Observemos que si C1 =V(F1, . . . , Fr) y C2 =V(G1, . . . , Gs) son dos sub- conjuntos algebraicos deAn definidos sobrek, entonces
C1∪C2=V(FiGj |i= 1, . . . , r, j= 1, . . . , s)
es tambi´en un conjunto algebraico definido sobre k. M´as en general, la uni´on finita de subconjuntos algebraicos deAn definidos sobrekes de nuevo un con- junto algebraico definido sobrek. Similarmente, la intersecci´on de una familia arbitraria (no necesariamente finita) de subconjuntos de An definidos sobrek es de nuevo un conjunto algebraico definido sobre k (definido por la uni´on de los conjuntos de polinomios que definen a los miembros de la familia).
Si a˜nadimos a esto que An =V(0) y ∅ =V(1) son conjuntos algebraicos definidos sobrek, vemos que podemos definir latopolog´ıa de ZariskideAn rela- tiva akcomo la topolog´ıa que tiene por cerrados a los subconjuntos algebraicos deAn definidos sobrek.
Latopolog´ıa de Zariskien un conjunto algebraicoC/kdeAnes la restricci´on a C de la topolog´ıa de Zariski de An, cuyos cerrados son los subconjuntos algebraicos deC definidos sobrek.
En lo sucesivo consideraremos a los conjuntos algebraicos (definidos sobrek) como espacios topol´ogicos con la topolog´ıa de Zariski.
Hay que tener presente que la topolog´ıa de Zariski no es de Hausdorff, como veremos enseguida. En general, cuando hablemos de espacios topol´ogicos no supondremos nunca que sean de Hausdorff.
Definici´on 3.26 Un espacio topol´ogicoX esirreduciblesi cuandoX =C1∪C2 conC1 yC2 cerrados, necesariamenteC=C1 oC=C2.
Llamaremos variedades algebraicas afinessobre k a los subconjuntos alge- braicos (definidos sobrek) irreducibles respecto a la topolog´ıa de Zariski relativa ak.
Teorema 3.27 Un conjunto algebraicoV /k no vac´ıo es irreducible si y s´olo si el idealI(V)es primo.
Demostraci´on: SiV /k es irreducible y F1, F2 ∈ k[X1, . . . , Xn] cumplen F1F2 ∈ I(V), entonces podemos tomar H1 = V(F1), H2 = V(F2), con lo que tenemos dos conjuntos cerrados tales que V = (V ∩H1)∪(V ∩H2). Por consiguienteV =V ∩Hi para uni, de donde se sigue queFi∈I(V).
Rec´ıprocamente, si I(V) es primo y se cumple que V =C1∪C2, entonces I(V) = I(C1)∩I(C2) ⊃ I(C1)I(C2), luego I(V) ⊃I(Ci) para alg´un i, luego V ⊂Ci, es decir,V =Ci.
Ejercicio: Probar que lasvariedades lineales,es decir, los subconjuntos algebraicos de An definidos por un sistema de ecuaciones lineales (puntos, rectas, planos, etc.) son irreducibles.
Las variedades afines definidas sobrekse corresponden biun´ıvocamente con los ideales primos dek[X1, . . . , Xn], de donde se sigue f´acilmente que las subva- riedades afines definidas sobrekde un conjunto algebraicoC/kse corresponden biun´ıvocamente con los ideales primos del ´algebrak[C].
Demostramos ahora algunos resultados v´alidos para espacios topol´ogicos ar- bitrarios:
Teorema 3.28 Sea X un espacio topol´ogico. Las afirmaciones siguientes son equivalentes:
a) X es irreducible.
b) Si U1 yU2 son abiertos no vac´ıos, entoncesU1∩U26=∅.
c) Todo abierto no vac´ıo es denso enX.
Demostraci´on: La equivalencia entre a) y b) se obtiene tomando comple- mentos, y la equivalencia entre b) y c) es trivial.
Como consecuencia, un subconjuntoY de un espacio topol´ogicoX es irredu- cible si y s´olo si lo es su clausuraY. En efecto, siY es irreducible, dos abiertos no vac´ıos deY son de la formaU1∩Y,U2∩Y, con losUiabiertos no vac´ıos en Y. La intersecci´on esU1∩U2∩Y, que es no vac´ıo, puesto que U1∩U26=∅y Y es denso enY. El rec´ıproco se prueba similarmente.
Definici´on 3.29 Unacomponente irreduciblede un espacio topol´ogicoX es un subconjunto irreducible maximal respecto a la inclusi´on.
Por la observaci´on precedente, las componentes irreducibles son cerradas. Teorema 3.30 Todo subconjunto irreducible de un espacio topol´ogico est´a con- tenido en una componente irreducible. Todo espacio topol´ogico es la uni´on de sus componentes irreducibles.
Demostraci´on: Puesto que los puntos son trivialmente irreducibles, la se- gunda afirmaci´on se deduce inmediatamente de la primera. SiX es un espacio topol´ogico y X0 es un subconjunto irreducible, consideramos la familia de to-
dos los subconjuntos irreducibles deX que contienen a X0. Basta probar que
podemos aplicar el lema de Zorn, para lo cual basta a su vez demostrar que la uni´on de una cadena de conjuntos irreducibles es tambi´en irreducible.
