Research Findings

Que lo primero de todo es observar las formas y diferenciarlas. Y hay que tener muy claro que las formas fundamentales son la linea, con una sola dimensión, la superficie, con dos dimensiones, y el volumen, con tres di­ mensiones, y no el triángulo, el cuadrado y el círculo, como se enseña en parvulario. Lo fundamental que tiene que hacer el maestro es ayudar a los alumnos a descubrir estos conceptos básicos y sus diferencias, a distinguir vivencia!m ente entre línea, superficie y volumen, así como entre los con-

ceptos de cerrado, abierto y separación/continuidad. Sobre estas nociones se edificarán progresivamente otras corno la de línea recta o curva, que tienen evidentemente formas diferentes, y tam ­

bién las primeras categorías de figuras de Uu; gormas fundam entales son dos dimensiones, entre ellas los polígonos,

la

línea, con una cola dim es ■■ y los cuerpos tridimensionales, entre ellos sidra la su pe melca con dos Pi­

los poliedros. menciones y el volumen, con

Los alum nos deben ir adquiriendo

¿res dimensiones.

el conocim iento de las figuras poco a

poco y arm ónicam ente. Como conjunción de estas diversas nociones de form a y de posición y tam bién de sus transform aciones, y viendo las di­ ferentes formas, no com o algo estático, sino intrínsecam ente unidas al m ovim iento.

¿Cóm o se adquiere la noción de transform ación y por qué es básico en ei conocim iento de la geom etría?

¿Qué cómo se adquiere? Pues como siempre, practicando. La dase de geometría debería de ser em inentemente práctica. Primero hay que hacer giros, simetrías, etc., con el propio cuerpo

y el propio movimiento. Después se pasa a om k •••„>,: ■

hacerlo con diversos materiales. ¿.■ve. ■ stems-: ' ■ : m anipula- Las proyecciones, por ejemplo, las d o n , exige una vivencia trabajamos a través de las sombras: con mt mi- -h . v -_vo. gas a un foco de luz y un papel de embalar que menudo se concreía en ei pro­ haga de pantalla en la que se dibujan di- W ■ >.! une

versas sombras obtenidas de una figura

plana. Sombras que son diferentes según la posición de la figura respecto a la pantalla... Todo ello permite observar las características comunes entre las distintas sombras de una misma figura y es una manera eficaz ele estudiar- polígonos y otras categorías de figuras planas.

Otro ejemplo: podemos conocer muchos aspectos de los cuerpos de tres dimensiones analizando cuántos ejes de rotación y cuántos planos ele sime­ tría tienen. Es curioso, e interesante, ir descubriendo hasta qué punto la mayor parte de las nociones geométricas, sobre todo el estudio ele cuerpos y figuras, se pueden trabajar a partir de las transformaciones.

Lo mismo sucede con los números. La práctica de las operaciones ele­ mentales nos permite profundizar en el conocimiento de los números, lo que nos lleva a poderlos utilizar con mayor seguridad y confianza.

La m etodología que se utiliza en las actividades de aprendizaje pare­ ce m uy im portante...

Ciertamente, la metodología es importante siempre, pero cuando tra­ bajamos la geometría es fundamental e imprescindible. No iremos a ningu­ na parte si no tenemos en cuenta que la geometría se aprende con el movimiento. El conocimiento deí espacio es inseparable del m ovim iento del propio cuerpo. Aun así, todavía hay maestros que «enseñan» las formas con los niños sentados en una silla ante una papel plano... jes inconcebible! El aprendizaje de la geometría además de la manipulación requiere de una vi­ vencia motriz de todo el cuerpo, que a menudo se concreta en desplaza­ mientos. Así, antes de hablar a los alumnos del nombre de las figuras, conviene haber «experimentado» sus formas caminando, por ejemplo, sobre la silueta de un polígono dibujado en el suelo y haber observado cuántas veces nos obliga a girar esa figura concreta (y los puntos en los que giramos son los «vértices»). Del mismo modo, antes de hablar a los más pequeños de línea, superficie y volumen es imprescindible que cada alumno palpe, por él mismo y mejor con todo su cuerpo, la diferencia entre cada una de estas realidades.

