Como ya se ha explicado, en el cálculo de la calibración se obtendrán los datos internos, parámetros físicos y geométricos que definen la geometría de la cámara y, por ende, la forma del haz perspectivo, y los datos externos de la toma realizada, es decir, las coordenadas del centro de proyección y los giros con respecto a los ejes del sistema de referencia objeto.
En este trabajo se ha utilizado genéricamente como método de cálculo las ecuaciones de colinealidad, completadas con una serie de parámetros adicionales destinados a definir la distorsión. A continuación se describen los detalles.
Punto de partida. Ecuaciones de colinealidad
Se quiere obtener los datos internos y externos de la cámara en la toma fotográfica realizada, para lo que se van a utilizar las condiciones de colinealidad, en su versión de intersección inversa, es decir, en la forma que toma para la resección espacial. Se retoman pues, las ecuaciones (2.40) y (2.41):
𝐹 ≡ 𝑥𝑎 = 𝑥0− 𝑓𝑚𝑚11(𝑋𝐴− 𝑋𝑂) +𝑚12(𝑌𝐴− 𝑌𝑂) +𝑚13(𝑍𝐴− 𝑍𝑂) 31(𝑋𝐴 − 𝑋𝑂) +𝑚32(𝑌𝐴− 𝑌𝑂) +𝑚33(𝑍𝐴− 𝑍𝑂) =𝑥0− 𝑓 𝑟 𝑞 𝐺 ≡ 𝑦𝑎 = 𝑦0− 𝑓𝑚𝑚21(𝑋𝐴− 𝑋𝑂) +𝑚22(𝑌𝐴− 𝑌𝑂) +𝑚23(𝑍𝐴− 𝑍𝑂) 31(𝑋𝐴− 𝑋𝑂) +𝑚32(𝑌𝐴− 𝑌𝑂) +𝑚33(𝑍𝐴− 𝑍𝑂) =𝑦0− 𝑓 𝑠 𝑞 (4.7)
En ella, los datos de entrada son las coordenadas de los puntos en el sistema de
referencia imagen, (xa, ya) y sus correspondientes coordenadas en el sistema de
referencia objeto (XA, YA, ZA). Estos dos conjuntos de datos son los conseguidos en las
Las incógnitas, entonces, son las coordenadas en el sistema de referencia objeto, del centro de proyección (X0, Y0, Z0) y los giros (ω, φ, κ) alrededor de los ejes, implícitos
en la matriz de rotación M, representada por sus coeficientes mij, todos ellos como
parámetros externos. Como datos internos aparecen la focal, f, y las coordenadas en el
sistema de referencia imagen, del punto principal (x0, y0).
Obtención de datos aproximados iniciales. Transformación Lineal Directa.
Como se apuntaba en el Capítulo 3, el cálculo será iterativo mediante un ajuste mínimo cuadrático (Anexo B), por lo que hay que dar unos valores iniciales aproximados a esas incógnitas. Habría que buscar un método poco costoso, computacionalmente hablando, para su búsqueda. En principio, los datos internos aproximados podrían ser perfectamente (0, 0) para la posición del punto principal y el valor nominal para la focal. En cuanto a los datos externos, esto es algo más complicado. En el caso de la Fotogrametría aérea, los giros son cercanos a cero y por esta razón además, la posición del centro de proyección en planimetría, es sencilla de obtener a partir de los puntos en el terreno. Altimétricamente se obtendría a partir de la focal y la altura de vuelo.
En objeto cercano, esta aproximación no es tan evidente, por lo que se ha de utilizar algún algoritmo de resección de tipo lineal, para lo que se cuenta con la Transformación Lineal Directa (DLT) (Anexo A). Su aplicación es sencilla y los resultados son bastante aceptables, obteniendo además los datos internos.
Se llevó a cabo este cálculo inicial para todos los ensayos, obteniendo el valor de los once parámetros y recuperando a partir de ellos los datos internos y externos de la cámara. Aunque no es determinante en este paso, las desviaciones típicas obtenidas en este cálculo estuvieron en torno a la décima de milímetro, con valores mínimos de 0.06 mm y máximos de 0.2 mm.
Parámetros adicionales. Función de distorsión
A las ecuaciones de colinealidad se les añadieron los parámetros dirigidos a la corrección de la función de distorsión. Se probaron tres funciones diferentes para todos los ensayos realizados, cuyos resultados se presentan y analizan en el Capítulo 5:
• Función de distorsión clásica. Utilizando la propuesta por D.C. Brown, se incluyeron tres coeficientes de distorsión radial y dos de distorsión por descentrado. La formulación usada es la de las ecuaciones (2.52).
