Paulina es profesora de Educaci´on B´asica. Se titul´o hace 16 a˜nos y ejerci´o durante 10 en una escuela cerca de su hogar, teniendo a su cargo, generalmente, los niveles de Quinto y Sexto B´asico. Ense˜naba casi todos los subsectores, excepto M´usica, Educaci´on F´ısica y Tecnolog´ıa.
Un d´ıa le ofrecen una jornada de trabajo en una escuela con mayor cantidad de alumnos, la invitan a hacer clases solo en el subsector de Educaci´on Matem´atica en los niveles de S´eptimo y Octavo B´asico. Luego de pensarlo detenidamente, acept´o la oferta y decidi´o cambiarse de su escuela, porque el ofrecimiento era m´as favorable.
Desde que Paulina egres´o de la universidad no hab´ıa realizado un perfec- cionamiento sostenido; de vez en cuando asist´ıa a una que otra jornada de actualizaci´on, pero ella pensaba que no eran muy fruct´ıferas.
En esta nueva escuela comenzaron a surgir ciertos “miedos”, sobre todo cuando tuvo entrevista con sus colegas, y en particular con Eugenia, profesora que est´a en el establecimiento desde hace 10 a˜nos. Ella le indica que hacen uso de planificaciones, donde se muestran claramente: las actividades, los objetivos, los aprendizajes esperados, el desarrollo de habilidades y el tiempo dedicado a cada unidad. Paulina se preocup´o, debido a que en su antigua escuela la planificaci´on consist´ıa solamente en la especificaci´on de objetivos, contenidos y evaluaci´on, result´andole desconocida esta forma de trabajo.
Frente a esto intent´o buscar libros de apoyo para preparar sus clases de acuerdo a la nueva planificaci´on. Observ´o que sus colegas hac´ıan uso de textos escolares que ella conoc´ıa para preparar sus clases, lo que la dej´o m´as tranquila.
Las planificaciones de S´eptimo B´asico indicaban que deb´ıa trabajar con el conte- nido “Suma de n´umeros enteros”; adem´as del contenido m´ınimo, incluy´o sumas con m´as de dos sumandos, en donde el alumno deb´ıa aplicar propiedades de la suma.
Organiz´o la clase con una gu´ıa de ejercicios para practicar la suma de dos n´umeros enteros de igual signo y de distinto signo, para luego agregar ejercicios en donde el alumno reconociera las distintas formas de obtener un resultado correcto, con sumas que incluyeran dos o m´as sumandos de n´umeros enteros. Lleg´o el d´ıa de su clase y lo que m´as tem´ıa era no tener aceptaci´on con estos
alumnos nuevos para ella.
Trataba de seguir la planificaci´on, distinta en su forma, pero no en su fondo con respecto a lo que hac´ıa en su otro trabajo. Su intenci´on era que los estudiantes aprendieran el contenido que ella hab´ıa preparado.
Paulina dio comienzo a la clase indicando a los alumnos el objetivo de ese d´ıa: “Sumar n´umeros positivos y negativos”; asimismo, indic´o las habilidades a desarrollar: observar, identificar, calcular, entre otras.
Paulina comienza la clase:
Paulina: (se dirige al curso) Hoy conoceremos la manera de sumar dos n´umeros enteros a trav´es de algunos ejercicios. Anotamos:
−15 + −14 =
Si los n´umeros son de igual signo, en este caso negativos, el resultado de esta suma es un n´umero entero negativo. Podemos asociar los n´umeros positivos a los haberes y los n´umeros negativos a las deudas.
(Piensa que al asociar esto con la vida diaria, los alumnos entender´an mucho mejor).
Rodrigo: Profesora, ¿qu´e ocurre cuando tenemos dos n´umeros positivos, ¿Resulta negativo?
Paulina: Claro que no, se mantiene el signo con los n´umeros que se est´an su- mando, por ejemplo:
43 + 67 = 110
Rodrigo: Entonces cuando sumamos dos n´umeros de igual signo, el resultado tiene el mismo signo.
Paulina: Exactamente. Veamos ahora qu´e ocurre en el siguiente caso:
−54 + 86 =
Ahora, restamos ambos n´umeros y colocamos el signo del n´umero mayor. Es decir, cada vez que sumemos dos n´umeros de distinto signo, restamos y colocamos el signo del n´umero mayor: ¿cu´al ser´a el resultado de 86− 54?
