2.3 Content-based approaches
2.3.3 Preference-based approach
Las aplicaciones del GPS dependen fundamentalmente del conocimiento de las órbitas descritas por los satélites. En posicionamiento relativo, los errores en la determinación de las órbitas de los satélites, provocan errores absolutos en la determinación de las lineasbase, pero los errores relativos se compensan.
Los parámetros orbitales son transmitidos por los satélites como una parte del mensaje por ellos radiado, o puede ser obtenido a partir de varias fuentes algunos días después de la observación. La activación de la disponibilidad selectiva provoca errores en la determinación de las órbitas que oscilan entre 50 y 100 metros. Dado que algunos usuarios civiles necesitan efemérides precisas, en este apartado se trata de determinar las órbitas teóricas, así como el cálculo de las efemérides.
2.7.3.2 DESCRIPCIÓN DE LA ÓRBITA 2.7.3.2.1 MOVIMIENTO KEPLERIANO 2.7.3.2.1.1 PARÁMETROS ORBITALES
Sean dos masas puntuales m1 y m2 separadas una distancia r. Considerando por el
momento, únicamente una fuerza atractiva entre las dos masas y aplicando principios de la mecánica newtoniana, el movimiento de la masa m1 con respecto a la masa m2 viene descrito
por la ecuación diferencial de segundo orden:
1 2
3 G m m r´´ r 0 r donde: 2 2r vector posición relativa con r r d r
r´´ vector aceleración relativa dt
G constante de gravitación universal
siendo t el parámetro tiempo en un sistema inercial, materializado en el sistema de tiempo GPS.
En el caso del movimiento de un satélite artificial alrededor de la Tierra, en primera aproximación, podemos considerarlos ambos como masas puntuales, y además despreciar la masa del satélite.
El producto de G y la masa de la Tierra ME se denota por μ, y es uno de los parámetros
que definen el sistema WGS-84:
3 8 E 2 m GM 3986005 10 s
Para la definición de la posición de un satélite orbitando alrededor de la Tierra son precisos seis parámetros, que corresponden a las seis constantes de integración que se obtienen al resolver la ecuación diferencial vectorial de segundo orden. Esta órbita se corresponde con una elipse, y los parámetros que definen el movimiento kepleriano vienen dados por:
Ω: Ascensión recta del nodo ascendente ω: Argumento del perigeo
i: Inclinación del plano orbital a: Semieje menor de la órbita elíptica
Figura 2.7-8 Representación esfera celeste GPS
El punto de mayor aproximación del satélite al centro de masas de la Tierra es el perigeo, y el mas alejado el apogeo. La intersección entre plano ecuatorial y el plano orbital determina la línea de los nodos, donde el nodo ascendente viene dado por el cruce del satélite en la dirección del Polo Norte, estando definido el nodo descendente por el cruce en dirección del Polo Sur.
La velocidad angular media del satélite n, viene dada por la tercera ley de Kepler:
3
2
n
P
a
donde P es el período de revolución del satélite alrededor de la Tierra.
Para las órbitas de los satélites GPS, el semieje mayor toma el valor aproximado a = 26560 km, que sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene un período orbital, P, de aproximadamente 12 horas sidéreas.
La posición instantánea del satélite en su órbita viene dada por una cantidad angular conocida como anomalía, denominada así por razones históricas. Las anomalías comúnmente usadas son las siguientes:
M(t) Anomalía media
E(t) Anomalía excéntrica v(t) Anomalía verdadera
La anomalía media M(t) es una abstracción matemática, mientras que la anomalía excéntrica E(t) y la anomalía verdadera v(t) se pueden representar geométricamente. Las fórmulas que relacionan estas tres anomalías son las siguientes:
0
M ( t )
n( t T )
E( t )
M ( t ) esenE( t )
1 e
E( t )
v( t )
2arctg
tg
1 e
2
donde e es la excentricidad de la órbita del satélite. La primera ecuación es una definición, y la anomalía media, M(t), puede ser usada como un parámetro, en lugar de T0, para
definir el movimiento orbital del satélite. La segunda expresión es conocida como fórmula de Kepler, y por último la tercera ecuación se obtiene a partir de relaciones puramente geométricas, como se mostrará en siguiente epígrafe.
La ecuación dos debe resolverse por métodos iterativos, debiendo tenerse en cuenta que “e senE(t)” no es un ángulo, sino un arco medido en radianes, y que por lo tanto, habrá que transformar a grados sexagesimales:
360º x
2 esenE( t ) con lo que la fórmula anterior queda:
E( t )M( t ) 57.29577951 esenE( t )
Figura 2.7-9 Apogeo y perigeo
El sistema de coordenadas e1,e2 que definen la órbita plana, se muestra en la figura
anterior. El vector de posición r y el vector velocidad r´ =dr/dt del satélite pueden ser expresados en función de la excentricidad y de la anomalía verdadera
Si los dos términos de la ecuación anterior los elevamos al cuadrado y dividimos por dos tendremos a derecha un término que da la energía cinética y a la izquierda un término que da la energía potencial, siendo “a” por definición una constante. Esta ecuación podemos considerarla como ley de conservación de la energía Tierra-satélite. La transformación de r y r´ en el sistema ecuatorial
X
0i se lleva a cabo por medio de la matriz de giro R resultando los vectores que representamos por y ´
. Los vectores expresados en el sistema orbital deben ser considerados como vectores tridimensionales para la transformación, con lo cual los ejes e1y e2 deben ser suplementados por un nuevo eje
e
3, ortogonal a ambos. La componentee
3 de los vectores r y r´ será cero.La transformación vendrá definida por:
R r
´ R r´
3 0 3 1 3 1 2 3
RR (
)R ()R ( i )R (
)
e ,e ,e
El producto
R (
3
0)R (
3)
puede ser expresado por una matriz simple R ( 1 )3 donde l = Ω – θ0 y la ecuación anterior puede ser escrita de la siguiente forma:
3 1 3
R´R ( l )R ( i )R ( )
Además del sistema orbital fijo,
e
i, otro sistema ortogonal,e
*i , puede ser definido, partiendo de los vectores posición y velocidad del satélite:* * * 1 3 2 3 1
´
e
e
e
e
e
´
los vectores de la base
e
*i se corresponden con los vectores columna de una matriz de rotación modificadaR
* remplazando el parámetro ω por (ω+ν).2.7.4 SEÑALES EMITIDAS POR LOS SATÉLITES