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La fuerza que actúa sobre un cuerpo en reposo sobre la superficie terrestre es la resultante de la fuerza gravitacional y de la fuerza centrífuga de la rotación de la Tierra.

El potencial de la gravedad W, es la suma de los potenciales de la fuerza gravitacional V y de la centrífuga Φ. 𝑊 = 𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑉 + Φ = 𝑘 ∭𝜌 𝑙 𝑣 𝑑𝑣 +1 2𝜔2(𝑥2+ 𝑦2) =

Donde la integral está extendida a toda la Tierra. Sabiendo que:

∆𝑊 = ∆𝑉 + ∆Φ

Y que el laplaciano en el exterior de las masas que generan el potencial es: ∆𝑉 = 0

Siendo esta función armónica. Por lo tanto: ΔΦ =𝛿 2_Φ 𝛿𝑥2 + 𝛿2_Φ 𝛿𝑦2 + 𝛿2_Φ 𝛿𝑧2 = 2𝜔2 Esta función no es armónica.

El vector gradiente de W: 𝑔⃗ = 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑊 = (𝛿𝑊 𝛿𝑥 , 𝛿𝑊 𝛿𝑦 , 𝛿𝑊 𝛿𝑧) De componentes:

Donde 𝑔⃗ es el vector gravedad. La dirección de este vector es la línea de la plomada, o la vertical.

Se les denomina superficies equipotenciales o superficies de nivel. La diferencia total del potencial gravífico será:

En notación vectorial, utilizando el producto escalar, se representaría:

Si el vector dl se toma a lo largo de una superficie de nivel 𝑊 = 𝑊0, entonces el potencial es constante y dW=0, por lo que la ecuación queda:

Cuando el producto escalar de dos vectores es 0, entonces estos dos vectores son perpendiculares entre sí, por tanto, la ecuación expresa que el vector gravedad es perpendicular a la superficie de nivel que pasa por el mismo punto. Las líneas que cortan normalmente a todas las superficies equipotenciales no son exactamente rectas sino ligeramente curvadas. Son las llamadas líneas de la plomada. Es por esto que se define EL GEOIDE como la superficie equipotencial que mejor se ajusta al nivel medio del mar.

Debido a las irregularidades que presenta la superficie física de la Tierra, es necesario hacer una aproximación de la misma a una superficie matemática de referencia. En una primera aproximación la tierra puede considerarse una esfera de 6371 Km, y en una mejor definición como un ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN, el cual comparte con la Tierra una masa M, el potencial W0, la diferencia entre momentos principales de inercia y la velocidad angular ω.

El elipsoide asociado al datum ETRS89 es el GRS80, cuyo origen es el centro de masas de la Tierra, el eje OZ coincide con la dirección del polo de referencia IERS, coincidente con el Polo Terrestre convencional del BIH (Bureau International de l´Heure) en la época 1984.0. El eje OX es la intersección del meridiano de referencia IERS que coincide con el meridiano de origen del BIH en la época 1984.0 y el plano perpendicular al eje OZ por el origen de coordenadas. El eje OY completa el sistema cartesiano ortogonal orientado en sentido positivo.

Los parámetros principales del elipsoide GRS80 son:

Tabla 2.5-2 Constantes físicas y geométricas elipsoide GRS80

Las diferencias entre geoide y elipsoide pueden verse en la figura siguiente:

Figura 2.5-1 Esquema elipsoide, geoide y sus verticales

Una vez aclaradas la definición de geoide y elipsoide vamos a exponer una serie de conceptos a cerca de los tipos de alturas.

Las altitudes pueden clasificarse en Dinámicas, Ortométricas y Normales. Actualmente, con la llegada del GNSS, hemos de considerar también las Altitudes Geodésicas o distancia de un punto al elipsoide a lo largo de la normal a este. Las Altitudes Dinámicas de igual valor definen una superficie equipotencial del campo gravitatorio terrestre, de ahí su nombre, que proviene de su naturaleza física. Las Altitudes Ortométricas se atienen al concepto geométrico de altitud, es decir distancia métrica a una superficie de referencia. Para su determinación es imprescindible conocer el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de la plomada, lo que, al no poderse hacer de forma empírica, requiere necesariamente de un modelo. El tipo de modelo y los valores asociados al mismo definen los diferentes sistemas de altitudes ortométricas: de Helmert, Niethammer, Mader, Rasmayer, etc.

