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Es frecuentemente conveniente considerar a una imagen como una muestra de procesos estocásticos. Para las imágenes continuas, la función de imagen _{, ,} se asume como miembro de un proceso estocástico continuo de tres dimensiones con variables espaciales _, y la variable del tiempo .

El proceso estocástico _{, ,} puede ser descrito completamente conociendo su densidad de probabilidad conjunta:

{ , , … , ; , , , , , , … , , , }, (3.62)

para todos los puntos de muestreo , donde _{( , , )} representan muestras de tiempo y espacio de la función de imagen _{( , , )}. En general, las densidades de probabilidad conjunta de alto orden para imágenes son desconocidas además de ser muy difíciles de modelar. La densidad de probabilidad de primer orden _{; , ,} puede en ocasiones ser modelada exitosamente en la base de la física de las medidas del histograma del proceso. Por ejemplo, la densidad de probabilidad de primer orden del ruido aleatorio de un sensor electrónico es normalmente bien modelado utilizando una densidad de probabilidad Gaussiana de la forma:

54 { ; , , } = [ �� , , ]− / _{[ , , − � , , ]

� , , }, (3.63)

donde los parámetros _{� , ,} y _{� , ,} denotan la media y la varianza del proceso. La densidad de probabilidad Gaussiana también es un modelo razonablemente preciso para la densidad de probabilidad de la amplitud de los coeficientes unitarios de una imagen. La densidad de probabilidad de la función de luminancia debe ser una probabilidad de un solo lado ya la medida de luminancia es positiva.

Las densidades de probabilidad condicionales también son útiles en la caracterización de procesos estocásticos. La probabilidad condicional de una imagen evaluada en , , proporciona

información de la función de la imagen en _{, ,} y está definida como:

{ ; , , | ; , , } = , ; , , , , ,_{{ ; , , }} . (3.64) Las probabilidades condicionales de orden alto están definidas de una forma similar.

Otras formas de describir un proceso estocástico son a través del cálculo de su conjunto de valores promedio. El primero momento o media de una imagen está definida como:

� , , = { , , } = ∫∞ , , { ; , , }

−∞ ,

(3.65) donde { . } es el operador esperanza, como se definió en el lado derecho de la ecuación (3.65).

El segundo momento o función de autocorrelación está dado por:

, , ; , , = { , , ∗ _{, , }, (3.66)} o de forma explícita: , , ; , , = ∫ ∫∞ , , −∞ ∞ −∞ ∗ _{, ,} × { , ; , , , , , } . (3.67)

La autocovarianza del proceso de una imagen es la autocorrelación alrededor de la media, definida como:

, , ; , , = {[ , , − � , , ][ ∗ _{, , − �}∗ _{, , ]} (3.68)}

o

, , ; , , = , , ; , , − � , , �∗ _{, , . (3.69)}

Finalmente, la varianza del proceso de la imagen es:

� , , = , , ; , , . (3.70)

Una imagen es llamada estacionaria en el sentido estricto si sus momentos no son afectados por desplazamientos en sus tiempos y espacios iniciales. El proceso de la imagen se dice que es estacionario en el sentido amplio si su media es constante y su autocorrelación depende de las diferencias en las coordenadas de la imagen, _{− , − , −} , y no en sus valores individuales. En otras palabras, la autocorrelación no es una función de posición o tiempo. Para procesos de imagen estacionarios,

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{ , , } = � . (3.71)

, , ; , , = − , − , − . (3.72)

La función de autocorrelación puede escribirse como:

(� , � , � ) = { ( + � , + � , + � ) ∗ _{, , }. (3.73)} debido a que:

(−� , −� , −� ) = ∗_{(� , � , � ). (3.74)}

entonces para una función de imagen con real, la autocorrelación es real y una función par de � , � , � . La densidad espectral de potencia, también llamado espectro de potencia, de un proceso

estacionario de imagen está definido como como una transformada de Fourier de Tres dimensiones de su función de autocorrelación dada por:

�( , , ) = ∫ ∫ ∫∞ (� , � , � ) −∞ exp {− � + � + � } � � � ∞ −∞ ∞ −∞ . (3.75) En muchos sistemas de imágenes, los procesos de tiempo y espacio son separables, de este modo la función de correlación estacionaria puede ser escrita como:

(� , � , � ) = (� , � ) � . (3.76)

Además, la autocorrelación espacial, es frecuentemente considerada como el producto de las funciones de autocorrelación en los ejes y ,

(� , � ) = � (� ). (3.77)

para la simplicidad en los cálculos.

