a) Programación Lineal
Danting (1986), creador de la programación lineal, realiza la asignación de personal a
puestos u horarios de trabajo, de una manera estática, considera 70 personas y 70
trabajos, argumentando que las combinaciones que se presenta para este caso es un
número tan inmenso como 70 factorial, y que entonces el problema consiste en
comparar estas 70 factorial formas y elegir la óptima, es decir la que sea mejor. Este es
un gran paso para resolver los problemas de asignación de personal a horarios de
trabajo, sin embargo hablar de 70 personas y 70 horarios es considerar sólo empresas
pequeñas y medianas, cuando nos enfrentamos a empresas grandes con más de 1000
trabajadores, la programación lineal no es suficiente, y por lo tanto se deben considerar
otras herramientas, para poder manejar problemas del mundo real. Este punto se
aborda en el capitulo 2.
b) Declarativas y Restricciones de Programación (BackTracking)
Meisels et al. (1995). combinan restricciones de redes y reglas de base del
conocimiento para resolver employee timetabling problems. El software utilizado no
garantiza un óptimo de la asignación de horarios por la complejidad de las
formulaciones permitidas. Para las construcciones de la aproximación de la
• Finita capacidad de empleados: por ejemplo limitar el número de horas que
puede trabajar.
• Objetivos: restricción de la distribución del tiempo extra de la asignación de
empleados por turno.
La base de reglas parte del sistema que combina reglas de asignación y reglas de
construcción, las cuales son representaciones del conocimiento humano. Las
preferencias del personal para ciertos horarios son tomadas en cuenta por la asignación
de horarios. Este orden de restricciones asigna para preferencias, ejemplo horarios por
la mañana se prefieren a los de la tarde. La restricción de reglas maneja la demanda
para cierto tipo de empleados o para un particular empleado.
c) Sistemas Expertos – Sistemas para soportar decisiones.
Los sistemas para soportar decisiones, proveen desarrollos para interactuar con el
usuario.
Cheng and Yeung (1998), realizo un estudio de horarios de tiempo completo una
aproximación con un sistema experto híbrido. El sistema maneja restricciones así como
días de descanso, máximo de días de trabajo consecutivo, mínimo de días de descanso
consecutivos.
El sistema experto por si mismo es involucrado para asignar turnos de mañana, tarde y
noche. Otro punto es la dimensión del problema son muy pequeños comparados hacia
modelos que son también orientados hacia la asistencia de horarios en la práctica.
d) Heurística
Blau and Sear (1983), generaron todos los posibles patrones de horarios en un periodo
de dos semanas. Ellos evalúan éstos con su respectiva preferencia del empleado. Con
un algoritmo descendente es usado en una segunda etapa en orden para encontrar un
horario óptimo con uno de los 60 mejores patrones para cada empleado.
Schaerf and Meisels (1999), presentan una general definición de problemas para
asignación de personal a horarios. Este es un problema de asignar empleados a tareas
en un horario. Los horarios son predefinidos por periodos de tiempo que pueden residir
en cualquier lugar del eje del tiempo. El modelo incluye estrictas coberturas de
restricciones pero esto permite flexibilidad con respecto a las restricciones relacionadas
con el tiempo. Una búsqueda general local es introducida que permite asignación
parcial y así crea un largo espacio de búsqueda. El artículo presenta algoritmo de
ascenso de colina para la búsqueda local. Cada técnica concentra una parte diferente
de espacio de búsqueda, denotando su parte. Las funciones vecinas pueden incluir
movimientos de insertar, borrar y remplazar. El enfoque ha sido probado en ambientes
teóricos: un hospital y un ambiente de producción. No obstante, la flexibilidad hacia
satisfacer la cobertura (asignación parcial), es un paso muy interesante hacia resolver
problemas en la practica.
e) Recocido Simulado
El algoritmo de recocido simulado (Simulated Annealing Algorithm - SAA) pertenece una clase de Algoritmos de búsqueda local (Local Search Algorithms – LSA) comúnmente llamada Algoritmos de Umbral (Threshold Algorithm - TA). Hay dos razones por las cuales los TA resultan interesantes dentro de los LSA:
i. parecen andar bien en una amplia gama de problemas reales (prácticos)
ii. algunos TA, como el SAA, tienen características que permiten hacer un análisis de la convergencia.
Analogía Física. El método del recocido se utiliza en la industria para obtener materiales mas resistentes, o mas cristalinos, en general, para mejorar las cualidades de un material.
