SUMMARY, CONCLUSIONS AND RECOMMENDATIONS
6.1 OVERARCHING CONCLUSIONS FROM ALL CHAPTERS
Figura 4.2: Evoluci´on de la coordenada radial de la burbuja, en fondos homog´eneos, para distintos valores del par´ametro Λ+. Las curvas verdes y amarillas indican, respectivamente,
evoluciones en fondos con polvo o con radiaci´on, para los par´ametros de ecusaci´on de estado w = −1, 0, 1/3.
En la figura4.3mostramos la evoluci´on de la densidad de la burbuja para los dos valores extremos del par´ametro Λ (esto es, Λ+= 0 y Λ+ = 2Λ−). Para ambas evoluciones, los casos
con radiaci´on mantienen una densidad menor en relaci´on a aquellos con polvo, en acuerdo con la diferencia observada en la evoluci´on de la coordenada radial x(t). Sin embargo, para cada uno de los valores de Λ+, no apreciamos diferencias cualitativas entre los diferentes w. Las
evoluciones con Λ+= Λ−y Λ+= Λ−/2 (omitidos en la figura4.3) presentan comportamientos
similares.
Una diferencia apreciable tiene lugar entre los casos con Λ+< Λ−y aquellos con Λ−< Λ+.
Mientras que en los primeros el crecimiento de la coordenada radial de la burbuja alcanza un m´aximo y luego disminuye, las curvas para x(t) en los segundos casos crecen en forma pr´acticamente mon´otona. Ampliaremos la discusi´on sobre este punto al final del cap´ıtulo. Por ´
ultimo, cabe mencionar que en el caso con Λ+ > Λ−, para tiempos grandes en los que la
densidad de materia del fondo se diluye debido a la expansi´on, la evoluci´on tiende al l´ımite del caso con un fondo descripto por la m´etrica de de Sitter (cuya forma anal´ıtica es conocida, y fue estudiada num´ericamente en [234]), lo cual constituye un test para el c´odigo num´erico desarrollado.
Cap´ıtulo 4. Inflaci´on y regiones no homog´eneas
Figura 4.3: Evoluci´on de la densidad de la burbuja para los valores extremos del par´ametro Λ (Λ+ = 0 y Λ+ = 2Λ−). Los casos con radiaci´on mantienen una densidad menor en rela-
ci´on a aquellos con polvo. No apreciamos diferencias cualitativas para los diferentes w. Las evoluciones con Λ+ = Λ− y Λ+= Λ−/2 (omitidos en esta figura) presentan comportamientos
similares.
4.4.
Evoluci´on en fondos no homog´eneos
Con el prop´osito de analizar los posibles efectos que una distribuci´on no homog´enea de materia en la regi´on externa puede tener sobre la din´amica de la burbuja, presentaremos en esta secci´on la evoluci´on en fondos descriptos por las soluciones de LTB y de Lemaˆıtre. Mientras que el primer caso fue analizado en otros trabajos [234, 235, 238], la evoluci´on de burbujas en ambientes no homog´eneos de radiaci´on, descriptos por la soluci´on de Lemaˆıtre, no ha sido previamente estudiada y constituye el principal aporte de este trabajo. Los resultados de dichaa evoluci´on ser´an comparados con la evoluci´on en un fondo homog´eneo de radiaci´on, as´ı como tambi´en con los casos no homog´eneos de polvo.
