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Hendry y Hughes propusieron utilizar la técnica de programación dinámica para la estructuración óptima de trenes de columnas de destilación.

La idea propuesta por los autores, al igual que en todos los casos anteriores, es considerar que las separaciones son perfectas y los compuestos claves son adyacentes. Bajo este supuesto, las corrientes que tienen los mismos compuestos tienen, también, la misma composición y, como consecuencia, todas las columnas a la que ingresa la misma alimentación y donde se plantean los mismos claves de separación, han de tener el mismo costo anual, independientemente de donde se origina la corriente de alimentación.

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En la figura 6 se pueden ver todos los esquemas posibles, bajo el supuesto planteado por Hendry y Hughes, para una mezcla de 4 componentes, ABCD, ordenados, como siempre, en orden decreciente de volatilidad relativa.

Ya se había visto que, para este problema, son posibles 5 secuencias de tres columnas cada una. Se puede demostrar que el tratamiento detallado de todo el sistema demandará el análisis de 13 columnas. Pero, bajo las suposiciones hechas, sólo es necesario calcular 10 columnas, ya que, por ejemplo, la torre donde se separa B de C en la secuencia 132 es la misma que la de la 312. Esto se podría haber reflejado en el gráfico, haciendo que aparezca sólo una vez cada columna, pero resultaría sumamente intrincada la figura.

En la tabla 7 puede verse la reducción sustancial en el análisis detallado de columnas diferentes, para distinto número de componentes en la mezcla original, cuando se va a utilizar el método de Hendry y Hughes (H&H) con respecto al valor exacto NU_Nc =3NU_Nc−1+1 ;NU₁=0, siendo NUk las columnas a calcular en forma exacta para las secuencias de k componentes.

Nº Componentes 4 5 6 7 8 Nº Col.dif. H&H 10 20 35 56 77 Nº exacto de Col.dif. 13 40 121 364 1093

Tabla 7. Número de columnas diferentes

Para cada una de las columnas propuestas se deberá calcular el valor de la función objetivo, CTA en este caso. Como ya se vio, dada una cierta alimentación, este costo dependerá de la condición térmica de la carga, la presión de trabajo y la relación de reflujo operativa, una vez que se han fijado los factores de recuperación de los componentes claves.

A/ BCD AB/CD B/CD BC/D A/B C/D ABC/D A/BC AB/C C/D B/C B/C A/B ABCD

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En este costeo no se podrán, obviamente, suponer factores de recuperación del 100% (separación perfecta), pero con valores cercanos a uno se podrá tomar ese resultado de CTA como si correspondiese a la separación supuesta por Hendry y Hughes.

Una vez completado este cálculo, se estará en condiciones de asociar un valor de la función objetivo a cada columna del árbol donde se encuentran todas las alternativas de estructuración para el número de compuestos que plantea el problema.

Hecho esto, puede iniciarse la búsqueda de la estructura a la que le corresponde el menor CTA, para lo cual se recorrerá el árbol del problema, del tipo del de la figura 6, utilizando las técnicas de Programación Dinámica.

Esta metodología, aún con las simplificaciones hechas, puede considerarse un enfoque algorítmico en la estructuración de trenes de columnas de destilación, a diferencia de todo lo visto hasta aquí, típicamente heurístico.

Por ejemplo, en la figura 7 se muestra la hoja de una planilla de cálculo con el árbol de esquemas posibles para un problema de cinco componentes. Esta planilla tiene incorporado un complemento, HendHugh.xla, que permite el análisis que se está realizando.

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Las distintas columnas posibles se ordenan de izquierda a derecha, encontrándose, en una misma vertical, aquellas que tienen igual número de componentes. Existen zonas delimitadas por líneas horizontales negras y azules. Las primeras enmarcan el conjunto de columnas que se derivan de una determinada. Así, a aquella que separa A de BCD puede seguir una que elimina B por tope y a continuación C de la mezcla con D o bien separar primero D por fondo y luego B de C.