El proceso consiste en “derretir” el material (calentarlo a muy alta temperatura). En esa situación, los átomos adquieren una distribución “azarosa” dentro de la estructura del material y la energía del sistema es máxima. Luego se hace descender la temperatura muy lentamente por etapas, dejando que en cada una de esas etapas los átomos queden en equilibrio (es decir, que los átomos alcancen una configuración óptima para esa temperatura). Al final del proceso, los átomos forman una estructura cristalina altamente regular, el material alcanza así una máxima resistencia y la energía del sistema es mínima.
criterio de cambio de la temperatura (“cuanto tiempo” se espera en cada etapa para dar lugar a que el sistema alcance su “equilibrio térmico”).
Brusco and Jacobs (1995), combinan el recocido simulado y una búsqueda local
heurística simple para generar horarios cíclicos para operar organizaciones
continuamente. Comúnmente las organizaciones que dan servicio a demanda continua
permiten que los horarios de sus trabajadores empiecen a cualquier hora del día. Este
problema es más bien excepcional y genera procesos de horario más complejos que los
tipos de listas de horario.
El trabajo se concentra sobre el personal externo comparando el costo de personal
alternativo con opciones de horario. Brusco and Jacobs llaman a su problema como
problema de gira de horarios (tour scheduling problem), este determina diariamente
cambio de horario y semanalmente días de descanso asignación para empleados a
través de un especifico horizonte del tiempo. Un enfoque que involucra una reducción
del problema que prohíbe el uso de cambio de horario diario que se pueda empalmar
con las 24 horas del próximo periodo. El problema matemático asociado con esta
reducción es referida como la formulación “gira-horario discontinua”. Sin embargo el
articulo esta orientado hacia el personal staff, una contribución interesante es el manejo
de trabajo como tiempo parcial, las asignaciones no son restricciones para predefinir los
horarios, y el enfoque puede abordar diferentes clases de problemas reales que no
necesitan ser resueltos por optimización.
f) Búsqueda Tabú
La búsqueda tabú es una técnica heurística que puede utilizarse en combinación con algún otro método de búsqueda para resolver problemas de optimización combinatoria con un alto grado de dificultad.
Dowsland (1998),
hace uso de diferentes estrategias de búsqueda de vecindad en un algoritmo de búsqueda tabú. La heurística oscila entre soluciones factibles de encontrar el personal requerido y concentrar horarios que prefieren los trabajadores. En cualquier tiempo del periodo planeado, el algoritmo tiene que probar suficiente personal con las cualidades requeridas, en tanto que la satisfacción de las personas mediante la concesión de lasLo atractivo del trabajo es que los patrones difieren de persona a persona. En lugar de
diseñar un algoritmo genérico ampliamente aplicable, el modelo se ha desarrollado para
solucionar el problema en la programación de personal de un hospital y produce muy
buenos resultados de calidad para esos datos. El artículo es interesante porque habilita
la búsqueda para ir y regresar desde la región factible a la región no factible.
Bellanti et al. (2004), presentan un algoritmo para resolver un problema particular de
un hospital italiano, hacer frente a un problema del mundo real, ellos manejan un largo
conjunto de restricciones, que ellos dividen dentro de restricciones de cobertura y
contractual y requerimientos operacionales. Algunas inevitables modificaciones han sido
incorporadas al modelo, por ejemplo permitir una desviación entre los requerimientos de
cobertura y el número actual de enfermeras programadas. La investigación ha resultado
en el desarrollo de un sistema de software que esta actualmente en uso en el hospital.
Estos resultados mejoraron en aquéllos generados manualmente en el hospital y el
tiempo de computación es satisfactoriamente bajo.
Bellanti et al, describen en detalle cómo se construye una solución inicial. Aplicando
diferentes procesos multi-start, diferentes soluciones iniciales son generadas, desde las
cuales la mejor es tomada por el procedimiento de búsqueda local. Un método de
búsqueda tabú y una iteración en el enfoque de búsqueda local han sido desarrollados.
Ambos técnicas superan, una búsqueda de enfoque multi-start local y una reiterada
búsqueda local, parecen ejecutar ligeramente mejor que la búsqueda tabú. Los datos de las
pruebas que se generan aleatoriamente se pueden solicitar.g) Algoritmos Genéticos.
Tanomaru (1995), presenta un algoritmo genético para resolver un problema de
programación de horarios del personal. El objetivo es minimizar el total de salario donde
el número de personal es no fijo. La solución tiene que encontrar el total del
requerimiento de la fuerza de trabajo mientras se respete el número máximo de horarios
de cada uno de los turnos de trabajo. El tiempo extra es permitido, no obstante, a pesar
soluciones para el personal son representadas por siete pares de enteros, dando el
inicio y fin de horarios por día. Para problemas de la vida real, Tanomaru concluye que
su heurística con operadores de mutación puede consumir demasiado tiempo. También
el número de variables que se abordan son muy pocas.
