La búsqueda de la solución de la ecuación algebraica general de grado superior al cuarto por medio de radicales fue el tema dominante del álgebra hasta finales del siglo XVIII y principios del XIX.
Algunos de los trabajos que corroboran lo anterior, es el de Ruffini (1765-1822), quien en 1799 demuestra la imposibilidad de solución de ecuaciones de grado quinto por radicales sirviéndose de la teoría de permutaciones; sin embargo la demostración para ecuaciones de grado sexto y superior no logró completarlas.
Igualmente Abel (1802-1829) sin conocer los resultados de Ruffini, en 1824 publicó una demostración del teorema sobre la no resolubilidad de las ecuaciones de grado superior a cuatro. En 1828, logra determinar las ecuaciones algebraicas resolubles por radicales entre ellas las
ecuaciones de la forma (Wuzzing, 1998).
Piaget y García (1982) y Charbonneau (1996) afirman que uno de los iniciadores del álgebra simbólica es Viète (1540 -1603). En la obra de Viète se retoma la metodología característica del pensamiento griego con una extensión y profundidad que le permitirán organizar la obra de Diofanto en un nivel muy diferente para generar el simbolismo algebraico (Piaget & García, 1982).
Viète (1540 -1603)
En el trabajo que presenta Viète se distingue del cálculo numérico, logística númerosa, del cálculo que razona sobre “especies”, logística speciosa, es este último del álgebra simbólica (Díaz, 1995, p. 29). En su obra Isagoge (1571) se producen fórmulas simbólicas que permitirían delimitar la aritmética del álgebra (Kline, 1992).
79
En la logística speciosa se establece de manera explícita las reglas del libro I, II y V de Euclides. Con esta obra se trazan los linderos entre la aritmética y el álgebra simbólica y se establecen las conexiones entre el álgebra simbólica y la geometría (Álvarez, 2000).
Otros de los aportes del trabajo de Viète es la generación de una simbología que no existía, al parecer no había modo de distinguir la cantidad desconocida de las otras cantidades. La solución elegida es sencilla y eficaz: “las vocales representan cantidades desconocidas mientras que las consonantes simbolizan cantidades conocidas” (Collette, 2002, p. 294).
Al usar vocales para representar variables y consonantes para representar constantes, se logran representar cualquier clase de ecuaciones cuadráticas y esto hace posible discutir técnicas generales para resolver algunas clases de ecuaciones. De hecho fue Viète quien interpretó la cúbica general como una ecuación de todos los casos que consideraba Cardano como ocurrencias particulares. Además creó un sólo método de solución que podía aplicarse a todos los casos (Dávila, 2003a).
Una de las características en el trabajo de Viète, se da:
Al suponer que el valor de la incógnita está y se debe establecer una relación de igualdad al expresar de dos maneras distintas una misma cantidad que involucre la incógnita (método de análisis). Tal igualdad sólo se da para el (los) valor (es) adecuado (s) de la incógnita. Luego de este análisis procedía la síntesis, la comprobación como hacían los egipcios. […] En este tratamiento algebraico de las expresiones, la interpretación geométrica seguía vigente en el trabajo de Viète, que representaba números como segmentos y sus potencias (cuadradas) como cuadrados, respetando rigurosamente el principio de homogeneidad (Sesa, 2005, pp. 59-60).
La característica principal del trabajo de Viète es el paso del álgebra sincopada al álgebra simbólica, porque le otorga a la incógnita un status aritmético, lo hace un símbolo con el cual se opera. En la Tabla 10 se presenta algunas notaciones de Viète.
80
Tabla 10. La notación de Viète (Fernández, 1997, p. 83).
