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5.3.

M´etodo de Newton

Tanto el m´etodo de bisecci´on como el de la secante pueden interpretarse geom´etricamente diciendo que aproximan la soluci´on de f (x) = 0 mediante la ra´ız de una recta pr´oxima a la gr´afica de la funci´on f . La l´ınea recta que mejor aproxima a la gr´afica de la funci´on en las proximidades de un punto es la recta tangente a la gr´afica de la funci´on en ese punto. Cuando se utiliza esta recta, en lugar de la recta secante, se obtiene un m´etodo iterativo, conocido como el m´etodo de Newton o de Newton-Raphson, que en el caso de converger lo hace m´as r´apidamente que los anteriores.

Un inconveniente de este m´etodo frente al de la secante es que hay que evaluar en cada iteraci´on el valor de la derivada; a´un cuando con los modernos paquetes de c´alculo simb´olico esto no supone un problema serio, para algunas funciones dadas en forma no elemental el c´alculo de la derivada puede llegar a suponer un esfuerzo considerable.

La convergencia del m´etodo de Newton no est´a garantizada, por lo que es importante partir de un valor inicial cercano a la ra´ız buscada, hecho que se puede lograr acotando la zona en la que est´a la ra´ız utilizando previamente otro m´etodo de convergencia m´as segura como el de la bisecci´on.

Si p es una ra´ız de f (x), la curva f = f (x) corta al eje de abscisas en el punto (p, 0). Si tomamos una aproximaci´on inicial p1 de la ra´ız p, el punto (p1, f (p1))

est´a situado en la curva cerca de (p, 0), como se puede observar en la figura5.22. Definimos p2 como la abscisa del punto de intersecci´on del eje de abscisas

con la recta tangente a la curva en el punto (p1, f (p1)). Como se puede observar

en la figura5.22, p2 est´a m´as cerca de la ra´ız p que p1.

Podemos relacionar p2y p1expresando la pendiente, m1, de la recta tangente

a la curva en el punto (p1, f (p1)) de dos formas.

Por un lado m1= f0(p1) y por otro m1=

f (p1)

p1− p2

.

Igualando, tendremos f0(p1) = f (p1) p1− p2 , f0(p1)(p1− p2) = f (p1), p1− p2 = f (p1) f0_(p 1) , −p2 = −p1+ f (p1) f0_(p 1) , y, en consecuencia, p2= p1− f (p1) f0_(p 1) .

Si consideramos ahora como valor de partida p2, el punto (p2, f (p2)) est´a si-

tuado en la curva cerca de (p, 0), como se puede observar en la figura5.23. Definimos p3 como la abscisa del punto de intersecci´on del eje de abscisas

con la recta tangente a la curva en el punto (p2, f (p2)). Como se puede observar

en la figura5.23, p3 est´a m´as cerca de la ra´ız p que p1 y p2.

Podemos realcionar p3y p2expresando la pendiente, m2, de la recta tangente

a la curva en el punto (p2, f (p2)) de dos formas.

Por un lado m2= f0(p2) y por otro m2=

f (p2)

p2− p3

.

Figura 5.23: Segunda aproximaci´on a la ra´ız p.

94 5.3. M ´ETODO DE NEWTON f0(p2) = f (p2) p2− p3 , f0(p2)(p2− p3) = f (p2), p2− p3 = f (p2) f0_(p 2) , −p3 = −p2+ f (p2) f0_(p 2) , y, en consecuencia, p3= p2− f (p2) f0_(p 2) .

Si repetimos el proceso, para n obtendremos la relaci´on de recurrencia

pi+1= pi−

f (pi)

f0_(p i)

, i = 1, 2, 3, · · · (5.6)

De esta manera obtenemos una sucesi´on de aproximaciones pi, i = 1, 2, 3, · · ·

que converge a la ra´ız p bajo ciertas condiciones.

Especificaci´on de la pr´actica

En esta secci´on se debe crear una construcci´on que visualice el m´etodo de Newton.

Entrada: Una funci´on f = f (x), un valor inicial p1 y el n´umero n de

iteraciones del m´etodo.

Salida: Construcci´on en Geogebra en la que se muestre la funci´on f y, desplazando el iterador n, se encuentre una ra´ız de f (visualizaremos el punto de corte de la gr´afica de f con el eje de abscisas).

Tanto el valor inicial, p1, como el n´umero de iteraciones debes crearlos de ma-

nera que se puedan modificar c´omodamente. Asimismo, debes trabajar con una precisi´on de 2 decimales y utilizar colores y estilos diferentes para los elementos de manera que el dise˜no sea lo m´as ilustrativo posible.

Nota: Los gr´aficos mostrados son indicativos: no necesariamente representan los resultados que se van a obtener para los datos de entrada propuestos.

Indicaciones

Guarda la siguiente construcci´on en el archivo PR05-03-1aNewton.ggb

PASO 1: Elementos de entrada.

