Ordinary Least Square Estimation Using Ordinary Least Square (OLS) method, I test for systematic differences in pricing (including profit orientation and cost efficiency), staffing and spending

Si se considera que la Ec. 10 expresa el cambio de frecuencia en términos de dos valores de frecuencia específicos, la Ec. 10 puede ser expresada en términos de los periodos correspondientes

∆𝑓 = 1 𝑇2−

1

𝑇1 , (12) al desarrollar la Eq. 12, y considerar que el cambio den la frecuencia genera un cambio en el periodo dado por la diferencia de los periodos de las frecuencias consideradas ∆𝑇 = 𝑇2− 𝑇1, por lo que se tiene que

∆𝑓 =−∆𝑇

𝑇2𝑇1. (13) Resolviendo para ∆𝑇 la Eq. 13

∆𝑇 =𝑓1−𝑓2

𝑓2𝑓1. (14) En el caso del cambio de frecuencia, realmente un valor cambia a otro, por lo que se puede considerar el cambio de frecuencia como la variación de un valor medido, en otras palabras si 𝑓1 = 𝑓𝑥 y 𝑓2= 𝑓𝑥− 1 si

se considera que hubo un decremento en la frecuencia medida. Con estas consideraciones, y la Eq. 14 el cambio en el periodo que ocurre durante el cambio de la frecuencia medida esta dado por

∆𝑇 = 1

𝑓_𝑥(𝑓_𝑥−1) (15)

Si se sabe que el cambio en el periodo es la variación en el periodo de la señal a medir, se puede definir que este cambio en el periodo debe ser igual al ancho de pulso (𝜏 = ∆𝑇), lo que permitiría que cualquier variación en la duración del periodo contenga un número de veces al ancho de pulso. La Eq. 15 considero

un cambio de frecuencia de -1 Hz, pero la Eq. 15 puede generalizarse para cualquier cambio de frecuencia que se desee medir:

𝜏 = | 𝑚𝑟

𝑓𝑥𝑚(𝑓𝑥𝑚−𝑚𝑟)| , (16) donde 𝑚𝑟 es la resolución deseada en el proceso de medición de cambios de frecuencia y 𝑓𝑥𝑚 es el valor

máximo que puede tomar la frecuencia a medir. Para la Eq. 16 se considera un valor absoluto porque el cambio de frecuencia puede ser tanto positivo como negativo. En general la Eq. 16 provee del valor teórico requerido solo para tener coincidencias perfectas o totales en todo el proceso de medición con una resolución específica.

La relevancia de la Eq. 16 es que permite obtener las mejores aproximaciones de una señal con una frecuencia que está cambiando con una precisión específica, que en la mayoría de los casos está definida por las características del proceso que esté generando estos cambios de frecuencia.

El efecto de la Eq. 16 puede ilustrarse analizando valores numéricos. Si se toma un valor común de frecuencia generada por un FDS, en este caso una QCM que genera una señal de 5 MHz, dicho valor se decremento cuando la QCM se carga con una masa en su superficie. Suponiendo entonces, que ∆𝑓 = −1 × 104 Hz, la Eq. define que el ancho de pulso requerido para tener una resolución de 𝑚𝑟 = 1 × 104

Hz es 𝜏 ≈ 4 × 10−10 s. Este cambio de frecuencia define que el intervalo de valores que puede tomar la frecuencia a medir es 4.99 × 106< 𝑓𝑥 < 5 × 106. Con estos datos, se genera un análisis numérico del

proceso de medición. Los resultados son mostrados en la Fig. 9 y 10.

En la Fig. 9 se muestra como el ancho de pulso (𝜏) afecta el tiempo de coincidencia (𝑡0𝑥) en el proceso de

medición de 𝑓𝑥, donde 𝑓𝑥 = 5 MHz y 𝑓𝑥 = 4.99 MHz. En tiempo de medición de 1 ms, solo se observa el

forma general el comportamiento de 𝑡0𝑥 para ambos casos de 𝑓𝑥 (Fig. 9a, 9b) cuando 𝜏 = 40, 35 ns. Por

esta razón se requiere observar un tiempo de medición mas corto, en este caso 𝑀𝑡 = 2 × 10−5 s (Fig. 9c,

9d). Para cada caso de 𝑓𝑥 las coincidencias tienen un comportamiento particular, esto se debe a que las

variables de la Eq. 11 toman valores específicos que dependen de 𝑓𝑥 y 𝑓0. En el caso de 𝑓𝑥 = 5 MHz, se

tienen “paquetes” de coincidencias bien definidos, similares a los mostrados en la Fig. 8; pero en el caso de 𝑓𝑥= 4.99 MHz los paquetes tienen una mayor duración, estos paquetes de coincidencia generan

incertidumbre en el proceso de medición, por lo que es de interés homogenizar el tiempo de coincidencia, para que así, todas las aproximaciones tengan la misma precisión.

