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Para encontrar la expresión decimal de un número decimal se busca una fracción equivalente a la dada cuyo denominador sea una potencia de 10 y se descompone en parte entera, décimas, centésimas, etc.

Ejemplo. Si queremos expresar en notación decimal el número decimal 17/8, primero examinamos su denominador 8 = 23 y vemos que es necesario multiplicarlo por 53 para obtener una potencia de 10. A partir de ahí se hace lo siguiente:

17 17 125 2125 2000 100 20 5 1 2 5 2 2'125 8 8 125 1000 1000 1000 1000 1000 10 100 1000 x x = = = + + + = + + + = Primera técnica

Una primera técnica consiste en encontrar la fracción equivalente a la dada cuyo denominador sea una potencia de 10, escribir el numerador, contar en el numerador, empezando por la derecha, tantas cifras como ceros tiene el denominador y colocar la coma decimal.

Segunda técnica

Se basa en la relación entre fracción y división entera. Sabemos que en una fracción impropia la división del numerador por el denominador permite encontrar la parte entera de la fracción. Por tanto, dividiendo 17 entre 8 se obtiene como parte entera 2 y resto 1 lo que nos da el número mixto 1

8 2 .

Para calcular cuántas décimas hacemos lo siguiente:

1 10 1 10 1 2 1 2

(1 )

8=80 10 8= ⋅ =10 +8 =10 80+ y queda 17 2 1 2 1 2

8 = + = +8 10 80+ .

Para saber cuántas centésimas hay en 2/80 volvemos a utilizar el procedimiento anterior: 2 20 1 20 1 4 2 4 (2 ) 80=800 100 8= =100 +8 =100 800+ y resulta 17 2 1 2 2 1 2 4 . 8 = +10 80+ = +10 100 800+ +

Volviendo a hacer lo mismo con la fracción 4

800 se obtiene:

4 40 1 40 1 5

5

800=8000 1000 8= ⋅ =1000⋅ =1000

con lo que ya tenemos expresada la fracción inicial en forma decimal:

17 1 2 4 1 2 5

2 2 2'125

8 = +10 100 800+ + = +10 100 1000+ + =

En el desarrollo anterior se produce una división entera entre el numerador y denominador de la fracción y sucesivamente se dividen los restos multiplicados por 10. Esto justifica una segunda técnica de obtención de la expresión decimal de un número decimal expresado como fracción consistente en efectuar la división entera entre numerador y denominador, colocar una coma en el cociente una vez que la división entera ha terminado, añadir un cero al resto y proseguir la división siguiendo este procedimiento hasta obtener resto 0. El cociente obtenido es la notación decimal correspondiente al número decimal.

17 10 20 40 0 8 2’125

La técnica pone de manifiesto una interpretación del número decimal como cociente exacto de dos números enteros: el numerador y el denominador de una fracción. A la técnica de dividir consistente en añadir ceros a los restos para seguir dividiendo se le llama ‘división decimal’.

3.2. Expresión decimal de números racionales no decimales. Expresiones decimales periódicas

Si aplicamos la técnica anterior a números racionales no decimales obtendremos sucesivamente la parte entera, décimas, centésimas, milésimas, etc., correspondientes a la fracción usada como representante.

Con los números racionales no decimales nunca se obtiene resto cero, por lo que la división podría proseguir indefinidamente. Pero como los restos tienen que ser menores que el divisor, sólo existen un número finito de restos diferentes.

Por tanto, en algún momento habrá de repetirse un resto. A partir de ahí, una parte de la división se repetirá. Esto produce un cociente en el que la parte situada a la derecha de la coma se compone de infinitas cifras algunas de las cuales se repiten indefinidamente.

Ejemplo, si dividimos el numerador por el denominador en la fracción 2/11 se obtiene: 20 90 20 90 2 11 0’1818 131

si seguimos dividiendo, las cifras 18 se repetirán indefinidamente dando lugar a un cociente con infinitas cifras, 0’18181818181818 ...

Al conjunto de cifras que se repiten se le llama ‘periodo’ y al cociente de la división ‘expresión periódica’. Dada la imposibilidad de escribir infinitas cifras, las expresiones decimales periódicas se notan escribiendo la parte no periódica y a continuación el periodo con un pequeño arco encima, en el ejemplo anterior 0'18o.

En una expresión decimal periódica, que corresponde a un racional no decimal, y al igual que en los números decimales, la parte situada a la izquierda de la coma se llama ‘parte entera’ y la parte situada a la derecha ‘parte decimal’.

La representación en un sistema posicional decimal de los números racionales no decimales es siempre periódica. Aunque estos números no son números decimales, podemos obtener números decimales que se aproximen a ellos tanto como queramos.

