Reasons for Delay of Three Months

Problemas en los cuales debe interpretarse la información que se nos proporciona a través de gráficas, nos permiten explorar horizontes diferentes en cuanto al manejo de la información y la capacidad de identificar los datos que serán útiles para la resolución de la situación.

En este caso presentamos una situación en la cual se utilizan las gráficas como el medio que proporciona información sobre la forma de trabajo de dos mezcladoras usadas para la construcción. En esta situación la noción de proporcionalidad, la pendiente y la graficación surgen como argumentos que ayuden a interpretar los datos, además de poner énfasis en que lo importante de situaciones como ésta no es sólo el dar las respuestas a las preguntas planteadas, sino en cómo el proceso de encontrar la solución permite construir conocimiento matemático.

Las mezcladoras

Don Anselmo es un albañil que trabaja para la constructora “CEMEX” en Mérida, Yucatán. El trabajo principal de Don Anselmo es la de distribuir la cantidad de material que sale de las mezcladoras para llenar las “carretillas” de los albañiles encargados de transportarlas al lugar donde se necesita. En estos días ha estado trabajando únicamente con dos mezcladoras.

Figura 1. Gráfica de mezcladora tipo Trompo

Entre las especificaciones dadas en el manual de cada una de las mezcladoras en cuanto al llenado de “carretillas” por minuto, se encuentran las siguientes gráficas:

Tiempo (minutos) -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x y Nú mero d e carr etil las Tiempo (minutos) Nú mero d e carr etil las -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x y

Observa las gráficas y responde las siguientes preguntas:

1. ¿Crees que la información proporcionada en las especificaciones de las mezcladoras le sea útil a don Anselmo?; ¿por qué?

2. ¿Con cuál de las mezcladoras se llenan las carretillas más lento?

3. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenarse 10 carretillas con la mezcladora tipo Trompo? 4. ¿Cuánto tardará en llenar 10 carretillas la mezcladora tipo Tolva?

5. A don Anselmo se le ocurrió llenar las carretillas con ambas mezcladoras simultáneamente, ¿cuánto tardará en llenar una carretilla de esta manera?

6. Utilizando la técnica de llenado simultáneo, ¿cuántas carretillas llenará en 15 minutos?

7. Dibuja la gráfica del llenado de las carretillas para las dos mezcladoras.

8. Supongamos que don Anselmo empieza a llenar una carretilla con la mezcladora tipo Trompo y después de 0.3 minutos continúa llenándola con la segunda. ¿Cómo sería la gráfica que representa a este fenómeno? Utiliza los ejes cartesianos de abajo. 9. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenarse 10 carretillas de esta manera?

Figura 3. Plano cartesiano

Tiempo (minutos) Nú mero d e carr etil las -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x y

Reflexiones sobre la actividad

El proponer esta situación proporciona un escenario perfecto para que, más que solo resolver las preguntas planteadas, se intercambien opiniones con respecto a los diferentes argumentos y estrategias que se requieren para ofrecer soluciones.

¿Observas secuencia en las preguntas?, ¿qué argumentos de solución utilizarías? ¿Consideras que las gráficas proporcionan la información suficiente para dar respuesta a los

cuestionamientos? ¿Y los datos?

El primer conflicto que surge al enfrentar la situación es el análisis y el ordenamiento de la información, pues en algunos casos se intenta buscar cuánto tiempo tarda en llenar una carretilla; en la gráfica que corresponde a la mezcladora tipo Trompo (Gráfica 1). Esto causa un conflicto en tanto que la gráfica no muestra explícitamente ese valor. Una de las estrategias de solución incluye el tanteo para calcular un tiempo aproximado de llenado de una carretilla. Es realmente importante el buscar una unidad con la cual poder ordenar el comportamiento de los datos, sin embargo en algunos de los casos la elección no es, necesariamente, la más adecuada.

Después de analizar la gráfica y compartir estrategias de solución, se observa que la gráfica sí proporciona información acerca de la unidad de tiempo, es decir, que en un minuto “se tiene 0.8 carretillass llenas”, lo cual equivale a decir que la carretilla está llena en 80%. Esto nos permite conocer el comportamiento del fenómeno con respecto a la unidad de tiempo. Es decir, la rapidez de llenado es de 0.8 

1  , lo que normalmente se expresa como 0.8

carretillas por minuto.

Con un análisis más cuidadoso se observa que la Gráfica 1 proporciona dos puntos para los cuales puede observase claramente la rapidez de llenado, cuando ha pasado un minuto y cuando han pasado 0.5 minutos, en donde el porcentaje de llenado es de 40% (“se tiene 0.4 carretas llenas”), y la rapidez de llenado es de 0.4 

0.5  0.8  / .

Lo mismo sucede con la Gráfica 2 la cual proporciona también información con respecto a la unidad de tiempo.