A. ESCALARES B. NOTACIÓN ACTUAL C. MAGNITUDES
1. Lado o raíz A Longitud B
2. Cuadrado Aq Plano Bq
3. Cubo Ac Solido Bs
4. … … …
5. Cuadrado-cuadrado Plano-plano-sólido
6. Cubo Aqqc Bpps
Un ejemplo de la notación que utilizó Viète es el siguiente:
B F HF BA D BA
En esta forma aequaleB
F BinH BinA D BinA (Wuzzing, 1998, p. 114)
En esta expresión utiliza y – como símbolos para las operaciones, usa la raya para los quebrados y la palabra como abreviatura para la multiplicación. Sin embargo no utilizó el signo para la igualdad, sino que expresó la igualdad entre dos términos verbalmente por medio de o . Los términos se escribían uno debajo del otro y los encerraba en llaves (Wuzzing, 1998). En estas ecuaciones Viète “no admite coeficientes y raíces negativas” (Díaz, 1995, p. 44). Esta escritura no podía ser de otra forma, pues lo que Viète representaba en la ecuación eran relaciones de proporción entre las magnitudes del problema.
Otra de las características de este trabajo es la conservación del principio de homogeneidad al escribir la adición, la sustracción, el producto de dos magnitudes y la división de una magnitud y otras, es decir que sólo los términos homogéneos podrían ser comparados entre sí.
La extensión de la regla a los productos entre potencias de la incógnita, junto con la suma de potencias homogéneas da lugar a expresiones polinomiales, lo que, de algún modo puede considerarse ya como las primeras manifestaciones sintácticas del álgebra, puesto que son el resultado de poner en práctica reglas de composición y escritura de frases algebraicas válidas (Fernández, 1997, p. 84).
Este arte analítico de Viète se presenta en tres partes. La primera parte es la zetética, que es un conjunto de reglas para manipular reglas. Las ecuaciones simbólicas se dan en el sentido de
81
la equivalencia a una proporción33. El uso de proporciones da cuenta de que el proceso analítico y simbólico se puede trasladar a la geometría de tal forma que el resultado es puramente geométrico. La segunda parte es la purística, que permite asegurar que el proceso de la zetética
conduce a una traducción concluyente y la última parte es la exegética, que es la traducción del análisis zetético a términos geométricos o aritméticos (Charbonneau, 1996).
En relación a los ceros, Viète fórmula algunas reglas. Para comprenderlas es necesario enunciar en términos moderno el teorema fundamental del álgebra:
Toda ecuación
Donde
Es un polinomio en de grado y los coeficientes son números reales o complejos dados, tienen al menos una raíz real o compleja, se tiene en cuenta que todos los cálculos con números complejos siguen las mismas reglas que con los números reales, entonces es fácil demostrar que el polinomio puede representarse (y de manera única) como producto de factores de primer grado.
son números reales o complejos.
Todo polinomio de grado tiene, pues, y solo raíces . Estas raíces pueden ser distintas o puede suceder que algunas de ellas sean iguales. En este segundo caso se dice que la raíz correspondiente del polinomio es una raíz múltiple.
Desarrollando la expresión:
Y comparando los coeficientes de iguales potencias de , vemos inmediatamente que:
33
82
(Aleksandrov, Kolmogorov, & Laurentiev, 1994, p. 327).
Las anteriores son las conocidas fórmulas de Viète. Este teorema fue probado por Viète solamente para raíces positivas (Vieta’s fórmula, s.f.).
En relación a la escritura factorizada de expresiones algebraicas, ésta fue un método de solución de algunas soluciones cuadráticas en la obra de Harriot (1560-1621) titulada la Artis Analytica e Praxis ad Aequations Algebraicas Resolvendas34 y publicada en 1631 (Acevedo & Falk, 1997; Dávila, 2003b). La multiplicación del producto en la obra de Harriot y en otros manuscritos aparece como en la Figura 20.
Figura 20. Multiplicación de dos binomios en Harriot.
Harriot, al igual que Viète utiliza las vocales para las incógnitas y las consonantes para las constantes. “Harriot es el primero en establecer la relación de las raíces de una cúbica, sean
dichas raíces, con la ecuación ” (escrita en notación moderna)
(Dávila, 2003b, p. 41).