Ejemplo: el número decimal 0’181 se diferencia del número no decimal 0'18o en menos de una milésima. Si esta aproximación no es suficiente, podemos elegir, por ejemplo, el número decimal 0’181818 que se diferencia de 0'18o en menos de una millonésima, etc.

Es decir, la representación decimal de un racional no decimal es periódica, pero podemos encontrar un número decimal que represente dicho racional con una cota de error tan pequeña como queramos. Es esta última propiedad la que permite sustituir los cálculos con racionales por cálculos aproximados con números decimales.

3.3. Expresiones decimales periódicas puras y mixtas. Fracción generatriz de los racionales representados por estas expresiones

Cuando la parte decimal de una expresión decimal periódica consiste únicamente en la repetición indefinida del periodo, la expresión decimal se llama ‘periódica pura’. Si además existe una parte no periódica se dice que la expresión decimal es ‘periódica mixta’.

Ejemplo: 0’181818... es una expresión decimal periódica pura. 0’43181818... es una expresión decimal periódica mixta.

Llamamos fracción generatriz de una expresión decimal la fracción que la genera, es decir, aquella fracción tal que dividido el numerador por el denominador, da lugar a la expresión dada.

• Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal finita (que representa

por tanto un número decimal), bastará tomar una fracción cuyo numerador es la expresión decimal del número sin la coma y cuyo denominador es la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal.

Ejemplo: la fracción generatriz del número decimal 23’76 es 2376 100

• Para hallar la fracción generatriz de un número cuya expresión decimal es periódica

se multiplica el número por potencias de diez elegidas de tal forma que al restar dos de esas expresiones la parte decimal desaparezca. De ahí se obtiene el valor del número como cociente de enteros.

Ejemplo 1. Supongamos que queremos encontrar la fracción generatriz de 23'102 . p Sea x = 23 p. Multiplicando x por 1000 obtendremos otro número con la misma parte decimal que x,

'102

p

1000x=23102'102. Restamos las dos expresiones, se obtiene: 1000x –x= 23102'102 23'102p− p

999x = 23079, de donde se deduce que 23079 7693 999 333 x= = y, por consiguiente, p 7693 23'102 333 = .

Ejemplo 2: Si queremos hallar la fracción generatriz del número cuya expresión es periódica mixta 2'675. Sea x el número. Multiplicando x por 1000 y por 100 para obtener dos números con la misma parte decimal, obtenemos 1000x = 2'675;

100x=267'5. Restando se obtiene 900x = 2408, es decir, 2408 602 900 225 x= = , con lo cual 602 225 2'675= . Observaciones:

1. Los números decimales, como por ejemplo 3/4, que tienen una expresión decimal finita 0’75, se pueden representar también con expresiones decimales periódicas: basta escribir una serie ilimitada de ceros después del 5, 0’7500000 ... También podemos comprobar que se pueden representar como 074999...

2. Incluso los números naturales se pueden expresar con una notación decimal con infinitas cifras decimales; por ejemplo, 1=0’9999...

3. En la práctica, no obstante, los números decimales se expresan de la forma más simple posible, es decir con un número finito de cifras decimales.

4. En cambio todo número racional que no sea decimal, requiere un número ilimitado de cifras en su expresión decimal, que se repetirán en períodos (puros o mixtos).

Todo número racional tiene una representación decimal finita o periódica; todos los números cuya expresión decimal es finita o periódica son números racionales.

5. Más adelante veremos que también se usan “expresiones decimales no periódicas” para los números irracionales (por ejemplo, π = 3'14159 ...)

6. Una desventaja teórica de la expresión decimal es que no es única para los números decimales. Por ejemplo: 2’6 = 2’5999... Los cálculos con números decimales se operan de manera ventajosa si se usa las expresiones decimales finitas.

7. La expresión decimal de los racionales no decimales sí es única, pero las notaciones periódicas para los racionales no decimales son incómodas para operar con ellas o incluso imposibles de realizar.

Ejercicios:

1. Decir si los siguientes racionales son decimales. Para los casos en que sean decimales expresarlos en escritura decimal. Cuando no lo sean dar una aproximación decimal indicando el periodo correspondiente:

28/625; 38/64; 321/600; 36/675; 3/6250; 118/925; 52794/875 2. a) Encontrar una escritura decimal para los siguientes números racionales.

1/13, 1/19, 1/23 1/29, 1/31, 1/37, 1/41 b) ¿Cuál es el período en cada caso?

c) ¿Qué tienen en común los denominadores?

3. Escribir en notación decimal en base 12 el racional (10 (10

4712 144 .

4. Representar mediante una fracción irreducible los racionales decimales siguientes: 1’04; 2’581; 0’0372; 10-5_{; 0’0005}

5. Representar mediante una fracción irreducible los racionales no decimales siguientes: 0’333...; 0’00666...; 0’123123...; 123’458888...; 0’346666...