Figura 9. Efecto del ancho de pulso (𝝉) en las variaciones del tiempo de coincidencia (𝒕𝟎𝒙)

Considerando el ancho de pulso óptimo calculado con la Eq. 16, se eliminaron las variaciones en el tiempo de coincidencia, como se ilustra en la Fig. 9e, 9f.

Homogenizar el tiempo de coincidencia implica que todos los pulsos de 𝑆𝑥&𝑆0 tienen la misma duración,

por lo que la mínima duración de 𝑡0𝑥 será la calculada con la Eq. 16, este comportamiento se muestra en

la Fig. 9e, donde se tiene el mayor valor de frecuencia (5 MHz). Pero en el caso de 𝑓𝑥= 4.99 MHz se tienen

periodos mas grandes que cuando 𝑓𝑥 = 5 MHz, lo que implica que se tengan tiempos de coincidencia más

En la Fig. 10 se muestra el efecto del ancho de pulso (𝜏) en el error relativo (𝛽) observado en el proceso de medición.

Reducir las variaciones en el tiempo de coincidencia, implica que el error relativo en el proceso de medición también se reduce. En particular en la Fig. 5a, se muestra como para dos procesos de medición diferentes, donde 𝑓𝑥 = 5 MHz y el ancho de pulso tiene una duración de 𝜏 = 40, 35 ns, el incremento de 𝑃𝑛/𝑄𝑛 es el mismo. Esto significa que aunque el tiempo de coincidencia es diferente (Fig. 9c), las mismas

fracciones aparecen con valores iguales independientemente del ancho de pulso. La misma Fig. 5a muestra que en el tiempo de medición observado, aún hay error en el proceso de medición, pero decrece conforme

𝑀𝑡 se incrementa. Por otra parte, cuando se utiliza el ancho de pulso óptimo calculado con la Eq. 16, 𝛽 = 0. Este análisis ilustra como el ancho de pulso afecta el error relativo en el proceso de medición, y (aunque teóricamente) permite obtener las mejores aproximaciones a 𝑓𝑥 desde 𝑛 = 1.

Figura 10. Efecto del ancho de pulso (𝝉) en el error relativo (𝜷)

Mientas en la Fig. 10a, 10b se muestra el valor máximo que puede tomar 𝑓𝑥, es decir antes del estímulo,

𝛽 decrece más rápidamente cuando 𝜏 = 35 ns (Fig. 10b), la explicación a esto es que desaparecen las coincidencias de menor duración que aparecen cuando 𝜏 = 40 ns (Fig. 9d), por lo que cuando se tiene 𝜏 = 35 ns, existen mejores aproximaciones. Aun cuando se aproxima con más precisión el mensurando con un valor de ancho de pulso más corto, aún hay error en el proceso de medición (Fig. 10b), pero cuando se utiliza el valor óptimo de 𝜏, el cual se calculó con la Eq. 16 y cuando 𝑓𝑥 = 5 MHz, se tienen las mejores

aproximaciones desde 𝑛 = 1. Utilizando la Eq. 8 se sabe que el tiempo requerido para medir desde 𝑛 = 0

hasta 𝑛 = 1, es de 𝑀𝑡 = 1 × 10−6 s, 𝑀𝑡= 1 × 10−4 s cuando 𝑓𝑥 = 5 MHz y 𝑓𝑥 = 4.99 MHz

respectivamente.

En general el análisis mostrado en la Fig. 9 y 10 muestra como cuando se calcula el ancho de pulso con la Eq. 16, se tienen solo las mejores aproximaciones (𝛽 = 0 para cada aproximacion) desde 𝑛 = 1, donde solamente es necesario conocer a priori el valor máximo que puede tomar la frecuencia a medir (𝑓𝑥𝑚) y la

resolución (𝑚𝑟) deseada en el proceso de medición.

Las consideraciones expuestas permiten determinar el ancho de pulso que se utilizara como unidad de medida en el proceso de medición de frecuencia de una señal, cuando dicha frecuencia se decremento como resultado de algún proceso físico. Algo importante de notar es que en el ejemplo considerado en la Fig. 9 y 10, el ancho de pulso óptimo es de 𝜏 ≈ 4 × 10−10. Ajustar el ancho de pulso no es una tarea trivial desde el punto de vista de la implementación, además este problema se vuelve aún más complicado si el ancho de pulso óptimo se reduce, por esta razón es necesario tener alguna forma de implementar esta teoría en forma experimental.