4. Metodología
• Función de distorsión por polinomios de Legendre. Basada en los polinomios de Legendre (Anexo C.1), se trata de una serie de polinomios ortogonales, continuos en todo el dominio de definición ya que el número de puntos es bastante denso (Tang, Fritsch, & Cramer, 2012). Si se denota los polinomios de Legendre como {Lm (x)}m=0,1,... se definen de la siguiente forma:
|𝐿𝑚(𝑥)|≤1 , −1≤ 𝑥 ≤1 � 𝐿𝑚(𝑥)𝐿𝑛(𝑥)𝑑𝑥 =�0, 1, 𝑚 ≠ 𝑛𝑚 =𝑛
1 −1
(4.8)
Gracias a su forma recursiva, se pueden calcular a partir de los primeros polinomios, como se puede ver en el Anexo C.1. Al tratarse de un caso bidimensional (el plano imagen, donde los puntos son proyectados, lo es) hay que generalizar el caso univariado de la siguiente forma:
�𝑝𝑚,𝑛(𝑥,𝑦) =𝑝𝑚(𝑥)𝑝𝑛(𝑦)�𝑚=0,1,… 𝑛=0,1,… (4.9) Llevando esta formulación al caso de la función de distorsión, se puede decir que, si el formato de la imagen es 2bx × 2by , los polinomios escalados son:
𝑙𝑚(𝑥,𝑏𝑥 ) =𝐿𝑚(𝑥/𝑏𝑥) 𝑙𝑛�𝑦,𝑏𝑦�= 𝐿𝑛�𝑦/𝑏𝑦�
(4.10)
Por tanto, y según la ecuación (4.9), se llega a la forma de los polinomios
bivariados sobre el formato de la imagen, a los que se multiplica por 10-6 por
estabilidad numérica:
𝑓𝑚,𝑛 ≙ 𝑓𝑚,𝑛�𝑥,𝑦 ;𝑏𝑥,𝑏𝑦�=𝑙𝑚(𝑥,𝑏𝑥 ) 𝑙𝑛�𝑦,𝑏𝑦� 𝑝𝑚,𝑛 = 10−6𝑓𝑚,𝑛 ; �𝑝𝑚,𝑛� ≤ 10−6
(4.11)
La distorsión ∆x(x,y) y ∆y(x,y) a añadir a las ecuaciones de colinealidad se aproximarían a series de polinomios ortogonales continuos, �𝑝𝑚,𝑛�𝑚=0𝑚=𝑀 ,𝑥𝑛=0 ,𝑛=𝑁𝑥 (análogamente para y), siendo los Mx, Nx (y los My, Ny) los grados máximos
seleccionados. Se eliminan seis de ellas, p1,0, p0,1, p2,0 y p1,1, en ∆x(x,y), por estar
altamente correlacionadas con p0,1, p1,0, p1,1 y p0,2, en ∆y(x,y). Además, se eliminan
El número de parámetros es (Mx+1)×(Nx+1)+(My+1)×(Ny+1)-6. De esta forma, un
ejemplo de parámetros adicionales basados en polinomios de Legendre de grado 4, como el utilizado en los ensayos, tendría 44 parámetros ai:
∆𝑥 =𝑎1𝑝1,0+𝑎2𝑝0,1+𝑎3𝑝2,0+𝑎4𝑝1,1+𝑎5𝑝0,2+𝑎6𝑝3,0 +𝑎7𝑝2,1+𝑎8𝑝1,2+𝑎9𝑝0.3+𝑎10𝑝4,0+𝑎11𝑝3,1+𝑎12𝑝2,2 +𝑎13𝑝1,3+𝑎14𝑝0,4+𝑎15𝑝4,1+𝑎16𝑝3,2+𝑎17𝑝2,3+𝑎18𝑝1,4 +𝑎19𝑝4,2+𝑎20𝑝3,3+𝑎21𝑝2,4+𝑎22𝑝4,3+𝑎23𝑝3,4+𝑎24𝑝4,4 ∆𝑦= 𝑎2𝑝1,0− 𝑎1𝑝0,1+𝑎25𝑝2,0− 𝑎3𝑝1,1− 𝑎4𝑝0,2+𝑎26𝑝3,0 +𝑎27𝑝2,1+𝑎28𝑝1,2 +𝑎29𝑝0.3+𝑎30𝑝4,0+𝑎31𝑝3,1+𝑎32𝑝2,2 +𝑎33𝑝1,3+𝑎34𝑝0,4 +𝑎35𝑝4,1+𝑎36𝑝3,2+𝑎37𝑝2,3+𝑎38𝑝1,4 +𝑎39𝑝4,2+𝑎40𝑝3,3+𝑎41𝑝2,4+𝑎42𝑝4,3+𝑎43𝑝3,4+𝑎44𝑝4,4 (4.12)
• Corrección de la distorsión por interpolación bicúbica. Para este tipo de corrección, la introducción de parámetros adicionales para la función de distorsión se hace prácticamente imposible, pues, según la teoría de las curvas de tipo spline y, por tanto, de las superficies basadas en ellas, prácticamente serían tantos como número de puntos utilizados, algo inviable para esta aplicación.
