Ordering

Una colisi´on puede ser frontal u oblicua. En los problemas de colisiones es fundamental el siguiente principio llamado “regla de colisiones de Newton”

Sea v12 y v210 las velocidades relativas de las esferas a lo largo de la normal com´un antes y despu´es de la colisi´on. Entonces

v0₁₂= −²v12

La cantidad ² llamado el coeficiente de restituci´on, depende de los materiales de los objetos y se forma generalmente como una constante cuyo valor varia entre 0 y 1. Si ² = 0 la colisi´on se denomina totalmente inel´astica o simplemente inel´astica. Si ² = 1 la colisi´on se denomina totalmente el´astica o simplemente el´astica.

8.3.

Problemas Resueltos

Problema 8.1

Una granada de 2Kg se encuentra en reposo y explota en 3 pedazos. Como si m1 = 0,6Kg, m2 = 0,6Kg y m3 = 0,8Kg, la velocidad de los 2 primeros fragmentos despu´es

de la explosi´on son 100m/s y hacen un ´angulo de 60◦_{. ¿cu´al ser´a la velocidad del tercer}

fragmento? Soluci´on: 1 2 3 v Cos60° 2 v Cos60° 1 60° 60° v 1 ® v₂ ® v 3 ®

8. Cantidad de Movimiento, Impulso y Choques 44 Por la conservaci´on de momentum, se tiene:

~0 = m1~v1+ m~v2+ m3~v3

~0 = 0,6Kg(−v1cos 60◦bi+ v1sen 60◦bj) + 0,6Kg(v2cos 60◦bi+ v2sen 60◦bj) + 0,8Kg(~v3)

Dando valores tenemos:

~0 = 6(−50bi+ 50√3bj) + 6(50bi + 50√3bj) + 8~v3 0bi + 0bj = 600√3bj + 8√3 Luego ~v3 = 0bi − 75 √ 3bj ~v3 = −75 √ 3bj Problema 8.2

considere la superficie cil´ındrica de la figura desde la altura h se deja deslizar un bloque 1 de masa m que choca el´asticamente con otro bloque 2 de masa 2m que se encuentra en el punto m´as bajo del cilindro y en reposo. si entre los bloques y la superficie cil´ındrica no hay roce, calcule las alturas m´aximas a la que llegan los bloques 1 y 2 despu´es del choque.

h R g ® (1) (2) 2m m Soluci´on:

Primeramente por la conservaci´on de energ´ıa, (justo antes del chocar con el bloque 2) es:

v2 = p

2gh (8.5)

En el momento que se produce el choque se conserva el ~P del sistema y la Ek (energ´ıa cin´etica). Antes del choque las velocidades de los bloques son v, 0 . Ahora llamemos v1 y

v2 las velocidades de los bloques respectivamente justo despu´es del choque. Por la conservaci´on de momentum, se tiene:

mv = mv1+ 2mv2 (8.6)

Por la conservaci´on de la energ´ıa 1 2mv 2 ₌ 1 2mv 2 1 + 1 22mv 2 2 (8.7)

8. Cantidad de Movimiento, Impulso y Choques 45 podemos escribir (8.6) y (8.7) como:

v − v1 = 2v2 (8.8) v2− v2₁ = 2v₂2 (8.9) dividiendo (8.9) y (8.8) obtenemos v + v1 = v2 (8.10) De (8.8) y (8.10) se tiene v1 = 1 3v , v2 = 2 3v

Para calcular las alturas, usamos conservaci´on de energ´ıa. Para cada uno de ello, tenemos:

h1 = v2 1 2g = 1 9 v2 (2g) = 1 9h h2 = v2 2 2g = 4v2 9(2g) = 4 9h Problema 8.3

Un bandido suelta una carreta con dos cajas de oro (masa total = 300Kg) que esta en reposo 50mm cuesta arriba de una pendiente de 6.0◦ _{(ver figura). el plan es que la carreta}

baje la cuesta, ruede por terreno plano y luego caiga en un ca˜n´on donde sus c´omplices esperan. Sin embargo, en un ´arbol a 40m del borde del ca˜n´on est´an el llanero solitario (masa 75Kg) y toro (masa 60Kg), quienes se dejan caer verticalmente sobre la carreta al pasar.

1. Si nuestros heroes necesitan 5 seg. para tomar el oro y saltar, ¿lo lograr´an antes de que la carreta se despe˜ne?. La carreta rueda con fricci´on despreciable.

2. Cuando los heroes caen en la carreta ¿Si se conserva la energ´ıa cin´etica del sistema de los heroes m´as la carreta?

h=LSen6.0° L=50m 6.0° 40m al cañon 300kg Soluci´on:

8. Cantidad de Movimiento, Impulso y Choques 46 1. La carreta, depues de llegar abajo de la colina, tenemos la velocidad por principio

de conservaci´on de energ´ıa:

v2 = p

2gL sen 6,0◦ _{= 10m/s ; h}

1 = L0sen6,0◦ Luego despues de la colisi´on la velocidad es:

Por principio de momentum, tenemos

m1v1 = m2v2 300(10m/s) = (450Kg)v2 v2 = µ 300Kg 450Kg ¶ 10m/s = 6,9m/s Entonces quiere decir que en 5 seg. la carreta no alcanz´o el borde.

2. La colisi´on es completamente inelastica, entonces la energ´ıa cin´etica no se conserva. Luego el cambio de Ek es:

1

2(435Kg)(6,9m/s) 2₋ 1

2(300Kg)(10m/s) = −4769 J entonces aproximadamente 4800 J es la perdida.