Klein (1994) menciona que Viète también exploró el método de factorizar un polinomio en binomios de primer grado, pero no fue satisfactorio porque descartó todas las raíces negativas y carecía de una teoría como el teorema del factor. Igualmente Harriot al carecer de un sustento teórico también abandona esta idea.
34
83
Descartes (1596 – 1650)
Otro de los matemáticos que contribuyen al desarrollo de la notación simbólica del álgebra es Descartes (1596 – 1650) (Aleksandrov et al., 1994). En su escritura asigna a las incógnitas o las variables con las últimas letras del alfabeto. Usó con constancia los signos y , la notación de potencias y el signo de la raíz cuadrada . Uso del signo (ligadura de las letras iniciales ae de aequetur) en lugar del signo de igualdad (Wuzzing, 1998).
Descartes denota una línea con una letra y cuando opera con líneas no realiza su gráfica, opera con letras y cuando efectúa el producto de el resultado no es rectángulo de lados y sino una línea (Recalde, 2002) y de esa manera es posible formular . Para realizar lo anterior, Descartes alude la homogeneidad de las magnitudes “suponiendo que multiplicando o dividiendo por la unidad, tantas veces como fuese necesario se logra el equilibrio” (Recalde, 2002, p. 176).
Para Descartes la solución algebraica a un problema geométrico no tenía que ser escrito en términos puramente geométricos como en Viète. Por lo que no necesita de la compleja teoría de proporciones. Para él, el álgebra es una herramienta superior para resolver problemas.
Sin embargo Descartes permanecía vinculado a la geometría, fue Wallis (1616- 1703) quien “va más allá y libera la aritmética y el álgebra de la representación geométrica” (Kline, 1994, p. 376).
En el libro I de la Geometría de Descartes se resuelven algunas ecuaciones cuadráticas con construcciones por medio de magnitudes geométricas representadas por segmentos. A partir de este método sólo se pueden encontrar las raíces positivas, dada la imposibilidad de representar por segmentos cantidades negativas. Para suplir este inconveniente recurre a algunas reglas que presenta en el capítulo III de este mismo libro (Álvarez, 2000).
En éste se establecen los aportes de Descartes a la teoría de ecuaciones: se encuentran reglas para combinar, factorizar, transformar y resolver ecuaciones. También se muestra cómo descubrir las raíces racionales cuando existen, disminuir el grado de una ecuación cuando se conoce una raíz, aumentar y disminuir las raíces, cambiar su signo o determinar el número de posibles raíces positivas y negativas, mediante la célebre regla de los signos (Álvarez, 2000, p. 16).
84
El título del libro III es: Sobre la construcción de los problemas sólidos y supersólidos, y se divide en tres partes. Se inicia con el planteamiento de algunas consideraciones generales de las ecuaciones, en donde se explican las reglas que permiten conocer y modificar las raíces de una ecuación. Posteriormente se trata la correspondencia de las ecuaciones y los problemas planos35 y se finaliza con el estudio de las ecuaciones referentes a los problemas sólidos.
En la primera parte de este libro se presenta la regla de los signos, también se realizan diversas transformaciones con las ecuaciones y algunos procedimientos como los siguientes: se propone convertir las raíces positivas a negativas y las negativas a falsas, por lo que se cambian los signos de los términos de las posiciones pares de la ecuación; para aumentar o disminuir una raíz se propone sustituir la por el valor , donde es el incremento o decremento de la raíz, en relación a la anterior regla se establece como quitar el segundo término de una ecuación (Descartes, s.f.).
Cada uno de estos planteamientos se presenta a partir de un caso particular de ecuación y existen algunos procedimientos y notaciones que vale la pena mencionar: para escribir una ecuación donde falta uno de los términos coloca un asterisco en la posición correspondiente ( equivalente a ); para dividir una ecuación por un binomio se realiza un procedimiento distinto al actual que se efectúa de derecha a izquierda y para realizar cualquier procedimiento se procura reducir a enteros o racionales los coeficientes de una ecuación que sean fraccionarios o irracionales. En cuanto a denominaciones nombra las raíces positivas como verdaderas y las negativas falsas y llama sordos a los números racionales (Descartes, s.f.).