Mariana:32.
Paulina: Muy bien, ¿y qu´e n´umero resulta al calcular−32 + 8?
Francisco:¡F´acil, 24!
Paulina:S´ı, pero se equivoc´o de signo, ya que se debe observar el n´umero mayor.
Francisco:Pero el n´umero mayor es 8.
Paulina: Efectivamente, pero se elige el n´umero mayor sin tomar en cuenta los signos.
Francisco:¡Ah!, ¿entonces en este caso ser´ıa −24?
Paulina: Correcto.
Los alumnos terminan de desarrollar la gu´ıa con mucha dificultad. Paulina comenta la situaci´on con sus colegas en la hora asignada por la escuela para la reflexi´on de situaciones y la organizaci´on de las clases, de manera que los niveles est´en todos en los mismos contenidos. Ella les dice que los alumnos se confundieron un poco, pero que al parecer lo hab´ıan entendido de la manera como ella asoci´o lo de agrupar n´umeros enteros, a tener deudas y tener con qu´e pagar.
Eugenia le dice a Paulina que no est´a de acuerdo con ella, porque no us´o la planificaci´on que le mostr´o con anterioridad; en esa planificaci´on estaba con- siderado lo importante que es definir conceptos matem´aticos correctamente, y que el alumno tiene que desarrollar habilidades de c´alculo buscando sus propias estrategias.
Paulina le responde que para ella lo importante es que los alumnos aprendan c´omo resolver los ejercicios, saber el porqu´e no interesa mucho.
Sergio, otro profesor que estudia un post´ıtulo con menci´on en matem´atica, tambi´en destaca el hecho de que Paulina no us´o la planificaci´on que ellos ocupan com´unmente; en consecuencia, agrega que hay que ponerse de acuerdo si se van usar estas planificaciones o cada profesor prepara su clase en forma personal, considerando solo los planes y programas oficiales. Adem´as, deben coincidir en el texto que ocupar´an para preparar las clases.
Frente a este comentario, Claudio, otro profesor, dice que no est´a de acuerdo con Sergio; si bien la planificaci´on est´a, el profesor es libre y tiene la opci´on de usarla o no. Lo importante es que aprendan los estudiantes, aunque se sacrifique una definici´on formal matem´atica.
Paulina, exclama “ ¡Pero si yo no comet´ı ning´un error! Los chicos aprender´an, les voy a hacer varios ejercicios y ya ver´an que la pr´actica lo hace todo; y despu´es, si alcanzo, veo ejercicios de aplicaci´on”.
Notas did´acticas
En general, en todos los casos, es bueno estimular a los y las estudiantes para que expresen las ideas matem´aticas que encuentran en el caso. Es sorprendente ver c´omo, con ideas matem´aticas tan simples como la de este caso, los estudiantes de Educa- ci´on B´asica tienen problemas, a pesar de que hayan tenido un curso en el cual estos t´opicos se estudiaron. Por ello, es necesario incitar y focalizar a los estudiantes en la discusi´on sobre el concepto de adici´on de n´umeros enteros, pues es altamente probable que desv´ıen la discusi´on del saber matem´atico hacia los conflictos pedag´ogicos, tales como: uso de planificaciones, cambio de nivel de ense˜nanza y de estilos de trabajo, que pueden ser abordados posteriormente.
El facilitador tendr´a que realizar preguntas que le permitan analizar las frases propuestas por Paulina y las respuestas o preguntas de su curso, con el objetivo de que los estudiantes expliciten la definici´on de suma de n´umeros enteros.
Es importante que la reflexi´on aborde los conocimientos que los alumnos nece- sitan para tratar la adici´on de n´umeros enteros, espec´ıficamente la noci´on de valor absoluto de un n´umero entero, y as´ı dejar en evidencia que, en ocasiones, el modelo de ense˜nanza tradicional, en donde se privilegia la t´ecnica, conduce a errores de con- ceptos.
Aspecto matem´atico
En el caso de la suma de n´umeros enteros, por ejemplo:
−54 + 86
La profesora dice: “Ahora, restamos ambos n´umeros y colocamos el signo del n´umero mayor. Es decir, cada vez que sumemos dos n´umeros de distinto signo, res- tamos y colocamos el signo del n´umero mayor”.