Problema 8.4

Un ob´us de 12Kg es disparado con un ´angulo de 55◦ _{sobre la horizontal con una rapidez}

de 150Km/s en el cenit de la trayectoria, el ob´us estalla en do fragmentos, uno con 3 veces m´as masa que el otro. Los dos fragmentos llegan al suelo al mismo tempo. Suponga que la resistencia del aire es depreciable. Si el fragmento m´as pesado cae en el punto desde el cu´al se lanz´o el ob´us. ¿D´onde caer´a el fragmento m´as ligero y cuanta energ´ıa habr´a liberado en la explosi´on?

Soluci´on:

Los fragmentos son 3Kg y 9Kg, el tiempo m´aximo que alcanza de altura es igual a tiempo de ca´ıda a la tierra, es decir

q

v

v =v Cos

q

9kg

v

v

Luego

8. Cantidad de Movimiento, Impulso y Choques 47

vg = v0sen θ − gt

0 = (150m/s) sen 55◦_{− 9,8m/s}2_.t

t = 12,5 seg

los viajes del fragmento pesado es hacia atr´as del punto de comienzo, entonces la velocidades son reverso.

vx = v0cos θ = (150m/s) cos 55◦ = 86,0m/s a despu´es de la explosi´on, este es vg

Ahora conseguimos v3, usando la conservaci´on de momentum

Mv0 = m3v3+ mgvg

(12Kg)(86m/s) = (3Kg)v3+ (9Kg)(−86m/s)

v3 = 602m/s Luego el alcance del fragmento m´as veloz es:

x3 = xantes de expl.+ xdesp. de expl.

= (86m/s)(12,5seg) + (602m/s)(12,5m/s)

x3 = 8600 m

ahora la energ´ıa liberada = EDesp. Expl.− EAntes Expl., entonces

EDesp. Expl.− EAntes Expl. = 1 2m3v 2 3 + 1 2mgv 2 g − 1 2(m3+ mg)v 2 g = 1 2(3Kg)(602m/s) 2₊ 1 2(9Kg)(86m/s) 2₋ 1 2(12Kg)(86m/s) 2 = 5,33 × 105 _J Problema 8.5

Un lanzador de disco aplica una fuerza neta dada por (αt2_{)bi + (β + γt) bj, a un disco de} 2,00kg (α = 25,0N/s2_{, β = 30,0N y γ = 5,0N/s). Si el disco estaba originalmente en}

reposo, ¿qu´e velocidad tiene despu´es de que la fuerza neta ha actuado durante 0,500s? Exprese su respuesta en t´erminos de los vectores unitarios bi y bj.

Soluci´on: Sabiendo que, ~ P = Z ~ F dt = ¡αt3/3¢bi+¡βt + γt2/2¢bj = ¡8,33N/s2_t3¢_bi+¡_{30,0Nt + 2,5N/st}2¢_bj despu´es de 0,500s, ~P = (1,04kg.m/s)bi + (15,63kg.m/s) bj, y la velocidad es:

~v = ~P /m = (0,52m/s)bi + (7,82m/s) bj.

8. Cantidad de Movimiento, Impulso y Choques 48 Problema 8.6

Una pelota de masa M, que se mueve horizontalmente a 5,00m/s, choca el´asticamente con un bloque de masa 3M que inicialmente est´a colgado en reposo del techo sujeto al extremo de un alambre de 50,0cm. Determine el ´angulo m´aximo de oscilaci´on del bloque despu´es del impacto.

Soluci´on:

Colisi´on: La conservaci´on de momento da, mv0 = mv1 + (3m) v3

⇒ v0 = v1+ 3v3 · · · (1)

por la conservaci´on de energ´ıa, se tiene: 1 2mv 2 0 = 1 2mv 2 1+ 1 2(3m) v 2 3 ⇒ v2 0 = v21 + 3v32 · · · (2)

De las ecuaciones (1) y (2) para v3, se tiene: v3 = 2,50m/s.

La conservaci´on de energ´ıa despu´es de la colisi´on:

1

2(3m) v 2

3 = (3m) gh = (3m) gl (1 − cos θ) As´ı, resolviendo para θ se tiene: θ = 68,8o_.

Cap´ıtulo 9

Rotaci´on de Cuerpos R´ıgidos

9.1.

Cuerpos R´ıgidos

Un sistema de part´ıculas en el que la distancia entre dos part´ıculas cualesquiera no cambia a pesar de las fuerzas que act´uen, se llama un cuerpo r´ıgido.

9.2.

Traslaciones y Rotaciones

Un desplazamiento de un cuerpo r´ıgido es un cambio de una posici´on a otra. Si du- rante un desplazamiento todos los puntos del cuerpo permanecen fijos sobre una linea, el desplazamiento es una rotaci´on alrededor de la linea. Si durante un desplazamiento todos lo puntos del cuerpo r´ıgido se mueven entre si en l´ıneas paralelas, el desplazamiento es una traslaci´on.

9.3.

Momento de Inercia

Una cantidad geom´etrica de gran importancia al discutir el movimiento de cuerpos r´ıgidos es el momento de inercia.

El momento de inercia de una part´ıcula de masa m con respecto a una l´ınea o eje

AB se define como:

I = mr2 _(9.1)

donde r es la distancia de la masa a la l´ınea

El momento de inercia de un sistema de part´ıculas de masas m1, m2, . . . , mN se define con respecto a la linea o eje AB como

I =

N X ν=1

mνr2ν = m1r21+ m2r22+ · · · + mNrN2 (9.2)

Donde r1, r2, . . . , rN son sus distancias respectivas a AB

9. Rotaci´on de Cuerpos R´ıgidos 50