En efecto, dos abiertos no vac´ıos de la uni´on M son las intersecciones con M de dos abiertos no vac´ıos de X, digamos U1 y U2. Existe un miembro de la familia, digamosM0 tal queM0∩Ui 6=∅para los dos ´ındices i, con lo que
M0∩U1∩U26=∅y tambi´enM∩U1∩U26=∅.
Definici´on 3.31 Un espacio topol´ogico esnoetherianosi para toda cadena de- creciente de cerradosC1 ⊃ C2 ⊃C3 ⊃ · · ·existe un ´ındice i tal que Ci =Cj para todoj ≥i.
Por ejemplo, si C/kes un conjunto algebraico definido sobre k, entonces el ´
algebrak[C] es claramente noetheriana, lo cual se traduce en queC es noethe- riano, pues toda cadena decreciente de cerrados en C se corresponde con una cadena creciente de ideales enk[C].
Teorema 3.32 Un espacio topol´ogico noetheriano tiene un n´umero finito de componentes irreducibles, ninguna de las cuales est´a contenida en la uni´on de las dem´as.
Demostraci´on: SeaMel conjunto de los subconjuntos cerrados del espacio que no pueden expresarse como uni´on finita de componentes irreducibles. Vamos a demostrar que M =∅. Si existe un C0 ∈M, entoncesC0 no es irreducible, luego C0 = C1 ∪D1, donde ninguno de los dos cerrados es igual a C0. Si ambos cerrados se descompusieran en uni´on finita de conjuntos irreducibles, lo mismo le suceder´ıa a C0, luego al menos uno de ellos, digamos C1 no admite tal descomposici´on, es decir,C1∈M. Repitiendo el argumento formamos una cadena estrictamente decreciente C0 ⊃C1 ⊃C2 ⊃ · · ·, en contradicci´on con el car´acter noetheriano del espacio.
As´ı pues, todo cerrado, y en particular el propio espacio, es uni´on de un n´umero finito de componentes irreducibles. Digamos que la descomposici´on es X =X1∪ · · · ∪Xr (donde podemos suponer que las componentes son distintas dos a dos). SiY es cualquier componente irreducible deX, entonces
Y =Y ∩X= (Y ∩X1)∪ · · · ∪(Y ∩Xr),
de donde se sigue que Y = Y ∩Xi para alg´un i, es decir, Y ⊂ Xi y, por maximalidad,Y =Xi. Esto prueba que el n´umero de componentes irreducibles es finito. M´as a´un, ninguna de ellas puede estar contenida en la uni´on de las restantes, pues el argumento que acabamos de emplear probar´ıa que ser´ıa igual a una de las restantes.
La topolog´ıa de Zariski nos permite definir la dimensi´on de un conjunto algebraico:
Definici´on 3.33 SiX es un espacio topol´ogico, llamaremosdimensi´on de Krull
deX, abreviada dimX ∈N∪ {∞}, al supremo de las longitudesnde todas las cadenas de cerrados irreducibles no vac´ıos
X0√X1√· · ·√Xn.
Convenimos en que dim∅=−1. Lacodimensi´onde un cerrado irreducible no vac´ıo Y en X se define como el supremo codimXY de las longitudes de todas las cadenas que cumplen adem´asX0=Y.
Como un espacio de Hausdorff irreducible (no vac´ıo) se reduce a un punto, vemos que la dimensi´on de Krull de todo espacio de Hausdorff no vac´ıo es siempre 0. Por el contrario, es f´acil probar que dimAn ≥ n, sin m´as que considerar una cadena creciente de variedades lineales. De hecho se cumple
la igualdad, aunque ahora no estamos en condiciones de probarlo. M´as en general, veremos que —con esta definici´on de dimensi´on— todos los conjuntos algebraicos tienen dimensi´on finita, los puntos tienen dimensi´on 0, las rectas tienen dimensi´on 1, etc. Para ello necesitaremos varias t´ecnicas algebraicas que desarrollaremos en las secciones siguientes. Terminaremos esta secci´on con algunas observaciones sencillas sobre la dimensi´on de Krull:
Es evidente que siY es un cerrado irreducible en un espacio topol´ogico X, se cumple que
dimY + codimXY ≤dimX.
Hay que tener presente que la desigualdad puede ser estricta. (Por ejemplo, en un conjunto algebraicoC que sea uni´on de un plano y una recta, un punto que est´e sobre la recta pero no sobre el plano tiene dimensi´on 0 y codimensi´on 1, mientras que la dimensi´on de C es 2. Seg´un hemos comentado, ahora no es- tamos en condiciones de justificar estas afirmaciones, pero m´as adelante ser´an evidentes.)
Toda cadena de cerrados irreducibles en un espacio topol´ogico ha de estar contenida en una de sus componentes irreducibles, luego podemos concluir que la dimensi´on de un espacio topol´ogico es el supremo de las dimensiones de sus componentes.
Similarmente, si X =A1∪ · · · ∪Ar es una descomposici´on de X en cerra- dos, cada cadena de cerrados irreducibles ha de estar contenida en uno de los conjuntosAi, luego tambi´en tenemos que dimX= m´ax
i dimAi.
Por ´ultimo observemos que si Y es un subconjunto cerrado de X entonces dimY ≤dimX. Si tanto Y como X son irreducibles y dimX <∞, entonces la igualdad s´olo se da siY =X. En efecto, siY √X y dimY =r, una cadena de cerrados irreducibles de Y de longitud r se completa a una cadena con un t´ermino m´as a˜nadiendoX.