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resultante podría haberse expresado como 6/8. A partir de tal intervención, se suscitó un debate en el que los alumnos pusieron en juego los conocimientos que tenían disponibles –y que posiblemente fueron construidos a partir del trabajo con fracciones realizado en 4° año- sobre la equivalencia entre fracciones y sobre algunos aspectos que caracterizan a los números fraccionarios en relación con los números naturales:

(C1,m43.00-49.20)

15. Sofía O.: Yo pensé algo pero no lo escribimos. 16. Docente: ¿Qué pensaste?

17. Sofía O.: Había pensado lo mismo que Sofi (otra alumna del mismo nombre), se puede dividir en cuartos o se puede dividir en octavos.

18. Algunos alumnos: ¿Eh? 19. Docente: ¿Por qué?

20. Sofía O.: Porque cuartos… octavos es el doble de… 21. Joaquín B.: …es el doble de cuartos.

22. Sofía O.: 4 es el doble de… no, 8 es el doble de 4, entonces si son octavos lo vas a dividir más pero siempre te va a dar la misma cantidad, no sé cómo explicarlo.

23. Docente: Sofía está diciendo esto, escuchen, que 8 es el doble de 4 y que si ella lo divide en 8, ¿qué pasa?, ¿podés llegar a darle la misma cantidad que ¾ si es en octavos?

24. Sofía O.: Le vas a dar lo mismo, nada más que lo vas a dividir más.

25. Docente: ¿Están de acuerdo con esto que está diciendo Sofía, que yo lo podría haber expresado con octavos?

(Nadie responde)

26. Docente: ¿Es similar a lo que hizo qué grupo?

27. Algunos alumnos: el 7 (se refieren al grupo que partió dos de los chocolates en octavos). 28. Docente: Todos hallaron la misma respuesta…

29. Sofía O.: Le va a dar 6/8 si… 8 es el doble de 4, tenés que hacer el doble de 3 para que sea la misma cantidad.

30. Docente: ¿Siempre me va a dar que yo piense así de esa manera? 31. Sofía O.: Sí

32. Docente: ¿O solamente se va a dar con cuartos y octavos? 33. Sofía: No, también es con tercios y sextos.

34. Docente: ¿Por qué?

35. Joaquín B.: ¡Pueden ser dieciséistavos! 36. Docente. ¿Dieciséis cuánto?

37. Joaquín B.: Estavos, no sé cómo se dice. (Risas)

38. Docente: A ver, escuchen lo que está diciendo Sofía. Sofía después de toda esta discusión se está dando cuenta de que en vez de poner ¾ podrían haber puesto 6/8. Está diciendo que si en vez de trabajar con cuartos ella (la alumna del grupo 7) hubiera trabajado con octavos era lo mismo. Yo le pregunté si siempre pasa eso y ella me dijo que sí. ¿En qué casos pasa también?

39. Sofía O.: En 3 con los sextos… 40. Joaquín B.: En tercios.

41. Sofía O.: (se corrige) En tercios con sextos. 42. Docente: ¿Y por qué será que pasa eso? ¿Marcos? 43. Marcos: Porque octavos es la mitad de cuartos. 44. Algunos alumnos: ¡Al revés!

45. Docente: A ver, escuchen esto que dice Marcos.

46. Fabricio: Un octavo es menos que un cuarto (enfatiza la palabra menos, como oponiéndose a lo dicho por Marcos).

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48. Joaquín B.: Que es un múltiplo. 49. Algunos: ¡No!

50. Docente: Marcos, ¿podés repetir lo que vos dijiste?

51. Marcos: Que el octavo es la mitad del cuarto y que sería como el múltiplo, que 14 es la mitad del 7. 52. Varios: ¿Cómo? No, 7 es la mitad de 14. 14 es el doble de 7.

53. Docente: Fabri, vos le dijiste una acotación a Marcos como si él estuviese diciendo algo diferente. Vos estás diciendo que 1/8 es la mitad de ¼, ¿no? Y él está diciendo que 8 es múltiplo de 4. Y que pasa lo mismo, podés hacer la misma fracción con 7 y 14. ¿Por qué pensás eso, Marcos?, ¿de qué te sirve eso de los múltiplos?

54. Marcos: Porque me ayuda a pensar que es la mitad de ese número.

55. Docente: Vos estás diciendo que el 8 es múltiplo de 4 y un octavo es la mitad de un cuarto. ¿Estamos todos de acuerdo en que yo podría haber expresado de otra forma eso (el ¾)?

