An Overview of the YLJ Notes and Comments Process

determinarse mediante el método de mínimos cuadrados. Para su aplicación, recordemos que la curva es de la forma:

y que las fórmulas de mínimos cuadrados para el cálculo de "a" y son, respectivamente:

a = antilog

N. -

donde "N" es el número de pares de datos disponibles para el ajuste de la curva. Hoy en día hay muchas calculadoras y paquetes computacionales que ajustan directamente la curva potencial a partir de los valores de "M," y "n". Más adelante daremos un ejemplo de aplicación del paquete computacional TSP.

Observemos que en la ecuación de mínimos cuadrados no aparece el valor del primer tiempo como en el caso del modelo clásico. Esto es, obviamente, otra ventaja para el método de mínimos cuadrados, ya que la utilización del primer dato como constante de la ecuación puede distorsionarla y hacer que la curva obtenida no represente con precisión todo el proceso de aprendizaje. En otras palabras, el método clásico utiliza

Capítulo Estudio del Trabajo 97

para "a" el valor de mientras que el método de mínimos cuadrados utiliza el mejor valor de "a". También veremos un ejemplo de esto más adelante.

La única ventaja del método clásico es que puede resultar más cómodo y rápido para una persona que no disponga de una calculadora medios computacionales.

Ejemplo numérico 3.2:

Supongamos que un obrero está siendo entrenado en un nuevo trabajo y que sus primeros 10 tiempos fueron los siguientes (datos hipotéticos en centésimas de minuto):

Determinar mediante el método clásico: a) El porcentaje de aprendizaje.

b) La ecuación de la curva potencial de aprendizaje.

c) El tiempo total transcurrido para que el obrero pueda realizar el trabajo las primeras 40 veces.

d) El tiempo logrado por el obrero en la vez número 40.

e) veces el obrero tendrá que realizar la operación para que su tiempo de realización llegue a un valor igual a 20?

Determinar mediante mínimos cuadrados: a) La ecuación de la curva.

b) El porcentaje de aprendizaje.

c) El tiempo logrado por el obrero en la vez número 40. Solución:

Determinamos inicialmente los valores de "M,":

M, M, M, M, = 41.86; M, = 40.38; M, M,,

Enseguida determinemos todos los valores de "p" que podamos:

A partir de aquí podemos empezar a contestar las preguntas. Empecemos con el método clásico:

Esto quiere decir que, cada vez que "n" se duplica, el nuevo promedio acumulado es en promedio un 9 1.32% del anterior.

b) Para determinar la ecuación de la curva hacemos: log p log 0.9132 _-0.1310

0.3010

c) El tiempo total transcurrido hasta la vez número 40 será:

k

= = (50)

= 1,233.56 = 12.34

d) El tiempo de la vez 40 será:

40

0.8690

= (50). 39 = 1,206.72 x = 1,233.56

-

1,206.72 = 26.84 x

= 26.84 min. x

En forma aproximada tenemos:

+

= (50) (1

-

0.13 10) = (43.45) = 26.80

e) Sabemos que:

Esto debe ser igual a 20, es decir:

20 = -

Obsérvese que no se puede despejar siendo solamente posible obtener su valor por iteraciones sucesivas. Usemos entonces la fórmula aproximada:

+k)

-0.1310

.

nk 50 n (0.8690)

Capítulo Estudio del Trabajo

20 = 50 (0.8690)

Despejando "n" tenemos: n = 373 veces.

Veamos ahora el método de mínimos cuadrados. Tenemos:

CUADRO 3.1 Cálculos de mínimos cuadrados para el ejemplo numérico 3.2

a = (5.21

-

1

= 52.60 - n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 O

Podemos ahora contestar las preguntas:

a) La ecuación de la curva potencial de aprendizaje sera M, = 52.60

b) El porcentaje de aprendizaje sera 50.00 49.00 47.00 46.50 45.20 43.50 41.86 40.38 39.22 38.10

k log 2; log p = k

.

log 2 = (-0.1

p = 0.9204 = 92.04%

c) El tiempo logrado en la vez número 40 será: log n 0.0000 0.3010 0.4771 0.6021 0.6990 0.7782 0.845 1 0.903 1 0.9542 1 6.5598 Ejemplo numérico 3.3:

Supongamos que un obrero está siendo entrenado en un nuevo trabajo y que en la primera semana de trabajo produjo lo siguiente (datos hipotéticos):

1.6990 1.6902 1.672 1 1.6675 1.655 1 1.6385 1.6218 1.6062 1.5935 1 16.4248 n) 0.0000 0.0906 0.2276 0.3625 0.4886 0.6056 0.7142 0.8156 0.9 105 1 5.2152 0.0000 0.5088 0.7978 1 1.1569 1.275 1 1.3706 1.4506 1.5205 1.5809 10.6652

Utilizando el método clásico, determinar: PROD

a) La ecuación de la curva potencial de aprendizaje. b) En cuál día logrará el obrero producir 300 unidades. Solución: .