En los procedimientos que realiza para hallar las raíces de una ecuación, admite que puede haber raíces imaginarias (complejas). Estas cantidades imaginarias no las puede representar geométricamente. ¨Por lo que todas las longitudes de líneas que utiliza son exclusivas para representar cantidades reales (Álvarez, 2000).
En la segunda parte del libro III, Descartes determina que la solución de una ecuación de tres dimensiones se obtiene al dividir por un binomio, en este caso se considera que la ecuación cúbica resuelve un problema plano. Pero cuando a la ecuación no se le encuentra un binomio que
35
Los problemas que pueden resolverse con líneas rectas y circulares son los llamados planos y aquellos problemas que pueden resolverse por el uso de una o más secciones de un cono son los llamados problemas “sólidos” (Pappus de Alejandría, s.f.)
85
la puede dividir, el problema que de ella depende es sólido. De igual manera se establece la diferencia con las ecuaciones de cuatro dimensiones (grado cuatro).
También asegura que cuando el problema propuesto es sólido se puede reducir a una ecuación de tercer o cuarto grado y para resolver la ecuación se presenta una construcción utilizando una parábola (Descartes, s.f., p. 480). En esta construcción se pueden determinar todas las raíces de la ecuación, tanto las verdaderas o las falsas, o detectar cuando las raíces son imaginarias (Descartes, s.f., p. 483).
En la tercera parte del libro III se presenta “la solución como consecuencia de las anteriores construcciones de los problemas no resueltos de la geometría euclidiana: la trisección del ángulo y la duplicación del cubo” (Álvarez, 1990, p. 59).
Retornando a la primera parte del libro III de la Geometría, Descartes explica basándose en un ejemplo concreto que una ecuación puede tener a lo sumo raíces, es el grado de la ecuación, para ello construye una ecuación de cuarto grado a partir de un binomio de primer grado, al que multiplicaba por binomios – , donde es una raíz de la ecuación. En la solución hace uso implícitamente del conocido teorema del factor; que establece que si un polinomio tiene como raíz , el polinomio es divisible entre , o lo es igual, que puede escribirse
en la forma , es un polinomio de un grado menos que . (Chica,
2001)
En cuanto a la regla de los signos se afirma que el máximo número de raíces positivas de , donde f es un polinomio, es el número de variaciones del signo de los coeficientes y que el máximo número de raíces negativas es el número de apariciones de dos signos “ ”o dos signos “ ” consecutivamente. Este regla se presenta sin demostración en el libro de la
Geometría de Descartes (Mora, Torres & Luque, 2004, p. 252). Una de las características de la
Geometría es que “el énfasis se dedica a la resolución y construcción de problemas más que a la demostración, las reglas o teoremas solo se ejemplifican” (Álvarez, 2000, p. 17).
La regla de los signos fue demostrada por varios matemáticos del siglo XVIII, la demostración que usualmente se conoce es la Abbé Jean – Paul de Gua de Malves (1712- 1785) (Kline, 1994). A partir de este resultado Newton (1643 – 1727) en la Arihmetica Universalis
86
raíces positivas y negativas y el mínimo número de raíces complejas. En esta obra también presenta la relación entre las raíces y el discriminante de la ecuación (Kline, 1994).
La primera parte de la regla de los signos de Descartes es particularmente importante, puesto que en muchos problemas prácticos se sabe de modo automático, si todas las raíces de una ecuación dada son reales. En este caso puede deducirse rápidamente cuantas son raíces positivas y negativas, y cuántas raíces nulas tienen la ecuación (Aleksandrov et al., 1994, p. 357).