Eso es falso; adem´as, hay algo de vaguedad en la frase, “restamos ambos n´ume- ros”, puesto que asume que se tiene un concepto de resta de n´umeros enteros, antes que el de suma, idea absolutamente errada. Lo que en realidad quiere decir, es que se hace la resta de n´umeros naturales, con resultado en el conjunto de los n´umeros naturales, por lo tanto, “restamos ambos n´umeros” debiera cambiarse por un “calcu- lamos el valor absoluto de ambos y restamos al valor absoluto mayor el menor valor absoluto”.
La frase “colocamos el signo del n´umero mayor”, es falsa, y debiera cambiarse por
para sumar n´umeros enteros de distinto signo quedar´ıa como:
“Si son de distinto signo y del mismo valor absoluto, entonces el resultado es cero. Si son de distinto valor absoluto, entonces calculamos el valor absoluto de ambos y restamos al valor absoluto mayor el valor absoluto menor, y al resultado colocamos el signo del n´umero de mayor valor absoluto”.
Es importante que el Facilitador gu´ıe a una definici´on de ese tipo para mostrar lo engorrosa que resulta, y luego pregunte ¿por qu´e es as´ı? o ¿para qu´e es as´ı?, ¿por qu´e definimos esta suma y no otra, tal vez m´as simple?
Se sugiere guiar a los estudiantes a reconocer propiedades algebraicas, de la suma en Z, y en N y analizar c´omo se extiende a Z. Por ejemplo, lo ´unico que sabemos algebraicamente de −4 es que sumado con 4 es cero. En general, lo que define a −a en forma algebraica es que
a +−a = −a + a = 0.
Si se quieren extender la conmutatividad y asociatividad de la suma enN a Z, se puede comprobar que:
−54 + 86 = −54 + (54 + 32) = (−54 + 54) + 32 = 0 + 32 = 32.
Ahora bien, siZ viene a resolver un problema algebraico, ¿c´omo se le explica a un estudiante de S´eptimo B´asico, que esta es una forma “natural” de extender la suma deN a Z, sin tener que pasar por estructura algebraica?
Aspecto did´actico
Se sugiere invitar a los estudiantes a proponer modelos did´acticos, representaciones, met´aforas, que permitan dar sentido a la suma de n´umeros enteros, y guiar la dis- cusi´on, para que entre las diferentes representaciones y met´aforas, se analice la recta num´erica, donde sumar a es saltar a puesto a la derecha, si a es positivo, igual como se hac´ıa en la parte positiva de la recta, y sumar a es saltar a puestos a la izquierda, si a es negativo.
este sentido, y se valoren las diferentes representaciones para un mismo objeto.
Preguntas para guiar la reflexi´on
1) ¿Hay alg´un error en la metodolog´ıa de ense˜nanza del contenido matem´atico propuesta por Paulina?
2) ¿Qu´e conocimientos previos necesitan los estudiantes para abordar el tema de la adici´on de n´umeros enteros positivos y negativos?
3) De acuerdo a la regla ense˜nada, ¿es correcta la respuesta de Francisco al ejercicio−32 + 8 = 24?
4) ¿Cree usted que usando contextos de haberes y deudas, los alumnos compren- den mejor la adici´on de n´umeros enteros?
5) ¿Por qu´e Eugenia, al conversar con Paulina, destaca la importancia de usar las planificaciones?
6) ¿Qu´e opina respecto de la intervenci´on de Claudio en la discusi´on creada por el uso o no de las planificaciones en las clases realizadas?
7) ¿En qu´e aspecto la idea de agregar objetos en un recipiente, como met´afora de la suma, es m´as “eficiente” que la de saltar en la recta num´erica?
8) ¿Cree usted que puede ser un problema decirle a un ni˜no de hasta Sexto B´asico, que la resta 4−7 no se puede hacer, y sin embargo, en S´eptimo decirle que s´ı se puede? Si usted cree que es un problema, ¿c´omo lo solucionar´ıa?, ¿qu´e le dir´ıa a los ni˜nos que est´an en cursos que a´un no estudian la suma de n´umeros enteros, que se preguntan por la resta 4− 7?