100

a) Asumiendo que el volumen de producción diario medio acumulado se incrementa en un porcentaje fijo cada vez que el número de días se duplica, podemos determinar la ecuación de la curva potencial de la siguiente manera:

log 1.265

0.3392 log 2

MAR 150

donde: = producción diaria media acumulada al día "n". n = número de día.

b) Para contestar esta pregunta conviene hacer un cambio en las letras. Utilicemos (volumen de producción diario medio acumulado al día en vez de "M,"; análogamente, para el volumen de producción del día utilizaremos

Tenemos entonces:

190

Si queremos el valor de para 300 diarias, tenemos:

300 = 100 (1.3392)

n = 10.8 días.

210

VIE 220

No debemos confiar mucho en esta solución porque para una "n" pequeña 1), la fórmula aproximada tiene poca precisión. Utilicemos la fórmula exacta y obtengamos "n" por iteraciones sucesivas. Llamemos "VA," el volumen de producción total acumulado al día "n". Tenemos entonces:

Capítulo Estudio del Trabajo

Como queremos que unidades, tenemos:

300 1.3392

11.3 días

Como puede verse, en este caso la diferencia entre las dos respuestas no es muy significativa, sin embargo debe resaltarse que el valor días es más preciso que

el valor días.

Ejemplo numérico 3.4:

Una empresa mexicana de cosméticos acaba de implantar un sistema de llenado para su nuevo tipo de crema dental. Los 2 trabajadores responsables del funcionamiento del sistema (un operador y un ajustador) han logrado producir las siguientes cantidades en las primeras 12 semanas (datos reales):

Determinar, graficar y comparar las curvas potenciales de aprendizaje del método clásico y de mínimos cuadrados para este proceso de aprendizaje.

SEMANA PRODUCCION (cajas) SEMANA (cajas) Solución: a) Método clásico: 1 7 1,941 . P log 2 Por lo tanto, la ecuación de la curva sera

M, = 1,642 n 0.1097

2 2,080

8 2,418

Los datos originales de producción, la producción media semanal acumulada y la curva potencial determinada, se encuentran en la Figura 3.6 a continuación. En ésta puede observarse por un lado que el proceso de aprendizaje de los trabajadores

6 2,204 12 2,504 3 2,152 9 2,453 4 2,430 1 O 2,391 5 1 11 2,523

definitivamente tiene la la curva potencial, y por otro lado que el ajuste de la curva del método clásico deja mucho que desear, ya que en todo momento se sitúa por debajo de los puntos correspondientes a las producciones medias semanales acumuladas.

FIGURA 3.6 Proceso de aprendizaje del llenado de tubos de cremas dentales: método clásico

En este caso, el resultado insatisfactorio del método clásico se debe a la ubicación muy abajo (respecto a los demás puntos) del primer punto de la gráfica, es decir, el 1,642, el cual se utiliza como constante "a". Lo opuesto hubiera ocurrido (y esto sería igualmente insatisfactorio) si este punto estuviera demasiado arriba respecto a los demás. Por otro lado, por las características específicas de la curva de este proceso de aprendizaje, se está subestimando el valor de "p", lo que agrava todavía más el problema del ajuste insatisfactorio. Veamos el ajuste de la curva mínimos cuadrados.

b) Mínimos cuadrados

La aplicación de las fórmulas de mínimos cuadrados conduce a los siguientes valores

Siendo por tanto la ecuación de la curva la siguiente:

Capítulo Estudio del Trabajo ₁₀₃

Los datos originales, las producciones medias semanales acumuladas y la curva potencial de mínimos cuadrados se encuentran graficados en la Figura 3.7. En ésta puede observarse claramente la superioridad del método de mínimos cuadrados, ya que la curva potencial en ningún momento tiende a sobre estimar o a subestimar los valores de sino que pasa por entre los puntos como debe ser.