La funci´on que vamos a utilizar es f (x) = x

3_{− 4}

20 . Para que m´as adelante se pueda modificar f´acilmente el valor inicial, p1, define un punto Xp1sobre el eje

de abscisas (Xp_1=Punto[EjeX]) y despl´azalo hasta la posici´on (5, 0); asigna, a continuaci´on, a la variable p1 la abscisa del punto Xp1.

Define un deslizador, n, que controle la iteraci´on (1 a 30, incremento 1).

PASO 2: Obtenci´on de la sucesi´on de valores pi, i = 1, 2, 3, · · · en la hoja

de c´alculo.

Vamos a utilizar la columna A de la hoja de c´alculo para obtener la sucesi´on de n´umeros reales pi, i = 1, 2, 3, · · · Para ello, almacena en la celda A1 el valor

inicial p1 (ten en cuenta que p1 puede variar) y asigna a la casilla An+1 el

valor pn+1, para n = 1, 2, · · · , 29 haciendo uso de la expresi´on (5.6); al final del

proceso deben estar llenas las casillas A1 hasta A30. Observar´as en las casillas de la columna A que la sucesi´on de valores pi, i = 1, 2, · · · 30 converge a la ra´ız

de f (p=1.59).

Podemos realizar las iteraciones de este m´etodo sin necesidad de utilizar la hoja de c´alculo, haciendo uso del comando Iteraci´on que permite realizar un bucle recursivo indicando la funci´on, el valor inicial y el n´umero de iteraciones. Con este comando, la funci´on parte del valor inicial y devuelve un valor de sa- lida que se vuelve a tomar como entrada, repitiendo el proceso las veces que se indique. Como hemos indicado, la ventaja de este comando es que no precisa- mos de la hoja de c´alculo, pero conlleva el inconveniente de que no podremos representar todos los pasos a la vez, sino uno tras otro.

PASO 3: Representaci´on gr´afica del m´etodo.

Crea, en primer lugar, una lista llamada Abscisas con los valores pi, i =

1, 2, · · · , 30 (recuerda que est´an almacenados en las casillas A1 hasta A30). Utilizando el comando Elemento[] sobre la lista Abscisas, define el punto sobre el eje de abscisas Pn= (pn, 0). Editando las propiedades de Pn haz que se

muestre el subt´ıtulo pncon estilo de punto ×. Utilizando el comando Elemento[]

sobre la lista Abscisas, define el punto sobre el eje de abscisas Pn+1= (pn+1, 0).

Editando las propiedades de Pn+1 haz que se muestre el subt´ıtulo pn+1 con

estilo de punto ×.

Contin´ua definiendo los objetos necesarios para visualizar el m´etodo, tal y como se muestra en las figuras 5.24, 5.25y 5.26, que se corresponden con las iteraciones n = 1, 2, 3.

Observar´as, que en el eje de abscisas se han dejado las marcas de los valores p1, pn, y pn+1.

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Figura 5.26: Representaci´on gr´afica del m´etodo de Newton, n = 3.

PASO 4: Convergencia.

Partiendo del archivo PR05-03-1aNewton.ggb, guarda la siguiente construc- ci´on en el archivo PR05-03-1bNewton.ggb

Copia la casilla A30 en el rango de celdas A31:A100 y actualiza todas las listas en las que hubieras utilizado el rango de celdas A1:A30 por el rango de celdas A1:A100; asimismo actualiza el deslizador n para que pueda tomar valores entre 1 y 100. Comprueba que para la funci´on utilizada, f (x) = x

3_{− 4}

20 , cualquier valor inicial p1 nos llevar´a a la ra´ız de f ; con excepci´on del valor

p1= 0.

En general no se puede asegurar que el m´etodo converja hasta encontrar una ra´ız, pero podemos precisar cu´ando es convergente utilizando el siguiente

teorema.

Teorema 5.2 (Teorema de Convergencia). Si f : [a, b] → R es continua en [a, b] de tal forma que f (a)f (b) < 0 y f0(x) y f00(x) son no-nulas y conservan el signo en [a, b] entonces para cualquier aproximaci´on inicial p1 que satisfaga

f (p1)f00(p1) > 0, el m´etodo de Newton puede calcular una ra´ız f (x) = 0 con

cualquier grado de exactitud.

PASO 5: Funciones con m´as de una ra´ız.

Partiendo del archivo PR05-03-1bNewton.ggb, guarda la siguiente construc- ci´on en el archivo PR05-03-1cNewton.ggb

Vamos ahora a probar el m´etodo con una funci´on que contiene varias ra´ıces. Cambia la funci´on f (x) por la siguiente

f (x) = x(sen x + 2) − 5

e intenta encontrar las 3 ra´ıces cambiando el valor inicial. Obviamente es sencillo si tomamos un valor de inicio cercano a la ra´ız buscada, pero prueba a encontrar las 3 ra´ıces para valores de p1 mayores que 6. Cuando los encuentres, anota los

valores de inicio y la ra´ız hallada con ellos.