Una posible solución es que si se calculan las ecuaciones de colinealidad sin ningún parámetro adicional para la distorsión, todo el residuo producido en cada punto imagen contendrá, además de los errores sistemáticos (los de distorsión), los errores accidentales (los de medida, producidos en este caso por una deficiente correlación automática en el sistema imagen o en el sistema objeto, por una imprecisa medida topográfica de los puntos o por las transformaciones e interpolaciones llevadas a cabo en los procesos anteriores).
La idea, pues, es ajustar la superficie “bicúbicamente”, tomando como
coordenadas planimétricas, las coordenadas imagen referidas al punto principal (calculado sin distorsión), y como coordenada altimétrica, z, el residuo en x de cada punto. Realizando esta misma tarea para el residuo en y, la corrección a aplicar procederá de realizar una interpolación bicúbica usando cada una de las
dos superficies ajustadas para sus correspondientes componentes, x e y,
4. Metodología
Resolución del sistema de ecuaciones
El sistema de ecuaciones de colinealidad ampliado con los parámetros adicionales, tendrá como parámetros incógnita fijos (nueve) los seis de la orientación externa, (X0, Y0,
Z0) y (ω, φ, κ) y los tres internos, (x0, y0, f). A estos se les añaden los propuestos por una u
otra función de distorsión. En cuanto al número de ecuaciones, cada punto aporta dos, una para la x y otra para la y. Teniendo en cuenta que hay ensayos de hasta 70000 puntos y configuraciones de distorsión que sobrepasan la centena de parámetros, el tamaño de las matrices es bastante grande y el coste computacional, importante. Las ecuaciones formadas tienen la siguiente forma:
𝐹(𝑥) =𝑥 − 𝑥0+𝑓𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑥) +𝑓 ∗ 𝑟/𝑞 𝐹(𝑦) =𝑦 − 𝑦0+𝑓𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑦) +𝑓 ∗ 𝑠/𝑞
(4.13)
Siguiendo el método de mínimos cuadrados por Newton-Raphson (Anexo B.2), en el que se evalúan las ecuaciones en función de los parámetros estimados, usando una aproximación numérica de derivadas parciales, se llega a la solución del sistema. Se puede observar en las ecuaciones (4.13) cómo lo que se obtiene de cada una de ellas son los residuos en cada componente.
El proceso es iterativo y finaliza cuando el valor absoluto de ninguno de los componentes del vector de correcciones de los parámetros supera la tolerancia establecida a priori.
Estudio de precisiones
Terminado el ajuste, se realiza para todos los ensayos un estudio de precisiones en el que, tomando los residuos de la última iteración válida, es decir, la penúltima del proceso, se halla la varianza a posteriori (Anexo B.1):
𝜎02 = 𝑉 ′∗ 𝑉
𝑛_𝑒𝑐𝑠 − 𝑛_𝑝𝑎𝑟𝑠 (4.14)
También se halla la matriz de varianza-covarianza:
Σ𝑥𝑥 = 𝜎02 𝑄𝑥𝑥 =𝜎02𝑁−1=𝜎02(𝐴𝑇𝑃𝐴)−1 (4.15)
Y por último, se extrae la diagonal principal de ésta, de cuya raíz cuadrada de sus elementos se obtiene la precisión de los parámetros. En el Anexo D se incluye un informe ejemplo de una calibración del programa FOCal realizado.