Aickelin 2000, plantea problemas de programación de horarios, donde el enfoque es
un complejo algoritmo genético cooperativo. El problema de conocimiento específico es
usado para guiar al operador cruzado y al operador de ascenso en colinas con el
algoritmo. Las restricciones de software sobre el personal de la programación de
horarios no son evaluadas. En el presente enfoque se trata de descomponer el
problema en “más sencillos para resolver” sub-problemas. La habilidad de las
categorías, son manejadas de una manera jerárquica en la que la gente de calificación
alta puede remplazar a los de calificación baja. Este es una importante contribución y
esto trabaja muy bien para el problema de programación de horarios del personal. Este
método se aborda en el capítulo 3.
Conclusiones
En esta sección hemos revisado brevemente artículos, en los cuales los autores que
han utilizado un amplio espectro de modelos, métodos y enfoques al problema de la
programación de horarios al personal (Scheduling) y al problema de asignación de
personal a horarios de trabajo (Employee Timetabling). El problema de programación de
horarios al personal ha atraído la atención de científicos desde la Investigación de
operaciones y la Inteligencia Artificial por alrededor de 40 años. Muchos de estos
modelos han sido presentados y discutidos son demasiado simples para ser
directamente aplicados a un centro de atención telefónica Este punto es aun más
crítico si consideramos problemas modernos en largos, ocupados y complejos centros
de atención telefónica, que tienden no sólo a comunicar entre estados del país y
continentes, sino también a trasladar los recursos de manera virtual entre un punto y
otro, es decir, si en un centro de atención de un poblado pequeño se activa un servicio
en la madrugada seguramente el centro de atención telefónica de ese lugar ya estará
cerrado por lo que le contestaran en algún centro de atención telefónica que esté
disponible, pero en un tiempo no muy lejano es posible que necesitemos el teléfono del
restaurante de la esquina y nos contesten en otro país, ejemplo China, y nos den la
información que necesitemos, todo esto es necesario incorporarlo en una adecuada
asignación de personal a horarios de trabajo, para estar a la vanguardia de la
tecnología.
C a p í t u l o I I .
MODELOS MATEMÁTICOS
“La llave del éxito en la vida es el conocimiento del valor de las cosas”.
John Boyle O’Reilly
Resumen del capitulo
En este capítulo se presentan los modelos matemáticos empleados en la presente investigación: Programación Lineal, se dan sus características, su forma canónica y estándar, sus requisitos para la formulación de un problema y se ilustra con un modelo de programación lineal de la distribución del trabajo semanal de las operadoras telefónicas. Series de tiempo, se definen los conceptos básicos de las series de tiempo, se determinan cuales son los pasos necesarios para realizar series de tiempo: detectar outlier, son datos que se refieren a puntos de la serie que se escapan de lo normal, se detecta la tendencia, representa el comportamiento predominante de la serie, se determina la variación estacional que representa un movimiento periódico de la serie de tiempo, para la presente investigación la serie de tiempo esta dada por días. Se da un panorama de los tres modelos clásicos de la serie de tiempo: el aditivo, multiplicativo y mixto y cada modelo se expresará como suma o producto de tres componentes: tendencia, estacional y un término de error aleatorio. Todo esto para poder predecir, que es estimar el futuro utilizando información del presente y del pasado. El conocimiento del futuro nos capacita para planificar, prever o prevenir. Análisis Combinatorio, su fórmula, propiedad y la explosión combinatoria a través de fórmulas y ejemplos con el principio de Dirichlet que muestra como tratar el problema en sus diversos enfoques, que ayudan a comprender la complejidad con la que nos estamos enfrentando.
1. PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal es el nombre de una de las ramas de la matemática aplicadas que maneja como resolver problemas de asignación de recursos limitados entre actividades competidoras de la mejor manera posible (óptima). Los problemas de la programación lineal tienen como característica distintiva que las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales.
El modelo general de la programación lineal consiste en: 1. Función objetivo.
2. Restricciones funcionales. 3. Restricciones de no Negatividad
La minimización de una función f(x), es matemáticamente equivalente a la maximización de la expresión negativa de ésta función, es decir:
Minimizar f(x) = Maximizar –f(x) Restricciones funcionales:
Pueden ser: Menor o igual (≤), menos (-) mayor igual (≥); Únicamente un signo ocurre para cada restricción.
Restricciones de no Negatividad: La incógnita o variables de decisión no pueden ser negativas ya que no tienen ningún sentido real, ya que no podemos decir, se requiere menos dos personas para realizar tal actividad.