De este teorema se deducen otros teoremas, por ejemplo en 1807 el matemático francés Budan (1761 - 1840) determina que:
Si un polinomio , , donde es un número real arbitrario dado, es decir, formamos el polinomio , entonces las raíces positivas y de este polinomio serán aquellas obtenidas a partir de las raíces del polinomio dado que sean mayores que . Por tanto el número de raíces del polinomio (cuyas raíces son todas reales), comprendidas entre los límites y donde , es igual al número de cambios de signo del polinomio menos el número de cambios de signo del polinomio . Sin embargo si no son reales todas las raíces de , puede entonces demostrarse que este número es igual a dicha diferencia, o a dicha diferencia menos cierto número par (Aleksandrov et al., 1994, p. 357).
Sin embargo ni la ley de Descartes ni el Teorema de Budan resuelven el siguiente problema: si una ecuación de coeficientes reales tiene al menos una raíz real ¿Cuántas raíces reales tiene en total y cuántas raíces reales en el intervalo cuyos extremos son ? Sólo en 1835, el matemático francés Sturm (1803- 1855) sugirió un método que resolvía los tres problemas. Este método se presenta a continuación:
Sea un polinomio con coeficientes reales y la derivada de . Dividamos el polinomio por y notemos que el resto de la división, tomándolo con signo opuesto. Luego, dividimos por y notemos el resto, tomando con signo opuesto, por , etcétera.
Puede demostrarse que este polinomio de la sucesión así construida será una constante .
87
El teorema de Sturn dice lo siguiente: si son dos números reales que no sean raíces del polinomio , al sustituir en los polinomios.
obtenemos dos sucesiones de números reales.
(Aleksandrov et al., 1994, p. 358).
Tales que el número de cambios de signo en la sucesión (I) es mayor o igual al número de cambios de signo en la sucesión (II), y la diferencia entre estos números es exactamente igual al número de raíces reales de comprendidas entre ; o dicho con otras palabras, el número de estas raíces es igual a la pérdida de cambios de signo en la sucesión (I) al pasar de a (Aleksandrov et al., 1994).
En relación a lo anterior se muestra que es el trabajo de Viète y Descartes el detonador del álgebra como la ciencia de los cálculos simbólicos, de las transformaciones literales y de las ecuaciones algebraicas. “El álgebra se convirtió no sólo en un método efectivo para sus fines, sino también en un enfoque superior para la solución de problemas geométricos” (Kline, 1994, p. 516).
Teorema fundamental del álgebra
En lo referente a la resolución práctica de ecuaciones, el resultado fue lo siguiente: quedó claro que no era posible la solución por radicales de la mayoría de ecuaciones algebraicas, e incluso siéndolo, era poco el valor práctico debido a su complejidad, excepto en el caso de la ecuación de segundo grado. En vista de esto los matemáticos empezaron a trabajar sobre la teoría de ecuaciones algebraicas en tres direcciones a saber: 1) sobre el problema de la existencia de una raíz, 2) sobre el problema de cómo deducir a partir de los coeficientes de una ecuación, ciertas propiedades de las raíces sin resolverla (por ejemplo, si tiene raíces reales y cuántas son); finalmente 3) sobre el cálculo aproximado de las raíces de una ecuación. En primer lugar, fue necesario demostrar que toda ecuación algebraica de grado con coeficientes reales o complejos
88
tiene al menos una raíz real o compleja (teorema fundamental del álgebra (TFA)) (Aleksandrov et al., 1994).
Uno de los motivos para plantear y demostrar el TFA fue el uso del método de integración por descomposición de fracciones, porque generó la pregunta: ¿es posible que cualquier polinomio con coeficientes reales poeda ser descompuesto en producto de factores lineales o producto de un factor lineal y cuadrático con coeficientes reales?. Ante este problema Leibniz (1646 - 1716) no creía que cualquier polinomio se pudiera descomponer en factores lineales y cuadráticos con coeficientes reales, sin embargo Euler (1707 - 1783) afirma sin demostración que si es posible expresar un polinomio de esa manera. Nicolás Bernoulli (1687 - 1759) opina en contraposición a Euler y de igual manera Goldbach (1690 - 1764). Ante los ejemplos planteados sus opositores, Euler les muestra su error, generando una demostración para polinomios hasta grado seis. Sólo la generalidad a esta pregunta se responde a través del teorema