(Nadie responde)

56. Investigadora (Inv.): Si 8 es el doble de 4, ¿1/8 es el doble o la mitad de ¼? 57. Fabricio: En fracciones es la mitad pero en números es el doble.

(Murmullo, varios quieren participar)

58. Lucas: Porque cuando lo cortás, suponete un chocolate, 1/8 es más chiquito porque vos estás separando un chocolate en más partes y ¼ es más grande porque lo estás cortando en 4 partes. Lo estás cortando en más…

59. Inv.: ¿Están de acuerdo con lo que dice él (Lucas)?

60. Valentino: Yo lo explicaría así, por ejemplo, un entero es más grande que ¼ porque es como al revés, el número es más grande y es más pequeño el tamaño, cuanto más lo cortás, más chiquito es…es al revés que los números normales, cuanto más número, es más chiquito lo que vas a tener que cortar… cuanto más grande el número más chiquito vas a tener que ir haciendo la fracción.

En este fragmento de la clase se observa que los alumnos ya disponían de algunos conocimientos en torno a las fracciones equivalentes:

- las fracciones equivalentes pueden expresar la misma cantidad aunque el entero “se divida más veces” (intervenciones 22 y 24),

- un número mayor en el denominador supone que se divide en más partes al entero y, a la vez, resulta menor el tamaño de esas partes (intervenciones 46, 51, 54, 58 y 60) - para obtener fracciones equivalentes es posible calcular el doble del denominador y

del numerador (intervenciones 29 y 33).

Sin embargo, es claro que aún no todos consideraban la necesidad de realizar el mismo cálculo multiplicativo, en simultáneo, con numerador y denominador, ni tampoco la posibilidad de realizar esta operación no solo con los dobles sino con cualquier número entero. Además se pone en evidencia que ya habían comenzado a construir algunos conocimientos vinculados a las características de las expresiones fraccionarias contrapuestas con las aprendidas con anterioridad respecto de los números naturales: a diferencia de los números naturales, en las fracciones con numerador 1, cuanto mayor es el denominador, menor es la cantidad que expresa el número. En palabras de Valentino (intervención 60): “es al revés que los números ‘normales’, cuanto más número, es más chiquito lo que vas a tener que cortar”.

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4.1.1.1. b. Escritura colectiva

Posteriormente la docente propuso una situación de escritura colectiva en un cartel colgado en el pizarrón con el propósito de sistematizar de qué maneras se puede expresar ¾ teniendo en cuenta las ideas que habían circulado en el intercambio transcripto en el registro anterior. Escribió el título en el cartel A1: “¿De qué modos diferentes se puede expresar la cantidad que le tocó a cada uno?” y, para organizar la situación de escritura, la docente pidió que primero le dicten de qué maneras se podía expresar esa cantidad y que luego expliquen por qué esa expresión era equivalente a ¾.

Los niños propusieron representaciones de ¾, varias de ellas no habían surgido en la puesta en común sobre la resolución del problema: 6/8; 12/16; ½ + ¼; ¼ + ¼ + ¼; 12/4 :3; 24/32; 4/8 + ¼ y 1 - ¼. Si bien al planificar la situación se había anticipado que iban a proponer representaciones ligadas a los procedimientos utilizados para resolver el problema, los alumnos fueron dictando expresiones del número a partir de la búsqueda de fracciones equivalentes con números cada vez más altos en el numerador y en el denominador, expresiones con cálculos aditivos y con otro cálculo novedoso para ellos, como 12/4 :3, que la docente incluyó aunque fuera una solución errónea. Las justificaciones se apoyaron en relaciones matemáticas entre los números, de manera descontextualizada del reparto de los 3 chocolates entre los 4 niños. La situación de escritura se transformó así en un problema diferente al que le dio origen.

Al dictar ½ + ¼, una alumna se mostró dubitativa porque no era un solo número fraccionario sino una descomposición aditiva de ¾. La docente aclaró que no se habían puesto restricciones respecto de la posibilidad de usar signos para expresar la cantidad en cuestión. Esta aclaración habilitó a que otros niños propusieran ¼ + ¼ + ¼ y 1 - ¼, expresiones aditivas que tampoco habían circulado en la puesta en común.

La escritura de las argumentaciones para justificar por qué las representaciones propuestas eran equivalentes a ¾ generó un extenso intercambio que propició cierto avance en el establecimiento de relaciones que no habían surgido antes en la clase o que habían sido mencionadas sin llegar a profundizarse o sin ser comprendidas por la mayoría de los alumnos.

