Como acabamos de ver, los nanohilos de silicio absorben parte de la luz cuando son iluminados con un laser. La luz absorbida se trasformará en calor aumentando la temperatura del nanohilo. Al estar compuesto por dos materiales con distinto coeficiente de expansión, su expansión térmica genera una fuerza que dobla el nanohilo, figura 6.10. Los efectos estáticos de esta fuerza son despreciables, ya que no alteran la dinámica del nanohilo, aunque en ocasiones
podrían modificar sus propiedades, no siendo este el caso[40]. Pero como vimos en la sección 6.3, la dependencia de esta fuerza con la posición del nanohilo puede modificar la dinámica del resonador, si esta se aplica en cuadratura de fase con el movimiento. Cuando el nanohilo oscila, y esto ocurre siempre por el teorema de fluctuación-disipación, la potencia absorbida varía y por tanto su temperatura, lo que origina una variación de la fuerza generada. Por ser de origen fototérmico, el tiempo de difusión del calor en el material proporciona el desfase necesario para producir una fuerza en cuadratura de fase con el movimiento, lo que finalmente modificará la dinámica del resonador.
Figura 6.10. Dibujo esquemático de la fuerza fototérmica generada por el aumento de la temperatura en un nanohilo de silicio metalizado.
En el razonamiento que se sigue a continuación hacemos las siguientes aproximaciones:
- La distribución de temperatura en los ejes z e y es constante debido a que el diámetro del nanohilo es mucho menor que la profundidad de penetración de la potencia absorbida.
- Restringimos nuestro estudio al análisis dinámico estacionario. Por lo que las coordenadas temporal y espacial son separables.
- La dependencia temporal de la temperatura tiene el mismo comportamiento temporal que la fuente de absorción óptica.
- Despreciamos las perdidas de calor por convección y por radiación por encontrarnos en alto vacío y por tratarse diferencias de temperatura pequeña.
La distribución temporal de la temperatura con respecto a un determinada temperatura de fondo, T(x,t), se obtiene aplicando la ecuación de difusión del calor unidimensional
(6.17) Donde es la densidad efectiva, su capacidad calorífica efectiva, su conductividad térmica efectiva, es el área de la sección trasversal y es la calor generado en el nanohilo por unidad de volumen. Todas las magnitudes efectivas son calculadas promediando su valor en el núcleo del nanohilo, silicio, y en el recubrimiento, oro.
La vibración del nanohilo a lo largo de su eje viene dada por, . Donde C es la amplitud de oscilación, la frecuencia de resonancia mecánica y la forma del modo fundamental de vibración. Como la absorción del nanohilo depende de su distancia al sustrato y no considerando su componente estática, podemos escribir como el producto del gradiente de la potencia absorbida, calculada numéricamente en el plano yz, la oscilación del nanohilo y la forma del haz gaussiano que enfocamos sobre el nanohilo a lo largo del eje x
(
)
√ (6.18)
Donde es el ancho del haz, es su posición a lo largo del eje del nanohilo y . Asumimos que el comportamiento temporal del campo de temperaturas esta determinado por la fuente de absorción y de esa forma separamos las variables temporal y espacial de la función temperatura
(6.19) Donde depende de la frecuencia de oscilación del resonador. Combinando las ecuaciones (6.18) y (6.19) podemos expresar la ecuación (6.17) como
(
)
√ (6.20)
La geometría del problema impone las siguientes condiciones de contorno
| (6.21)
Que corresponden con pérdidas de energía nulas en el extremo libre y con un incremento de temperatura nulo en el extremo fijo, respectivamente. Las simulaciones por elementos finitos muestran que estas condiciones siempre se cumplen en nuestro problema. Aplicando estas condiciones de contorno a la ecuación (6.20), obtenemos finalmente la variación de temperatura a la frecuencia de resonancia, que será una función compleja
(6.23) A partir de ahora solo consideramos la parte imaginaria por ser la responsable de modificar la dinámica de nuestro resonador. Como resultado de la distribución de temperatura inducida por la absorción, aparece un campo de estrés en la estructura, que produce un momento. Esto es debido a que los nanohilos de silicio están metalizados con oro, y estos materiales tienen diferentes coeficientes de expansión térmica. El momento generado puede calcularse a partir de la teoría de Euler- Bernouilli como[41]
(∫ (∫ )
∫ (∫ ) ) (6.24)
Donde los subíndices s y c se refieren al nanohilo de silicio y a la capa de oro, r es el espesor de las diferentes capas y , y , siendo el coeficiente de expansión térmica.
Por ahora hemos calculado la parte imaginaria del gradiente del momento, , pero para obtener la ganancia debemos conocer la parte imaginaria del gradiente de la fuerza. Aplicando el principio de los trabajos virtuales a la ecuación de Euler- Bernouilli obtenemos finalmente esta ganancia
∫
∫ (6.25)
La ganancia es proporcional a la parte imaginaria del gradiente del momento, , y esta lo es a la parte imaginaria del gradiente de temperaturas, , que es dependiente del diámetro del nanohilo y de su posición respecto al sustrato. Por tanto, la ganancia también depende de estos parámetros. Además, también depende de la longitud de onda, lo que nos permite modificar el régimen dinámico de los nanohilos.
En la siguiente sección mostraremos los resultados experimentales obtenidos a partir de decenas de nanohilos de silicio y su comparación con los cálculos teóricos. Además, analizaremos en detalle la estabilidad en frecuencia que nos permiten alcanzar el régimen de amplificación lo que determinará la sensibilidad en masa de nuestros dispositivos.