En ¡a tercera gran área de las m atem áticas, la medida, ¿qué han de tener en cuenta ios educadores en su trabajo en el a u la?

Lo primero y fundamental es relacionar la medida, y la necesidad de la medida, con el entorno próximo, la medida ha de ser vivida por los niños

como una necesidad en las relaciones que '' fu; / í ¡u m: .o c / .• - -> j : ; !a esta bleee irnos con nuestro entorno co ti -

tk -.y /• i - . ó ;■/ ■; * - ai. d i a ti a ni e n te. Asi, quizá necesitemos sabe r • "• 'Oo-u-i•;•.•••' . . lo que mide un trozo de pared para cor­ tar el mismo trozo cíe papel de embalar para el mural que queremos hacer juntos... Naturalmente, para poder tra­ bajar con los alumnos «cuánto mide», «cómo es de largo o qué longitud» tiene un objeto, o «cuánto pesa», es imprescindible conocer, previa y expe­ rimenta! mente, la magnitud que medimos. No podemos hablar a un alum­ no de longitud si antes no ha experimentado esta magnitud tocando, estirando, comparando objetos: una cuerda, colocada en espiral o hacien­ do curvas, y la misma cuerda estirada; un zapato del maestro y un zapato de un niño; el árbol más alto y el árbol más bajo... Y exactamente lo mismo con el peso: hay objetos más grandes que pesan menos que objetos que son más pequeños, y esto lo tienen que experimentar ellos mismos cogiéndolos,

haciendo fuerza con su propio cuerpo y comparando... Para trabajar con ios alumnos una determinada magnitud, tienen que haberla experimentado previamente, han de tener una noción previa de dicha magnitud. A partir de aquí podremos avanzar en su conocimiento y medida.

Una vez experim entada la m agnitud, ya podemos ir pues hacia su me­ dida...

Sí, pero con un paso previo que consolide aún más el conocimiento de dicha magnitud. Y este paso, simultáneo a la experimentación, es el de la re­ lación, que ya he apuntado. Es impor­

tante que los alum nos establezcan poder trabajar con loe

relaciones entre los objetos en función de alum nos una determinado la medida de la magnitud que estudian y, magnitud, éstos tienen que ha- relacionando, pasen a clasificar, a órele- hería espennum wcin ¡ir mia­ ñar: si trabajan la longitud pueden orde- m ente, han de tener una nar diversos objetos -éste es más corto noción previa de dir-ha ¡nap¡id- que este otro pero más largo que aquél- rud. A partir de aquí podremos o clasificarlos -tocias las pajitas cortas •... • • • .,, aquí, las largas allá-. El conocimiento de medida.

las diversas magnitudes ha de ser viven­

cia!, experimental y ha de Nevar a los alumnos a establecer relaciones, a or­ denar y clasificar, aspectos que serán básicos para el dominio de la medida. La capacidad de ordenar, connatural, por otro lado, a la noción de número, se revela esencial en el aprendizaje de la medida.

Una vez adquirido el concepto de longitud, relacionando, clasificando, ordenando las diferentes longitudes de diferentes objetos, nos disponemos ya a m ed irla pared donde tiene que ir el mural. ¿Qué es lo prim ero que debe tener en cuenta el m aestro o ¡a m aestra?

Cuando empezamos a medir, lo pri­ mero a tener en cuenta es que para medir utilizamos una unidad determinada de medida y ía idea de unidad es una prime­ ra abstracción que los niños van constru­ yendo a lo largo de! parvulario pero que no se consolida, mayoritariamente, hasta el inicio de la primaria. Hay una anécdota muy interesante al respecto: en una es-

rc iliciones.

r i n f ■’ h ü (10

stable-

cuela quisieron medir la distancia entre dos de las paredes del aula de cinco años. Decidieron hacerlo con los pies, dando pasos, de manera que los pies se tocaran cada vez. El niño que lo hada iba contando cada vez que ponía un pie delante del otro y contó hasta 20. Cuando acabó, la maestra le pre­ guntó al niño «¿Cuántos pies hay pues de una pared a la otra? Y la respues­ ta del niño fue «Hay dos». El niño tenía muy claro que de pies únicamente había dos. Y era así, ele pies sólo había dos en realidad.

