La relación entre producción de una conjetura y la construcción de su demostración ya fue objeto de estudio en una perspectiva cognitiva (Duval, 1995). Algunas investigaciones recientes muestran que puede existir una continuidad entre los dos procesos. En particular, un grupo italiano de investigadores: Boero et al. (1996), Garuti, Boero, Lemut & Mariotti, (1996); Mariotti, Bartolini Bussi, Boero, Ferri & Garuti (1997); Garuti, Boero & Lemut, (1998), han elaborado una entidad teórica para describir esta continuidad: La Unidad Cognitiva. La hipótesis de partida es que a lo largo de una primera fase, la construcción de la conjetura, el estudiante produce una actividad argumentativa en la que justifica la plausibilidad de las elecciones que hace. A lo largo de la siguiente fase, la construcción de la prueba, puede apoyarse sobre este proceso de modo coherente organizando los argumentos producidos y siguiendo una cadena lógica.
En las producciones de los estudiantes, es posible reconocer la Unidad Cognitiva si se pueden identificar algunos tipos de continuidad. En particular Pedemonte (1998), ha seleccionado las siguientes continuidades:
1. Continuidad del lenguaje. Se observa cómo las expresiones verbales, las expresiones algébricas, los dibujos geométricos se mantienen o evolucionan pasando de un proceso al otro. La continuidad puede ser observable a partir de las palabras, de las expresiones, de las frases que se utilicen a lo largo de la argumentación y a lo largo de los registros gráficos y escritos que se dejen en el cuaderno de trabajo sobre la construcción de la demostración.
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2. Continuidad conceptual. Se puede constatar de manera directa, durante las interacciones de comunicación que se dan entre parejas de estudiantes o entre la clase y el profesor, si los conceptos en acto, así como los teoremas en acto (Vergnaud, 1991) 14, que aparecen a lo largo de la argumentación pueden presentarse explícitos a lo largo de la construcción de la demostración. La continuidad conceptual puede ser observable a partir del discurso; por ejemplo, a lo largo de la argumentación el estudiante puede utilizar las palabras referentes a un teorema, sin explicitarlo; si en la fase de demostración este teorema es utilizado, puede concluirse una continuidad conceptual entre las dos fases.
3. Continuidad de marco (Douady, 1986) Puede mirarse si la conjetura y la demostración son construidas en el mismo marco. Esta continuidad es observable a partir de la referencia teórica que el estudiante utiliza en las dos fases.
4. Continuidad heurística. Puede observarse si los elementos de una figura designados como variables y aquellos que son mantenidos fijos son los mismos en las dos fases. La continuidad puede ser observable a partir del discurso del estudiante y de la manipulación de la representación gráfica sobre la pantalla; por ejemplo, en la manipulación de la figura de un triángulo puede decidir mantener un lado fijo y hacer variar los otros dos para establecer relaciones métricas. Puede observarse una continuidad heurística si a lo largo de la argumentación y a lo largo de la demostración esta manipulación es descrita por el estudiante.
5. Continuidades en las dinámicas mentales. Puede observarse si a lo largo de la resolución de un problema se es mentalmente activo, movilizando las imágenes dinámicas: intuición de vínculos entre variables etcétera.
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Se designa por las expresiones “concepto en acto” y “teorema en acto” los conocimientos contenidos en los esquemas: Se les puede designar también por la expresión más global de “invariantes operatorios” (Vergnaud, 1990, p. 139). Se llama esquema “la organización invariante de la conducta para una clase de situaciones dadas. Es en los esquemas donde se debe buscar el conocimiento en acto del sujeto, es decir los elementos cognitivos que permiten a la acción del sujeto ser operatoria” (Vergnaud, 1990, p. 136).
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Los tipos de continuidades presentadas hacen mención a un sistema, denominado Sistema de Referencia, que toma en cuenta los sistemas de representaciones expresivas (el lenguaje, las heurísticas sobre la representación, etc.) y los sistemas de los conocimientos (marco, concepto en acto, teorema en acto, etc.) que están en juego a lo largo de la construcción de una conjetura y la realización de su demostración.
Con el fin de observar estas continuidades, en la UC el proceso de resolución de un problema geométrico que demanda la producción de una conjetura y su posterior demostración es descompuesto en cuatro fases:
1. Fase 1, argumentativa de producción de la conjetura, 2. Fase 2, de estabilización de la formulación de la conjetura, 3. Fase 3, de construcción de la demostración,
4. Fase 4, de estabilización de redacción de la demostración.
La Unidad Cognitiva ha sido definida entre el desarrollo argumentativo logrado a lo largo de la construcción de la conjetura (fase 1) y el desarrollo de construcción de la demostración (fase 3)15. Se ha elegido enlazar la naturaleza del producto terminal, la demostración, con el conjunto de procesos que la precede en la resolución del problema. En particular, la argumentación que se toma en consideración está ligada a la conjetura y aunque está empeñada en la fase de su construcción, también puede estar presente en la siguiente fase de su justificación.
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La definición de “Unidad Cognitiva” ha sido dada entre argumentación y demostración en tanto que procesos. Sin embargo ella ha sido frecuentemente analizada al comparar argumentación y demostración como productos (Boero, Garuti, 1998); en particular cuando el proceso de demostración falla en la resolución de un problema.
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