User Adoption Models and Frameworks

Las operaciones aritméticas de suma y resta se construyen inicialmente como un medio de evitar los recuentos o procesos de medida en situaciones parcialmente cuantificadas. Si, por ejemplo, hemos contado 20 objetos por un lado y 35 por otro y nos preguntan que cuántos hay en total, podemos decir que hay 55 objetos en total, sin necesidad de efectuar ningún nuevo recuento, gracias a que "sabemos sumar"; y si nos preguntan qué diferencia hay entre las dos primeras colecciones de objetos, podemos decir que se diferencian en 15 objetos, sin necesidad de nuevos recuentos, gracias a que "sabemos restar" .

Las situaciones que dan sentido a la suma y a la resta de números naturales (situaciones aditivas de una sola operación) se clasifican atendiendo al papel que juegan los números que intervienen en ella, que es variable y puede ser:

• estado cuando los números del problema son el cardinal de un conjunto, el ordinal de un

elemento o la medida de una cantidad de magnitud;

• transformación cuando un número expresa la variación que ha sufrido un estado;

• comparación cuando el número indica la diferencia que existe entre dos estados que se

comparan entre sí.

Dependiendo de cuáles de estos papeles juegan los tres números que intervienen una situaciones aditivas de una sola operación, esto es, que se resuelven con una suma o una resta, obtenemos los siguientes tipos de situaciones:

Tipo 1: Estado -Estado -Estado (EEE)

En esta situación, tenemos una cantidad et que se refiere a un todo y dos cantidades ep1 y

ep2 o partes en que descompone ese todo, es decir, tenemos la partición de un todo en dos

partes. Se trata de una situación parte-todo1 en la que todos los números son estados. Se representa mediante el diagrama:

1 p e e_t 2 p e Ejemplos:

• Juan tiene 4 caramelos en la mano izquierda y 7 en la derecha. ¿Cuántos tiene en total? • Juan tiene 11 caramelos. Cinco de ellos son de limón, los otros de fresa. ¿Cuántos tiene de

fresa ?

Tipo 2: Estado -Transformación -Estado (ETE)

En esta situación tenemos una cantidad ei que se refiere al estado inicial de un objeto o

colección de objetos y una cantidad ef que indica el estado final del objeto o de la colección.

La cantidad t cuantifica la transformación sufrida por el objeto. La situación se representa mediante el diagrama:

i

e t e_f

Ejemplos:

• Laura está la quinta en una cola para coger entradas para el circo. Deja que tres amigos

pasen delante de ella. ¿Qué lugar ocupa ahora ?

• Juan tiene 7 caramelos. Regala 3 a su hermana. ¿Cuántos le quedan?

Tipo 3: Estado -Comparación -Estado (ECE)

Es una situación en la que se comparan dos estados e1 y e2. La cantidad c cuantifica la

relación entre dichas cantidades. La situación se representa mediante el diagrama

1

e c e₂

Ejemplos:

• Juan tiene 8 caramelos. Tiene 5 más que Pedro. ¿Cuántos tiene Pedro? • Juan tiene 8 caramelos. Pedro tiene dos más. ¿Cuántos tiene Pedro?

1_{Situaciones parte-todo. Son aquellas en las que se tiene un todo o total descompuesto en dos partes. Se} conocen dos de las cantidades y se quiere averiguar la tercera.

Tipo 4: Transformación -Transformación -Transformación (TTT )

Es una situación parte-todo en la que el objeto sufre una primera y después una segunda transformación. Las cantidades tp1 y tp2 se refieren a estas transformaciones y la cantidad tt

indica la transformación total. La situación se representa mediante el diagrama: tp2

tp1

tt

Ejemplos:

• Pedro gana 5 canicas por la mañana. Pierde 9 por la tarde. ¿Cuántas ha ganado o perdido

en total?

• A María le dan 200 ptas. por la mañana. Le vuelven a dar 500 ptas. más por la tarde.

¿Cuánto dinero le han dado en total ?