Esta respuesta es reveladora porque demuestra que los niños, en una etapa determinada, no tienen adquirido el concepto de unidad de medida. Para nosotros tos adultos, preguntar cuando medimos «¿cuántos pies hay?» significa preguntar «¿cuántas veces cabe el pie?», porque hablamos de «pie» como unidad de medida. Pero para los alumnos más pequeños «¿cuántos pies hay?» quiere decir literalmente eso «¿cuántos hay?». Y ciertamente, por aquel camino únicamente circulaban dos pies. Al siguiente día la maestra hizo descalzar a todos los alumnos y comprobaron que en aquella distan­ cia cabían 20 zapatos. Una cosa es contar y otra muy distinta medir, no debemos confundirnos. Los niños de cinco años pueden contar objetos, pero aún no comprenden el concepto de unidad en la medida. Un concep­ to abstracto que los alumnos irán construyendo y comprendiendo paula­ tina y personalmente.

Uno vez adquirido el concepto de unidad, llego el sistem a m étrico y los alum nos empiezan a perderse entre el metro, el kilóm etro, el decagram o, el m iligram o...

Una vez adquirido el concepto de unidad no deberíamos llevar directa­ mente a los alumnos a las unidades oficialm ente establecidas. Aquí ten­ drían que llegar por necesidad, pasando

U na cora coima- aíra antes por el uso de unidades no unifica-

p-h ■ ; 0' das -como los pies, los palmos, etc.- que

se.

J.jj.s

niños

y niñas de cinco les permitirían descubrir que, con estas

años pueden contar objetos unidades no unificadas, los objetos no pero todavía no comprenden el miden lo mismo, que según quien ponga

r-}nuep;o e. aniden d ■ medida. los pies o los palmos la longitud de un mismo objeto resulta diferente... Cuando se llega a ía unidad unificada por necesidad, como algo útil que nos ayuda a resolver una situación real con que nos encontramos, la comprensión de dicha unidad es más firme y, por io tanto, más fácil también la comprensión de los múltiplos y divisores de esta unidad. En este sentido, resulta muy útil

también la práctica previa de ordenar objetos según una magnitud crecien­ te o decreciente, aquella que más adelante mediremos.

Y d últim o gran bloque, la probabilidad, con la estadística, la com bi­ natoria y el estudio del azar, ¿cóm o se trabaja en la escuela?

Éste es otro gran bloque en general mal atendido en la escuela primaria. La estadística sí que se trabaja bastante, quizá porque es relativamen­ te fácil: se practican unas técnicas senci­

llas de recogida de información y ele La combinatoria es un tipo de representación mediante diferentes tipos lógica diferente de ía lógica bi­ de gráficos. Resulta interesante, es algo nana «del si y del no»; traba- muy práctico, ligado por definición a la jándola se abre una ventana vida real, y sin grandes dificultades o diferente en la mentalidad de complejidad conceptual. A los alumnos les las personas.

suele gustar y a los maestros también.

La combinatoria, en cambio, se ha dejado de lacio. A diferencia de la es­ tadística, es una materia esencialmente teórica. En realidad la combinatoria es el estudio teórico de todas las posibilidades resultantes de la relación entre diversos datos y condiciones. Por eso es un tipo de lógica diferente a la lógica binaria «del sí y del no»; trabajando la com binatoria se abre una ventana diferente en la mentalidad de las personas. Por eso creo que es una herramienta muy útil para estructurar el pensamiento y que valdría la pena aprovecharla.