En la figura 7, para el caso englobado con la elipse inferior, el equipo de base da lugar a otras dos torres que tienen un componente menos, las que se ubican en el sector vertical contiguo.

Esto no siempre es así, como se puede ver en lo remarcado por la elipse superior: la columna donde se separa A y B de C, D y E da origen a la separación de los dos componentes livianos, por una parte y, por otra, a una mezcla de tres compuestos, donde son posibles dos secuencias en la separación, con dos columnas cada una. Esto está indicado con la línea azul, que se halla en el interior de la zona delimitada por las negras.

Hay una serie de celdas que están sombreadas en amarillo, otras en azul y un tercer grupo que contiene el valor cero. Para este caso, con cinco componentes, el número de las primeras es 20, la cantidad de columnas diferentes, de acuerdo a la tabla 7, para las que hay que evaluar el CTA. A partir del valor que se coloque en estas celdas, el complemento reemplazará el cero inicial por el valor que haya sido ingresado, completando de este modo la información requerida para aplicar el método.

Las celdas sombreadas en azul habrán de contener los resultados de las optimizaciones parciales, según la metodología de programación dinámica.

Supóngase que se debe estructurar un tren de columnas de destilación para separar una mezcla de i-butano, n-butano, i-pentano y n-pentano cuyos caudales molares son 20, 25, 20 y 35 kmol/h respectivamente. Se admite que la mezcla se comporta en forma ideal y se conocen las expresiones de la variación de la presión de vapor con la temperatura y que en todas las columnas del tren las alimentaciones ingresan como líquido en su punto de burbuja.

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Utilizando el complemento HendHugh.xla se obtiene, operando sobre la presión de trabajo y la relación de reflujo operativa de cada una de las 10 columnas requeridas por el método, el mínimo CTA de cada equipo. En la figura 8 se muestran los resultados para el problema planteado.

Figura 8. CTA (4 comp.) en HendHugh.xla

De acuerdo a las técnicas de Programación Dinámica aplicadas al grafo de la figura anterior, el proceso de optimización debe realizarse de derecha a izquierda, recorriendo las secuencias desde las columnas finales hacia las que reciben la mezcla inicial como alimentación.

Obviamente, en los equipos que separan dos componentes el punto de corte está definido. En cambio, en los que son alimentados con una mezcla ternaria hay que decidir cual de los dos posibles claves liviano se elige. Esta elección se resolverá cuando se analice la columna que da origen a esa mezcla ternaria, porque allí deberá elegirse, para sumar al CTA de la columna en cuestión, el menor aporte del conjunto de dos torres que le sigue.

Así, por ejemplo, en la primera fila de la figura 8, en la separación de C y D no hay alternativa alguna y el valor de la función objetivo es del orden de $750000. Si se incluye el equipo donde se origina esa mezcla binaria, B/CD, se tendrá un total de unos $ 921000. La otra alternativa para la mezcla BCD es BC/D seguido por B/C, que suma un total de $894000, aproximadamente. Es obvio que la segunda vía es preferible a la primera y deberá ser la que se considere al valorizar las secuencias a que da origen la columna donde se separa A de BCD, alcanzándose un CTA para el conjunto de las tres torres de algo más de $1153000.

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Como mecánica de cálculo, para evaluar el menor CTA de la secuencia que se inicia con una determinada columna, se requiere tener evaluadas todas las columnas a que da origen y al valor de la función objetivo para el equipo en cuestíon se deberá adicionar el menor CTA que se presenta en cualquiera de las secuencias derivadas. Una típica estrategia de Programación Dinámica.

En la figura 9 se muestran los resultados alcanzados para la totalidad de las alternativas de la mezcla del problema planteado, donde surge que la secuencia óptima es la 132.

Figura 9. Resultados (4 comp.) en HendHugh.xla