4.4.1. Evoluci´on en un fondo no homog´eneo de polvo
Para describir la evoluci´on de una burbuja inmersa en un fondo con distribuci´on no homog´enea de polvo, caracterizamos la regi´on externa con la soluci´on de LTB. El elemento de l´ınea es
ds2 = dt2− R
′2(t, r)
1 + 2E(r)dr
2− R2(t, r)dΩ2, (4.58)
y puede ser obtenido, nuevamente, de la expresi´on (4.11) para el caso p(t, r) = 0 (y, en consecuencia, p′(t, r) = 0). Las ecuaciones que determinan la evoluci´on de la geometr´ıa externa son ˙ R2 = 2M R + Λ 3R 2+ 2E(r) , (4.59) ˙ǫ = −ǫ ˙R ′ R′ + 2 ˙ R R ! , (4.60)
en donde M (t, r) ≡ M(r). Las ecuaciones que determinan la evoluci´on de la coordenada radial y la densidad de la burbuja resultan
4.4. Evoluci´on en fondos no homog´eneos dx dt = −(1 + 2E) ˙R ± q (R2V2− 1)(1 + 2E)(2E − ˙R2+ R2V2) R′(2E + R2V2) , (4.61) dσ dt = −2(σ + pσ) ˙ R R + γ(ǫ + p) dx dt R′/√1 + 2E q 1 − (1+2E)R′2 dxdt 2 , (4.62) con V2= Λ−+ σ 4 + 1 σ Λ+− Λ− 3 + 2M R3 2 . (4.63) Resultados:
En la figura 4.4 mostramos la evoluci´on de la coordenada radial de la burbuja en un fondo no homog´eneo de polvo (curvas rojas), para los diferentes valores del par´ametro Λ+ y los
par´ametros de ecuaci´on de estado w = −1, 0,13. Los gr´aficos de la derecha muestran, en cada caso, la evoluci´on del perfil radial de densidad del fondo no homog´eneo. Debido a la expansi´on, la regi´on no homog´enea inicial se diluye al transcurrir el tiempo. Es decir, que asint´oticamente la evoluci´on tiende a la de un fondo homog´eneo. Las cruces negras representan, a cada tiempo, la coordenada radial de la burbuja.
Con el prop´osito de analizar cu´ales son las consecuencias de que la nucleaci´on de la burbuja tenga lugar en un fondo no homog´eneo, incluimos los perfiles correspondientes a evoluciones con iguales condiciones iniciales, pero en un fondo de FLRW con contenido polvo (curvas ver- des). La densidad del fondo homog´eneo corresponde al valor asint´otico del perfil de densidad no homog´eneo. De la comparaci´on de los casos homog´eneo y no homog´eneo, puede apreciar- se que la evoluci´on de x(t) es cualitativamente indistinguible. Sin embargo, en el fondo no homog´eneo las curvas se muestran trasladadas verticalmente (sin alterarse, sin embargo, la forma general de la curva).
Para entender el comportamiento anterior, basta tener en cuenta que la condici´on inicial elegida para x0 (es decir, la coordenada radial en donde se producir´ıa la nucleaci´on de la
burbuja) es tal que la evoluci´on comienza en un punto de subdensidad en relaci´on al valor asint´otico del fondo. Si tenemos en cuenta que la velocidad inicial de la burbuja es directamente proporcional a ǫ (a trav´es de V2en a la ecuaci´on (4.61)), es entonces esperable que la evoluci´on
comience con una velocidad menor. Sin embargo, la evoluci´on en tiempos subsiguientes no presenta cambios cualitativos respecto del caso homog´eneo. Con esto, podemos inferir que la distribuci´on no homog´enea tiene influencia en la evoluci´on s´olo a trav´es del valor de la densidad inicial. Una vez iniciada la evoluci´on, el comportamiento de la burbuja puede describirse con el escenario de un fondo homog´eneo con densidad de fondo igual a la densidad inicial en el punto de nucleaci´on. Es importante destacar que cuantitativamente las evoluciones entre los casos homog´eneo y no homog´eneo son diferentes. Si la nucleaci´on de la burbuja tiene lugar en una regi´on de subdensidad lo suficientemente baja, la evoluci´on podr´ıa presentar incompatibilidades con los requisitos impuestos por las condiciones del escenario inflacionario que se quiera estudiar. Ampliaremos esta discusi´on hacia el final de este cap´ıtulo.
El caso Λ+= 2Λ− es cualitativamente diferente a los otros, y no sigue el an´alisis anterior.