No quiero decir que sea un aspecto esencial, pero sería interesante que los alumnos de primaria, y más mayores, hicieran prácticas de combinacio­ nes con materiales, cumpliendo todas las normas -«ninguna combinación repetida» y otras-, y que aprendan a expresar los resultados con esquemas, o diagramas, que no dejan de ser lenguajes matemáticos entre los que des­ taca el «diagrama del árbol», estrechamente ligado a la comprensión de la multiplicación.

Respecto a fa probabilidad y el azar, ¿qué se debería tener en cu en ta? La probabilidad es el conjunto de las tres ramas, estadística, combina­ toria y estudio del azar. Pero cuando utilizamos el lenguaje corriente, al ha­ blar, solemos denominar «probabilidad» a la última. También es verdad que a menucio es sinónimo de «suerte». Hay personas que a las actividades de combinatoria y de probabilidad en la escuela las denomina, en general, «los juegos ele la suerte». Y ya me gusta este nombre, porque lo cierto es que,

tanto unas como otras, tienen un gran com [Donen te I úclico, que hace posi­ ble plantearlas en clase como un juego, pero se trata de un juego que hay cjue pensar bien para no extraer conclu- ;/• ¡irohíibílhltul. h ••• v/A.ó- . siones equivocadas. Un juego que algunas la combinatoria y el esrudio del veces requiere algún cálculo y otras no, azar tienen un gran campo- un juego que siempre es un reto que nos nem e lúdico. E n la escuela a hace crecer,

menudo se habla de ha ■t v ^ / .v El estudio del azar, y la probabilidad, de la suerte*■>, ponqué pueden nace y se comprende a partir de dos fuen- .¥£.• ñwn>ad‘-s C--.C. un y tes simultáneas: a partir de la ex pe ríen - un juego que hay que pensar cía de aquello que pasa, de aquello que muy bien para no extraer con~ «es real», controlado por la estadística, y a alusiones equivocadas. partir del cálculo de aquello que podría

pasar, de aquello que «es posible», que no vemos pero que sabemos por la reflexión, por la combinatoria. De la con­ junción de estos dos aspectos, nace el estudio de aquello que «sería más fácil

o más probable» que pasara. Lo que no significa que pase. Esto es la proba­ bilidad.

¿ Y cómo trabajan todo esto los alum nos en la escu d a?

Pues, como decía antes, con juegos y actividades preparadas, que aquí no podemos explicar con detalle, que empiezan por hacer distinguir aquello que es posible de aquello que no ¡o es. Después pasan a imaginar, e incluso a calcular, en qué proporción sería más probable un hecho u otro.

Cuando hablamos de operaciones aritméticas todos sabemos de qué hablamos. Cuando hablamos de juegos de probabilidad, como mayoritaria- mente no los hemos hecho en la escuela, nos cuesta imaginarlos. Asi que pondré algunos ejemplos de actividades posibles:

Tenemos dos dados normales, uno azul y otro rojo. Tiramos el ciado rojo y discutimos con los alumnos preguntas como: ¿Es posible que alguna vez salga 7?, ¿es más fácil que salga 6 o que salga 1?, ¿por qué no?

Después tiramos los dos dados al mismo tiempo, decimos que sumen los puntos y preguntamos: ¿puede salimos 13?, ¿puede salimos 10?, ¿puede sa­ limos 7? Y cada vez nos tienen que explicar el porqué.

También podemos hacerles pensar: ¿qué es más fácil, que salga 9 o que salga 7? Y analizando todos los casos posibles (lo que se facilita con los ciados de diferente color) deduciremos que lo más probable es que salga 7. Esta actividad es un ejercicio de reflexión. Ahora bien, si al día s¡~

guíente proponemos un juego en el que tengan que hacer apuestas tocios quieren el 7, y si no ganan se enfadan. Porque los niños y las niñas de pri­ maria aún no tienen la madurez suficiente para comprender que, aunque sea el resultado más probable, no significa que sea el resultado seguro. Como puedes comprobar, como siempre que se hacen matemáticas, se trata de ir reflexionando, contando, extrayendo conclusiones que nos sir­ van para ía propia vida. Y, en no pocos aspectos de las matemáticas, lo po­ demos hacer jugando.