(C1,m56.53-59.37)

1. Docente: Sofi, ¿por qué 6/8 es lo mismo que ¾? 2. Sofía O.: Un entero en octavos es 8 octavos.

3. Docente: ¿Cómo pongo?, ¿lo pongo en fracción o en palabras, cómo querés? 4. Sofía O.: (dicta) Un entero es 8.

5. Docente: (escribe) “Un entero en 8 (octavos)”. 6. Sofía O.: Y un entero también es 4 cuartos.

7. Docente O.: (escribe) “Un entero en 4 es 4 cuartos”. 8. Yael: Sofía, me perdí, ¿qué tiene que ver?

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(Algunos alumnos leen lo que escribe la docente y no entienden) 9. Fabricio: Porque también 6/8 no completa el entero…

10. Docente: (lee) Un entero en 8, un entero en 4… (dice) Está perfecto, yo estoy copiando lo que vos estás diciendo, dale.

11. Sofía O.: Porque 8 es el doble de 4… porque un entero se va a dividir más… 8, se divide en 8 octavos, se va a dividir más, va a dar la misma cantidad pero se va a dividir más.

12. Docente: ¿Cómo lo pongo?

(Sofía y varios alumnos se ríen por la insistencia de la docente en preguntar cómo lo escribe) 13. Fabricio: Y claro, que 6 es el doble de 3 y 8 es el doble de 4.

14. Alumno: Yo la haría más fácil.

(Sofía O. sigue intentando expresar sus ideas en lenguaje escrito para poder dictar) 15. Docente: A ver, Fabri, cómo podemos poner.

16. Fabricio: (dicta) Porque 6 es el doble de 3, (dice) y sería más veces que lo dividís… igual que 8 es el doble de 4.

17. Docente: (escribe) “Porque como se divide más”, (lo va leyendo en forma de pregunta mientras escribe para que los niños continúen dictando) ¿Porque como se divide más…?

18. Sofía O.: (dicta) Tenés que poner el doble… para que te dé la misma cantidad. 19. Fabricio: (dicta) Si se divide en más partes tenés que poner el doble.

20. Docente: (escribe) “Tenés que poner el doble para que sea la misma cantidad”. (dice) ¿Así?

21. Inv.: Chicos (a toda la clase), fíjense si a alguno de los que propusieron esas escrituras le sirve la explicación que está inventando este grupo.

22. Docente: ¿Ahí? (lee) Porque como se divide más tenés que poner el doble.

(Queda escrito al lado de 6/8: “Un entero en 8 (octavos) // Un entero en 4 es 4 cuartos // Porque como se divide más tenés que poner el doble para que sea la misma cantidad”)

Al analizar la continuidad de las ideas discutidas en la situación de escritura colectiva acerca de las diferentes formas de expresar el resultado con respecto a las que circularon en la puesta en común sobre la resolución del problema, se observa que en la primera instancia los niños lograron enunciar la relación de equivalencia entre ¾ y 6/8 justificando que el numerador 6 y el denominador 8 se obtenían calculando el doble de 3 y 4 respectivamente (C1,m43.00-49.20, intervención 29). Sin embargo, en el momento de la escritura colectiva, ante la exigencia de expresar esas ideas en lenguaje escrito para ser dictado a la docente, la relación entre estas fracciones equivalentes no parece fácil de explicar. Llevó varios minutos de discusión acordar cómo pondrían esas ideas en el afiche y se hizo necesario volver a dar razones para justificar que “va a dar la misma cantidad pero se va a dividir más” (intervención 11) o que “6 es el doble de 3… igual que 8 es el doble de 4” (intervención 16).

A través de la pregunta “¿Cómo lo pongo?” (intervenciones 3, 12 y 15), la docente propicia que los niños distingan entre la forma de expresarse en la oralidad y la forma de “decir en lenguaje escrito” para dictar (Teberosky y Fabbretti, 1993; Lerner y otros, 1996). Esta exigencia que se sostiene a lo largo de toda la secuencia genera condiciones para que los alumnos sean más rigurosos en sus definiciones y progresen en la conceptualización de las fracciones. No obstante, en ciertos casos pareciera que el grado de precisión que requiere la escritura incide en que los niños se centren en el proceso redaccional y no incluyan todo lo que saben en el texto que producen. Tal es el caso del intercambio precedente en el que algunos

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