Esa imprescindible dependencia de un modelo de las altitudes ortométricas es lo que llevó a Molodensky a proponer un sistema el sistema de Altitudes Normales, caracterizadas esencialmente por no necesitar de hipótesis en su definición. El problema fundamental de estas altitudes es que no se refieren al geoide, sino a una superficie (no equipotencial) denominada cuasigeoide (también determinable sin hipótesis). En nuestro caso, trabajaremos con las

Altitudes Ortométricas Helmert, para las cuales es necesario medir la gravedad en el terreno y realizar una serie de reducciones.

La referencia para las altitudes ortométricas en cada país o región es el nivel medio del mar realizado por un mareógrafo, asociado a un conjunto de puntos o clavos, que constituyen el datum vertical. La superficie correspondiente al nivel medio del mar (superficie donde el potencial es contante), fue propuesta como referencia para las altitudes por C.F. Gauss en 1828, quien en un principio la llamó figura matemática de la tierra. Posteriormente J.F. Listing en el 1873 le llamo geoide. Esta definición ha resultado ser altamente adecuada y hoy en día el geoide es la superficie fundamental de la geodesia física.

Figura 2.5-2 Alturas sobre superficies equipotenciales

En la figura anterior se presenta la altitud ortométrica de un punto P como la distancia geométrica de ese punto al geoide, medido a lo largo de la línea de la plomada (curva). Su significado es puramente geométrico. Como establece Heiskanen & Moritz podemos expresar la altura ortométrica de la siguiente manera:

𝐻𝑂𝑟𝑡 =𝐶𝑝 𝑔

Donde 𝐶𝑝es el valor de la cota geopotencial en P calculado a partir de los valores de gravedad medidos a lo largo de la línea de nivelación y de los desniveles mediante la expresión:

∆𝐶_𝑖,𝑖+1=𝑔𝑖+𝑔𝑖+1

2 ∆𝑛𝑖,𝑖+1

y 𝑔 es el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de la plomada:

𝑔 = 1

𝐻𝑂𝑟𝑡∫ 𝑔(𝑧)𝑑𝑧 𝐻𝑂𝑟𝑡

0

Para determinar la altitud ortométrica, es necesario pues saber con exactitud el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de la plomada. Ya que esta medida es imposible de

Donde g es la gravedad medida en el punto P del terreno. Introduciendo esta expresión en la ecuación que define el valor medio se llega inmediatamente a:

𝑔 − 𝑔 + 0.0424𝐻

Este valor de 0.0424 se obtiene asumiendo una densidad 𝜌 = 2.67_𝑐𝑚𝑔₂ para la corteza terrestre y que entre el punto de profundidad z y el punto P existe una placa plana e infinita de espesor H. Esta aproximación nos da un valor cercano al valor medio de la gravedad que se mediría en la parte superior de la corteza terrestre si esto fuera posible.

Las llamadas altitudes ortométricas Helmert se calculan entonces mediante la siguiente fórmula:

𝐻𝐻𝑒𝑙𝑚₌ 𝐶𝑝

𝑔 + 0.0424 𝐻𝐻𝑒𝑙𝑚

Donde sí 𝐶_𝑝 se mide en unidades geopotenciales (u.g.p.) y g en gales, H resultará en kilómetros.

2.5.1.1 ONDULACIÓN DEL GEOIDE

Para establecer una relación entre los modelos de geoide y las altitudes elipsoidales nos basaremos en el concepto de ondulación del geoide:

N=H-h

Para llegar a esta expresión, se debe tener en cuenta la proyección de cualquier punto sobre la superficie del elipsoide, utilizando para ello la proyección de Pizzetti y la proyección de Helmert:

Figura 2.5-3 Representación ondulación geoidal

Mediante la proyección de Pizzetti se proyecta el punto P en el terreno sobre el geoide, P0, según la línea de la plomada, a continuación se proyecta P0 sobre el elipsoide Q0, según la

normal al elipsoide en P0.

A continuación mediante la proyección de Helmert, se proyecta P sobre el elipsoide P´ según la normal al elipsoide.

La diferencia entre ambas proyecciones es mínima por lo que N queda reducida a: N=H-h

2.6 MÉTODOS DE DETERMINACIÓN DEL GEOIDE