5e necesita gente que investigue en didáctica, en el sentido de probar, corregir, reintentar... No se puede ir con un Formulario estudiado, un libro de texto... pienso que no es bueno. Yo los quitarla, los libros de texto; hay maestros que los ven muy útiles. Adelante, pues, si los encuentran útiles, siempre que sepan prescindir de ellos cuando sea necesario. Pero acaban siendo victimas del libro de texto, hoy toca esto... (M.a Antonia Canals)

Yo pregunto si es natural, si es incluso prudente, fastidiarte a ti mismo y aburrir a los estudiantes.

(Johann Wolfgang Goethe)

El curricula, los contenidos, la didáctica y la m etodología que se u tili­ za favorece o dificulta, como hemos visto, el aprendizaje de las m atem á­ ticas. ¿Cuáles serían, en estos momentos, los principales puntos débiles en la enseñanza de esta m ateria?

Lamentablemente, tenemos más de un punto débil, como ya hemos ido viendo. Querría insistir, hablando de conceptos y concretamente de los nú­ meros, en la importancia de construir el concepto ele cantidad, o conserva­ ción de la cantidad, sin someterlo al número escrito.

Uno de los disparates que se hacen en la etapa infantil de muchas es­ cuelas es enseñar a los niños la grafía de los números y su relación con las cantidades, antes de que tengan capacidad de entender el concepto de can­ tidad. Los niños, hasta los 6-7 años, como nos demuestra Piaget, no adquie­ ren e! concepto de conservación de cantidad. Y a pesar de ello, les han

machacado en la escuela, desde los cuatro años, para que aprendan que la grafía del 6 se corresponde con 6 objetos. Así sucede que, coges a estos

niños y les pones seis objetos bien jun- üro - c!. !■ .-.'■ ■ ■ res .nás - tos alineados y, debajo, otros seis objetos neo que .t o >-m :n ir- . pero espaciados, de manera que ocupan

infa-nn! de muchas escuelas es más espacio. Les preguntas dónde hay enroñar n los nine-: ¡aye /to más objetos y te dicen que abajo... Hay ma­

zo s números y su relación con estros que creen que al concepto de can­

t o s ctir-íi tidacl se llega desde el número escrito,

tro-,,an captu'uf..- • de ■ - cuando el número escrito no es más que el concepto de cantidad. el aspecto cultural, una convención, la ex­ presión de la cantidad en una cultura de­ terminada. A la noción de cantidad no se liega a partir del número escrito, se llega comparando grupos con cantidades diferentes de objetos. La noción de cantidad es una abstracción construida a partir de la experiencia, no de una expresión cultural determinada. A la expresión cultural, escrita u oraí, de! con­ cepto de cantidad, en una sociedad concreta, llega el niño después, o simul­ táneamente, pero una vez adquirido el concepto de cantidad. E! niño puede conocer la grafía de un número y no tener adquirida aún la noción de canti­ dad. De ahí que no se pueda ayudar a desarrollar la capacidad de conserva­ ción de la cantidad a partir de trabajar con los alumnos con números escritos exclusivamente. De la misma manera, para operar entre diferentes números - no sólo mecánicamente- hay que tener adquirido el concepto de cantidad.

La adquisición del concepto de cantidad y la realización de operaciones han de ir juntas, son simultáneas, ya lo he dicho antes. Pero muchas veces, siguiendo el currículo o eí libro de texto, se pide a los alumnos que hagan operaciones que aún no pueden hacer de manera comprensiva, porque no tienen adquirido este concepto. Respecto al conocimiento de los números también hay otros aspectos a mejorar.

¿Po r ejem plo?

Pues, un aspecto importante a mejorar es que los maestros ayuden a los alumnos de primaria a descubrir que hay diferentes tipos ele números. En

In document An Ethnographic Case Study of a Deaf Workforce Collective (Page 87-97)