FIGURA 3.7 Proceso de aprendizaje del llenado de tubos de cremas dentales: método de mínimos cuadrados

Ejemplo numérico 3.5:

Una fabricante de jugos de la República Mexicana ha logrado fabricar las siguientes cantidades mensuales de un nuevo producto lanzado en el mercado en 1989 (datos reales):

La dirección general de esta empresa desea saber en qué mes el volumen de producción llegará a 200,000 cajas. Resolver este problema utilizando el método de mínimos cuadrados.

Solución:

Aplicando las fórmulas de cuadrados llegamos a los siguientes resultados:

MESES (cajas) (media) MAR 144,500 1 16,167 100,900 100,900 15 1,000 1 17,792 FEB 105,300 181,300 136,600 188,100 145,183 189,560 15 1,523

Las producciones originales, las producciones medias mensuales acumuladas y esta curva potencial se encuentran graficadas en la Figura 3.8. Veamos, además, cuándo el volumen mensual de producción llegará al valor de 200,000. Tenemos (usando la fórmula aproximada):

de donde se saca que: n = 12.35 meses.

FIGURA 3.8 Proceso de aprendizaje del envasado de jugos

Utilicemos también este ejemplo para mostrar cómo la ecuación de la curva potencial puede ser determinada con una calculadora o con un paquete computacional. En este caso utilizaremos el paquete estadístico TSP. Partiendo de la ecuación podemos escribir:

= log a

+

n

Por lo tanto, cambiando "Y" a y a "log y ajustando una recta a estas dos últimas variables, obtendremos que la intersección en el origen será "log y la pendiente será La corrida del TSP se encuentra en la Figura 3.9 y en ella podemos ver que:

*

La variable dependiente es log Y = logaritmo natural de las producciones medias

Capítulo Estudio del Trabajo 105

*

La variable independiente es log n = natural del número de mes (en la corrida "LMESES').

*

log a = 1 1.45 1599 (el paquete TSP la llama constante "C").

*

b 0.2208356 (coeficiente de "LMESES').

Por lo tanto, tenemos:

como había sido determinado anteriormente. 3.2.4 Observaciones finales

En este inciso estudiamos 2 métodos para la determinación de la ecuación de la curva de aprendizaje: el método clásico y el método de mínimos cuadrados. El primero se basa en las características de la curva potencial y no determina la constante "a" de la ecuación, sino que la hace igual al primer dato. Como comentamos anteriormente, esto tiene serias desventajas porque puede provocar que la curva sobre estime los datos reales cuando el primer dato es relativamente grande, o que la curva subestime los datos reales cuando el primer datos es relativamente pequeño. El método de mínimos cuadrados calcula la mejor constante "a", siendo por lo tanto un método mucho más confiable y recomendable. Una vez determinada la ecuación de mínimos cuadrados, toda la teoría del método clásico para el cálculo de "M,", "T,", etc., expuesta en este inciso, es aplicable.

FIGURA 3.9 Corrida de TSP para el problema del envasado de jugos ...

obs MESES CAJAS LMESES LCA JAS

... 1989.01 1.000000 100900. O O. O00000 11.52188 1989.02 2.000000 103100. O 0.693147 11.54346 1989.03 3.000000 116167. O 1.098612 11.66278 1989.04 4.000000 117792.0 1.386294 11.67668 1989.05 5.000000 136600. O 1.609438 11.82481 1989.06 6.000000 145183. O 1.791759 11.88575 1989.07 7.000000 151523. O 1.945910 11.92849

LS Dependent Variable LCAJAS SMPL 1989.01 - 1989.07

7 Observations

VARIABLE COEFFICIENT STD. ERROR 2-TAIL SIG.

...

C 11.451599 O. 0521108 219.75479 O.

LMESES O 0379532 5.8186367

R-squared 0.871322 Mean of dependent var 11.72055 Adjusted R-squared 0.845586 of dependent var 0.162015 S.E. of regression 0.063665 Sum of squared 0.020266 Durbin-Watson stat 1.525470 F-statistic 33.85653

3.3 DEL DE CICLOS A CRONOMETRAR

In document FULL PARTICIPATION IN THE YALE LAW JOURNAL (Page 105-107)