*B; una vez definida la G, cualquier cociente entre una variable y G es una variable de forma. En este contexto la alometría es el ángulo entre G y cada cociente así construido (Bookstein, 1990); en la práctica suele existir alometría, i.e., suele darse correlación entre el tamaño y la forma (hay correlación entre los cocientes de forma y la variable de tamaño G) (Bookstein, 1989).

Una tercera aproximación al análisis del tamaño y la forma consiste en elegir arbitrariamente una medida que llamamos a priori tamaño (G, o bien el primer

componente de un análisis de componentes principales, o bien el área o el perímetro de un objeto, etc), y hacer una regresión entre ésta y cada variable, de forma que se sustituye cada cociente por un residuo de regresión. En este método la forma no presenta alometría con el tamaño, por definición. En un análisis de regresión, la cantidad de variación residual indica la magnitud de la independencia entre la variable de forma y el tamaño. Por ejemplo, si consideramos como variables de tamaño el área (A), la profundidad (Z), la profundidad media (Z) , el volumen (V), el perímetro (P), la longitud máxima (L), la anchura media (W), y el área de la cuenca de drenaje (Ad), entonces se pueden considerar variables de forma los tradicionales cocientes de la profundidad media referida a la profundidad máxima (Z/ Z), el desarrollo de costa (Dl), la profundidad relativa (Zr), el área de la cuenca de drenaje referida al área del lago (Ad/A), y el alargamiento (L/W); cada uno de ellos se sustituye luego por su correspondiente residuo de regresión.

En el capítulo sobre fractales se indica que la dimensión fractal (D) puede ser una buena variable de forma, ya que en teoría es independiente del tamaño (tanto del área, como de la profundidad media, o la profundidad máxima), mientras que en algunos casos el resto de variables de forma mencionadas dependen en mayor o menor medida del tamaño.

Finalmente, aunque se divida una variable X por un tamaño (e.g., el área) no se garantiza que sea independiente de otras variables de tamaño; en última instancia, todas las variables morfométricas son de tamaño, así que habría que dividir X por una combinación adecuada de todas ellas para asegurarse que el tamaño ha sido realmente eliminado. En particular, como la forma se puede resumir en una combinación de variables de tamaño, es de esperar que en general aparezca cierta correlación entre cualquiera de éstas tomada como tamaño y un cociente de forma.