Una imagen es frecuentemente modelada como un proceso Markoviano de primer orden para el cual la correlación entre los puntos de la imagen es proporcional a su separación geométrica. La función de autocovarianza para un proceso Markoviano en dos dimensiones es:

(� , � ) = {−√ � + � }. (3.78)

donde es una constante de energía y y son constantes de espacio. El espectro de potencia correspondiente es:

�( , ) =

√ _{+ [ + ]}. (3.79)

Con fines de simplificación, el proceso Markoviano se asume frecuentemente como separable con una función de autocovarianza:

(� , � ) = {− |� | − |� |}. (3.80)

El espectro de potencia de este proceso es:

�( , ) = _{+ +} . (3.81)

A menudo, la densidad de probabilidad o los momentos de un campo de imagen estocástico son conocidos a la entrada de un sistema. Si la función de transferencia del sistema es algebraico, la densidad de probabilidad a la salida puede ser determinada en los términos de la densidad de

56 probabilidad a la entrada mediante una transformación. Por ejemplo, si la salida del sistema está relacionada con la entrada del sistema por:

, , = { , , }. (3.82)

donde { . } es un operador monotónico sobre , . La densidad de probabilidad a la salida del campo es entonces:

{ ; , , } =_{| {}{ ; , , }_{, , }/ |.} (3.83)

Los momentos a la salida de un sistema pueden ser directamente obtenidos si se conoce la densidad de probabilidad a la salida, o en ciertos casos, indirectamente en términos del operador del sistema. Por ejemplo, si el operador del sistema es lineal y aditivo, la media a la salida del sistema es:

{ , , } = { { , , }} = { { , , }}. (3.84)

Se puede demostrar que si un operador del sistema es lineal aditivo, y si la entrada al sistema es una imagen estacionaria en el sentido estricto, la salida del sistema será también estacionaria en el sentido estricto. Además, si la entrada es estacionaria en el sentido amplio, la salida será también estacionaria en el sentido amplio.

Si se considera un sistema lineal aditivo invariante en el tiempo para el cual su salida está descrita por la integral de convolución en tres dimensiones:

, , = ∫ ∫ ∫∞ − , − , − , , −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ . (3.85) donde _{, ,} es la respuesta al impulso del sistema. La media a la salida es entonces:

{ , , } = ∫ ∫ ∫∞ { − , − , − } , , −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ . (3.86) Si el campo de la imagen a la entrada es estacionario, su media _� es una constante que puede ser sacada de la integral. Como resultado:

{ , , } = � ∫ ∫ ∫∞ , , −∞ = � ℋ , , ∞ −∞ ∞ −∞ . (3.86) donde _{ℋ , ,} , es la función de transferencia del sistema lineal evaluado en el origen. Siguiendo las mismas técnicas, puede ser fácilmente demostrado que las funciones de autocorrelación de la entrada y salida del sistema están relacionadas por:

(� , � , � ) = (� , � , � ) ⊛ (� , � , � ) ⊛ ∗_{(−� , −� , −� ). (3.87)} Tomando la transformada de Fourier de ambos lados de la ecuación (3.87) e invocando el teorema de convolución de la transformada de Fourier, se obtiene la relación del espectro de potencia de la imagen de entrada y salida,

� ( , , ) = � ( , , )ℋ( , , )ℋ∗_{( , , ). (3.88)}

o

� ( , , ) = � ( , , )|ℋ( , , )| . (3.89)

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