En este caso, es la diferencia (Λ+ − Λ−) la que domina el comportamiento de la funci´on
Cap´ıtulo 4. Inflaci´on y regiones no homog´eneas
Por su parte, las diferencias observadas entre las evoluciones correspondientes a diferentes ecuaciones de estado para el contenido de materia sobre la burbuja son similares a aquellas encontradas en los casos homog´eneos de polvo y radiaci´on (esto es, que el valor w = 1/3 favorece la evoluci´on).
4.4.2. Evoluci´on en un fondo no homog´eneo de radiaci´on
Hemos estudiado hasta aqu´ı los efectos que un contenido de materia con presi´on puede tener sobre la evoluci´on de la burbuja (secci´on 4.3), as´ı como tambi´en los diferencias apreciables en aquellos casos en los que la burbuja se nuclea en una regi´on de subdensidad (secci´on 4.4.1). En vista de los resultados obtenidos en dichos an´alisis, y dado que es esperable la presencia de materia ultrarelativista en las etapas m´as tempranas de la evoluci´on del universo, es relevante investigar c´omo es la evoluci´on de la burbuja en un fondo de radiaci´on con distribuci´on no homog´enea (es decir, descripto por la soluci´on de Lemaˆıtre). Este caso, por su parte, cobra especial inter´es debido al tipo de evoluci´on no local de la regi´on no homog´enea.
La evoluci´on de la geometr´ıa descripta por la m´etrica de Lemaˆıtre obedece las ecuaciones generales (4.31) y (4.32) presentadas anteriormente. Las figuras4.5y4.6muestran la evoluci´on de la burbuja comparada, respectivamente, con los casos de un fondo homog´eneo de radiaci´on y un fondo no homog´eneo de polvo.
Al igual que para la soluci´on de LTB, la evoluci´on de los perfiles de densidad est´a presen- tada en los gr´aficos de la derecha de la figura 4.5. A diferencia de la primera, y de acuerdo a la evoluci´on propia de la geometr´ıa detallada en la secci´on 2.2, la regi´on no homog´enea no se mantiene confinada a su rango inicial para la coordenada radial. Debido al efecto de un gradiente de presi´on no nulo, las regiones no homog´eneas se dislocan a lo largo de la evoluci´on hacia valores de r mayores o menores, seg´un el signo de p′.
Resultados:
El an´alisis de la figura 4.5, en donde comparamos la evoluci´on de la burbuja en fondos de radiaci´on (homog´eneo y no homog´eneo), muestra caracter´ısticas similares a las encontradas en la comparaci´on de los fondos de polvo (figura4.4). La evoluci´on en el fondo descripto por la soluci´on de Lemaˆıtre es cualitativamente igual al caso de un fondo homog´eneo con radiaci´on. Esta caracter´ıstica es esperable, dado que la expresi´on de la funci´on V2 no involucra a la presi´on del fluido. Algunas diferencias cualitativas son apreciables en los casos con Λ−≤ Λ+,
probablemente debidas al pasaje de la burbuja por la regi´on no homog´enea (indicado con las cruces negras en los gr´aficos de la derecha). La evoluci´on, sin embargo, no se modifica cualitativamente.
Las diferencias observadas para los distintos contenidos de materia sobre la burbuja son similares a las de los casos anteriores y, de la misma forma, las burbujas con par´ametro de ecuaci´on de estado w = −1 alcanzan r´apidamente la cota inferior impuesta por la condici´on (4.33).
La comparaci´on de las evoluciones en fondos no homog´eneos de polvo y radiaci´on (figu- ra4.6) muestra diferencias cuantitativas, pero no cualitativas, an´alogas a aquellas observadas en la comparaci´on de los dos homog´eneos (figura 4.2). En todos los casos la evoluci´on de la burbuja en el fondo de radiaci´on es m´as lenta, debido a la resistencia ejercida por la presi´on del fluido externo.