Stage 4 ~ data collection

La direcci´on de −→ω difiere de la de −→J a no ser que: I1 = I2 = I3; es decir, cuerpos esf´ericos,

o, para el caso de tener rotaci´on sobre un eje principal, por ejemplo, x0₃, donde ω0₁ = ω₂0 = 0.

4.2.

GWs generadas en sistemas axialmente sim´etricos

que precesan

En general, cuando la direcci´on del momento angular total con concuerda con un eje principal de inercia, se puede considerar el movimiento del cuerpo r´ıgido como la combinaci´on de rotaci´on alrededor de un eje principal y movimiento de precesi´on de dicho eje con respecto a la direcci´on del momento angular. Veremos que sistemas en libre precesi´on pueden producir radiaci´on gravitacional, lo que significa una p´erdida de energ´ıa continua.

En esta secci´on se analizar´an las ecuaciones generales que nos permiten calcular las GWs generadas por precesi´on libre, y luego, las adaptaremos para el caso en que la frecuencia angular de precesi´on se determina por el efecto BP.

Sea (x1, x2, x3)el sistema de referencia fijo con respecto al cual, nuestro cuerpo r´ıgido es

aislado y su momento angular total −→J es conservado. Elegiremos a x3 como el eje en cuya

direcci´on se encuentra −→J . Ahora bien, introduzcamos el BF, solidario al cuerpo rotante y cuyos ejes coinciden con los ejes principales de inercia (x0₁, x0₂, x0₃). La relaci´on entre estos sistemas est´a dada por los ´angulos de Euler (α, β, γ).

Para pasar la BF del marco inercial fijo se deben hacer tres rotaciones sucesivas: una alrededor de x3 de valor β, seguida de una rotaci´on alrededor de la l´ınea de nodos en un ´angulo α

y por ´ultimo, una rotaci´on alrededor de x0₃ en un ´angulo γ (ver figura 4.2) La matriz que realiza esta transformaci´on la podemos escribir de la forma:

Rij =     cosγ sinγ 0 −sinγ cosγ 0 0 0 1         1 0 0 0 cosα sinα 0 −sinα cosα         cosβ sinβ 0 −sinβ cosβ 0 0 0 1     (4.7)

Figura 4.2: El segmento indicado con la letra N representa la l´ınea nodal donde los planos se cortan.

Note que en el marco fijo,−→J = (0, 0, J ), por lo que podemos escribir sus componentes en el BF empleando la matriz Rij : J 0 i = RijJj = Ri3J , obteniendo: J₁0 = R13J =J sinγsinα J₂0 = R23J =J cosγsinα J₃0 = R33J =J cosα (4.8)

Tambi´en podemos escribir las J_i0 en t´erminos de ˙α, ˙β y ˙γ al definir los vectores velocidad angular asociados a los ´angulos de Euler, representados en la figura (4.2):

˙

α est´a asociada a las rotaciones en el plano definido por x3 y x 0

3. Las componentes de

˙

α en el plano BF son: ( ˙αcosγ, − ˙αsinγ, 0). ˙

β es asociada a rotaciones en el plano (x1, x2) y dirigida seg´un x3. Sus componentes

en el BF son: ( ˙βsinγsinα, ˙βcosγsinα, ˙βcosα).

˙γ est´a asociada a las rotaciones en el plano (x0₁, x0₂) y dirigida seg´un x0₃. Sus componentes en el BF son: (0, 0, ˙γ).

Ahora, usando estos vectores podemos reescribir el vector velocidad angular total del cuerpo r´ıgido, con componentes en el BF dadas por:

ω₁0 = ˙αcosγ + ˙βsinγsinα ω₂0 = − ˙αsinγ + ˙βc0sγsinα ω₃0 = ˙βcosα + ˙γ

4.2 GWs generadas en sistemas axialmente sim´etricos que precesan 47

y como el tensor de incercia en este marco es diagonal, se puede escribir a las compponentes del momneto angular (4.8) en este sistema como:

J₁0 =I1( ˙αcosγ + ˙βsinγsinα)

J₂0 =I2(− ˙αsinγ + ˙βc0sγsinα)

J₃0 =I3( ˙βcosα + ˙γ)

(4.10)

esto construye un sistema de tres ecuaciones diferenciales de primer orden con par´ametros α, β y γ donde J, I1, I2 e I3 son constantes. Para cuerpos con simetr´ıa axial2 este sistema

tiene una soluci´on simple, donde I1 = I2. Esta soluci´on es:

˙ α = 0 ⇒ α = cte. ˙ β = J I1 = cte; si α 6= 0 ˙γ = ˙βcosα I1− I3 I3  . (4.11)

De aqu´ı se concluyer que para sistemas con simetr´ıa axial y en ausencia de torques, el ´angulo de precesi´on permanece constante. La evoluci´on de los ´angulos β y γ ocurre uniformemente. De lo anterior, definimos la velocidad angular de precesi´on como la componente en direcci´on del momento angular (Ωprec ≡ ˙β); y por conveniencia se estalece una relaci´on para esta

cantidad en t´erminos de ω₃0, ya que en discos de acreci´on est´a relacionada con la velocidad angular kepleriana. De (4.9) se llega a:

ω₃0 = ˙γ + ˙βcosα = ˙βcosα I1− I3 I3 + 1  = ˙βcosαI1 I3 (4.12)

donde hemos hecho uso de la ecuaci´on (4.11). As´ı:

˙ β ≡ Ωprec= J I1 = I3 I1 ω₃0 cosα (4.13)

Cabe se˜nalar que la velocidad angular de precesi´on dada en (4.13) se aplica al proceso de precesi´on libre de torques, el cual se da siempre que la direcci´on del momento angular del disco ( ~J = ~Jd), con concuerde con el eje plincipal de inercia x

0

3, siendo el ´angulo entre ellos

α.

Con estos resultados y haciendo la transformaci´on Iij = (RTI 0

R)ij, es posible calcular la 2_{Esta es nuestra situaci´on de inter´es, ya que los discos de acreci´on tienen esta semetr´ıa en el r´egimen}

estacionario. Por esta raz´on, de ahora en adelante nos referiremos al cuerpo r´ıgido en estudio como el disco de acreci´on.

evoluci´on del tensor de inercia en el marco fijo, obteniendo: I11= 1 2(I1− I3) cos2β sin 2_{α + cte} I12= 1 2(I1− I3) sin 2_{α sin2β}

I13= −(I1− I3) sinα cosα sinβ

I22= −

1

2(I1− I3) sin

2

α cos2β + cte I23= (I1− I3) sinα cosα cosβ

I33= I1sin2α + I3cos2α

(4.14)

Ahora, usamos la relaci´on entre el tensor de inercia y el momento de cuadrupolo Mij =

−Iij + Cij, y adicionamos las solucones obtenidas para los ´angulos de Euler, entonces:

¨

M11= 2(I1− I3)Ω2precsin

2_{α cos2Ω}

prect = − ¨M22

¨

M12= 2(I1− I3)Ω2precsin

2_{α sin2Ω} prect

¨

M13= −(I1− I3)Ω2precsinα cosα sinΩprect

¨

M23= (I1− I3)Ω2precsinα cosα cosΩprect

¨ M33= 0

(4.15)

Por lo tanto, hay emisi´on de GWs a dos frecuecnias, que son:

ωGW = 2Ωprec y ωGW = Ωprec (4.16)

Para las expresiones de las amplitudes, tomamos en caso de rotaci´on pura, donde θ es el ´

angulo de visi´on, y ϕ = 0, entonces: h+(t, r, θ) = G rc4[ ¨M11− ¨M22cos 2_{θ + ¨M} 23sin2θ] h×= 2G rc4[ ¨M12cosθ − ¨M13sinθ] (4.17)

y si incluimos el resultado (4.15), entonces:

h+ = A+,1cosΩprect + A+,2cos2Ωprect

h× = A×,1sinΩprect + A×,2sin2Ωprect

(4.18) donde:

A+,1 = h0sin2α sinθ cosθ

A+,2 = 2h0sin2α [1 + cos2θ] A×,1 = h0sin2α sinθ A×,2 = 4h0sin2α cosθ h0 = − g c4 (I3− I1)Ω2prec r (4.19)