Una vez que se identifica esta información, los datos apoyan la generación de respuesta a las preguntas. Una de las estrategias más recurridas, es hacer uso de la regla de tres simple, con ella se pueden encontrar algunos de los resultados. Sin embargo, es importante intervenir para realizar argumentaciones más variadas y robustas.

Es importante resaltar que en el intento por obtener estos valores estamos obteniendo el valor de la pendiente de la recta, lo cual representa el comportamiento de llenado de las carretillas; a su vez justifica que cualquier punto de referencia que escojamos dentro las gráficas da como resultado el mismo cociente o razón.

Nótese además que las preguntas 1-4 pueden ser contestadas “sin ser conscientes” de este hecho. Sin embargo, lo sustancial no es darle nombre a una estrategia, más bien se trata de la construcción progresiva de la noción a través de su uso. En otras palabras, el conocimiento aparece generado por la necesidad de dar solución a las preguntas planteadas como parte de las estrategias que lleven a la solución del problema planteado.

¿Encontraron una forma diferente de determinar la rapidez de llenado? ¿Tiene algo que ver con la noción de pendiente? ¿Por qué?

Llenado simultáneo

Para las preguntas 5-7 se requiere analizar conjuntamente las gráficas, así como relacionar el comportamiento de las dos mezcladoras al llevarlas a un solo proceso de llenado simultáneo. En la mayor parte de los casos se recurre a proponer una gráfica que represente la suma de las Gráficas 1 y 2. Para lograrlo se requiere el uso de los análisis anteriores; es decir, observar que una propiedad que define el comportamiento general de una recta es su pendiente.

La gráfica que representa el fenómeno de llenado simultáneo se dibuja haciendo uso de dos estrategias igualmente válidas: por medio de la suma de puntos de las dos gráficas, por ejemplo en 0.5 y un minuto. Si se han identificado las pendientes de las dos rectas, se suman para obtener la nueva recta. Dado que la pendiente de la recta resultante es dos, la gráfica que muestra el comportamiento del llenado con las dos mezcladoras es:

Puesto que la Grafica 4 tiene un comportamiento proporcional, el factor de proporcionalidad es igual a la pendiente de la recta representada por la misma gráfica. Puede entonces analizarse ésta y observar que si en un minuto se llenan dos carretillas, en 15 minutos serán llenadas 30.

¿Usaron otro tipo de estrategia para dar respuesta a las preguntas? Da argumentos que validen la pertinencia de la misma.

Si el factor de proporcionalidad es igual al valor de la pendiente de una recta, entonces, ¿qué tiene que ver la noción de proporcionalidad con el de pendiente? ¿Sucede esto para cualquier

recta? ¿Por qué? Gráfica en dos partes

Una última reflexión la haremos con respecto a las preguntas 8 y 9. En éstas el problema que se plantea es de naturaleza distinta a los anteriores, pues estaríamos observando un fenómeno que cambia de comportamiento después de un determinado tiempo.

Las estrategias que surgen al llegar a este momento de la situación, se inclinan hacia el uso de los comportamientos gráficos, pues al avanzar con la actividad se observan los beneficios que proporciona observar dichos comportamientos.

Se bosquejan gráficas en las cuales puede observarse una concatenación de las gráficas 1 y 2, de la siguiente forma:

Esta gráfica brinda la oportunidad de preguntar acerca de la conveniencia del uso de estrategias como la regla de tres, usada en las respuestas anteriores. Así se tiene la oportunidad de entablar una discusión acerca de que, a pesar de que la función representada por la gráfica anterior pasa por el origen de los ejes cartesianos, no puede considerarse que tenga un comportamiento proporcional, por lo cual, no es posible aplicar la misma técnica que en las preguntas anteriores.

Para dar solución a estas preguntas, puede ayudar la estrategia de determinar la expresión analítica que defina a la función representada en la Gráfica 5. Para determinar esta expresión, es necesario analizar el comportamiento de la gráfica en el intervalo 0, 0.3 y se observa que la forma de la gráfica es la misma que la de la Gráfica 1, que representa el comportamiento de la mezcladora tipo Trompo; y en el intervalo (0.3, ((simbolo de infinito)) )se comporta como la suma de las Gráficas 1 y 2, las cuales representan el comportamiento cuando se llena las carretillas con ambas mezcladoras.

0.8 ,       0, 0.3 2 0.24,       0, ∞

Debido a que el objetivo es conocer cuánto tiempo tardarán en llenarse 10 carretillass, se realizan los siguientes cálculos:

2 0.24    0, ∞

10 2 0.24 y 10 0.24

2 4.88

Así, 10 carretillas se llenan en 4.88 minutos, bajo las condiciones antes mencionadas.

Redacción y adaptación: Rubén Alejandro Gutiérrez Adrian José David Zaldívar Rojas