Tipo 5: Comparación -Transformación -Comparación (CTC)

Situación en la que se establece una comparación inicial ci entre dos cantidades,

posteriormente una de las cantidades sufre una transformación t y, por último, cf representa la

comparación entre las cantidades finales. La situación se representa mediante el diagrama: t

cf

ci

Ejemplos:

• Pedro tiene 6 caramelos más que Juan. A Juan le dan algunos más y ahora tiene un

caramelo más que Pedro. ¿Cuántos caramelos le han dado a Juan?

• Pedro tiene 5 caramelos menos que Juan. A Juan le dan dos. ¿Quién tiene ahora menos

caramelos? ¿ Cuántos menos?

Tipo 6: Comparación -Comparación -Comparación (CCC)

Situación parte-todo en la que cp1 expresa la comparación entre una primera y una

segunda cantidad, cp2 indica la comparación entre la segunda y una tercera cantidad y ct

establece la comparación entre la primera y la tercera cantidad. La situación se representa mediante el diagrama

51

cp1 _cp2

Ejemplos:

• Pedro tiene 8 caramelos más que María. María tiene 3 más que Juan. ¿Quién tiene más,

Pedro o Juan? ¿Cuántos más?

• Pedro tiene 8 caramelos más que María. María tiene 5 menos que Juan. ¿Quién tiene más,

Pedro o Juan? ¿Cuántos más?

En los seis tipos de situaciones nos encontramos con dos datos (cantidades conocidas) y una incógnita (cantidad desconocida que hay que encontrar a partir de los datos). Ahora bien, un simple examen de los ejemplos propuestos nos hace ver que dentro de cada tipo existe un gran abanico de situaciones posibles con diferencias sustanciales. Esas diferencias se deben a los distintos valores que pueden tomar las variables de las que hablamos a continuación. Además, el que la incógnita se obtenga mediante una suma o una resta de los datos depende de la posición que ocupa dentro de la situación y del sentido de las transformaciones o comparaciones que intervienen.

Por ejemplo, en los problemas de tipo 2 (estado - transformación - estado) obtenemos seis subtipos de problemas al considerar como dato o incógnita cada una de las tres cantidades que intervienen y si la cantidad inicial crece o disminuye, como se indica en la tabla siguiente:

ei t ef Crece Decrece

Caso 1 Dato Dato Incógnita *

Caso 2 D D I * Caso 3 D I D *

Caso 4 D I D * Caso 5 I D D *

Caso 6 I D D *

Las variables que intervienen en las situaciones aditivas son las siguientes:

• Significado de los números: que pueden ser cardinales, ordinales o medidas.

• Papel de los números en la situación: pueden ser estados, transformaciones o

comparaciones.

• Posición de la incógnita: la incógnita puede ser el total o una de sus partes (en las

situaciones parte-todo) o bien, el término inicial, medio o final (en las demás situaciones).

• Sentido del término medio (situaciones II, III y V): puede indicar un aumento o una

disminución del término inicial (si se trata de una transformación) o bien, puede indicar que el término inicial es mayor igual o menor que el término final (si es una comparación).

Ejercicios

1. Resolver oralmente e indicar el tipo de cada uno de los siguientes problemas según la clasificación de acuerdo con la estructura lógica y semántica de los problemas aditivos.

a) Pedro tiene 37 bolas, juega una partida y pierde 18 bolas, ¿cuántas bolas tiene después de la partida?

b) Bernardo juega una partida de bolas y pierde 17 bolas; después de la partida tiene 21 bolas. ¿Cuántas bolas tenía antes de jugar la partida?

c) Claudio tiene 19 bolas y juega una partida. Después de la partida tiene 35 bolas. ¿Qué ha pasado en la partida jugada?

d) Pablo juega dos partidas; en la primera gana 37 bolas y en la segunda pierde 18. ¿Cuántas bolas tiene al final?

e) Bruno juega dos partidas de bolas, una después de otra. En la segunda pierde 17 bolas. Al final de las dos partidas ha ganado 21 bolas. ¿Qué ocurrió en la primera partida?

f) Carlos juega dos partidas de bolas. En la primera partida gana 19 bolas. Juega una segunda partida. Después de estas dos partidas,ganó en total 35 bolas. ¿Qué ha pasado en segunda partida?

2. FORMALIZACIÓN DE LA OPERACIÓN DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE