de proposiciones. Una proposición consta de dos o más términos conceptuales unidos por palabras (palabras de enlace) para formar una unidad semántica.
Los mapas conceptuales deben ser jerárquicos. La jerarquía implica que los conceptos más generales e inclusivos deben situarse en la parte superior del mapa y los conceptos progresivamente más específicos y menos inclusivos, en la parte inferior.
Tomado de: http://www.deciencias.net/disenoud/actividades/act1.htm
Todas las actividades anteriores fueron pensadas para la educación presencial. Recordemos que nos interesa considerar también la modalidad a distancia. Antes de continuar realice la actividad siguiente.
Actividad 6.1.
¿Cuáles de las actividades de aprendizaje anteriores son aplicables a la situación de la educación a distancia?
Una vez identificadas las estrategias que se aplican a la educación a distancia, ¿qué modificaciones considera necesarias para adaptarlas a esa modalidad?
En su experiencia personal como estudiante de la UNA qué actividades de aprendizaje usan con mayor frecuencia los asesores de Matemática en su Centro Local.
Al momento de seleccionar las actividades de aprendizaje, usted debe tener en cuenta la diversidad de éstas y su adaptabilidad al caso particular de las matemáticas. Creemos que en general todas las actividades de aprendizaje presentadas arriba pueden ser adaptadas para el caso de unidades didácticas sobre temas de matemáticas, y en particular de álgebra lineal. A esta lista de actividades agregaremos la proposición de problemas.
Proposición de problemas
El enfoque de la enseñanza de las matemáticas centrado en problemas ha puesto demasiado énfasis en la resolución de problemas y ha descuidado, y prácticamente olvidado la proposición de problemas. La capacidad o destreza para generar nuevos problemas, bien sea a partir de problemas dados u originales, es tan importante en matemáticas como la habilidad para resolver problemas propuestos por otros. Dado que la proposición de problemas es poco practicada en la enseñanza de las matemáticas le ofreceremos a continuación algo más de detalles sobre ésta.
El futuro matemático debe estar preparado para plantearse problemas de investigación, lo cual requiere reconocer que las ciencias matemáticas no son un cuerpo acabado de conocimientos. En otros términos, el futuro matemático debería apreciar el hecho que en matemáticas hay una gran cantidad de preguntas interesantes que permanecen abiertas,
Universidad Nacional Abierta
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más aún, que hay una cantidad incontable de preguntas por formularse. El estudiante de matemáticas debe prepararse para incorporarse a la discusión que se lleva a cabo en su disciplina. La presentación de las matemáticas como un conjunto predeterminado de hechos a ser transmitido por el profesor y adquirido por los estudiantes, envía el mensaje que los estudiantes y los profesores están separados de aquellos que crean las matemáticas (Making Mathematics, 2003).
Preparar un investigador en matemáticas exige que los estudiantes se vean a si mismos como practicantes, como matemáticos aficionados de quienes se espera que creen y trabajen en sus propias preguntas o problemas. Hacer investigación requiere de una serie de preguntas e indagaciones. En el proceso de creación de nuevos conocimientos hay que tener en cuenta conocimientos previos ya establecidos. Las buenas investigaciones conducen al establecimiento de conexiones entre resultados relacionados. Es importante resaltar este punto, las ciencias matemáticas no son un conjunto de hechos y procedimientos aislados que se aprenden y comprenden cada uno por su lado, sin relacionarlos unos con otros (Making Mathematics, 2003).
Cuando la unidad didáctica incluye actividades de aprendizaje de proposición de problemas puede contribuir a cambiar la visión de las matemáticas. Cuando los estudiantes son puestos en la posición de proponerse sus propios problemas, sus preguntas matemáticas originales, y ven que esas preguntas se convierten en el centro de la discusión del grupo, su percepción de las ciencias matemáticas tiene que ser alterada profundamente. Ya no se limita la actividad a resolver problemas propuestos por el profesor. De esta manera el estudiante pasa de ser un espectador a ser autor y actor. Cuando en la clase se invierte tiempo en discutir sus problemas, los problemas creados por ellos mismos, se incrementa el interés y la motivación por estudiar matemáticas (Making Mathematics, 2003).
En lo que sigue consideraremos dos conjuntos uno de movimientos o maneras de cambiar un problema y otro de preguntas nuevas que nos podemos plantear acerca de viejos problemas.
Maneras de cambiar un problema Cambiar los números
Cambiar la geometría
Cambiar la operación
Cambiar los objetos bajo estudio
Remover una condición, o agregar una nueva condición.
Remover o agregar un contexto
Repetir un proceso. (Making Mathematics, 2003)
No presentaremos detalles de cada uno de estos movimientos para producir nuevos problemas a partir de un problema conocido. Mostraremos un ejemplo para uno de ellos. Cambiar los objetos bajo estudio
En lugar de considerar sólo números reales, podemos trabajar con vectores, matrices o funciones como los términos o factores. Veamos el siguiente ejemplo. Tenemos que 2 + 2 = 2 * 2, en general los estudiantes no suelen buscar más ejemplos de números que satisfagan esta propiedad, tal vez el 0 es una excepción. Sería interesante tratar de encontrar pares números racionales e irracionales que cumplan esa condición. Pensando en considerar otros objetos qué tal si probamos con matrices. ¿Hay pares de matrices 2x2 que multiplicadas y sumadas den el mismo resultado? Veamos un caso.
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Didáctica del Álgebra Lineal y la Probabilidad
1/3 1/4 1/3 1/4 1/3 1/4 1/3 1/4 1 1/3
. = + =
3 3/2 3 3/2 3 3/2 3 3/2 6 3
Otro caso es el de la matriz:
1 2 1/2 1/3 1 2 1/2 1/3 3/2 7/3
. = + =
3 4 1/2 1 3 4 1/2 1 7/2 5
¿Qué propiedades tiene este par de matrices? ¿Hay pares de matrices con valores enteros? Diferentes del caso trivial,
2 0
0 2
(Adaptado de Making Mathematics, 2003)
Otra manera de generar problemas a partir de situaciones conocidas es planteándose Nuevas preguntas para viejos problemas
¿Cuál es el mínimo o el máximo valor posible?
¿Cuántos …?
¿Cuál es la inversa de esta pregunta?
¿Cuál es el procedimiento?
¿El objeto descrito existe?
¿Podemos generalizar el problema?
¿Cuál es la explicación subyacente para los patrones y estructuras que encontramos? (Making Mathematics, 2003)
Para más detalles sobre los movimientos y estas preguntas visite el sitio del proyecto Making Mathematics en la dirección: http://www2.edc.org/makingmath/default.asp.
Esta lección estuvo dedicada a los objetivos de aprendizaje y a las actividades de aprendizaje, dos de los elementos de la unidad didáctica. Distinguimos entre dos tipos de objetivos de aprendizaje, de destrezas y actitudinales, y resaltamos la importancia de contar con buenos objetivos de aprendizaje. Revisamos un conjunto de actividades de aprendizaje y discutimos su adaptación a las matemáticas y a la educación a distancia. En especial tratamos en detalle la proposición de problemas, por ser esta actividad de aprendizaje muy poco usada y tener mucha importancia para la formación de matemáticos investigadores. Cerramos reasaltando que lo más importante es que organicemos la unidad de aprendizaje de manera que le ofrezcamos oportunidades de aprendizaje a todos los estudiantes sin distinción alguna y con el propósito de que todos alcances los mayores niveles de desarrollo cognitivo.