La transformada wavelet continua CWT se define como:
CW Tx(a, b) = Z x(t)ψa,b∗ (t)dt, (A.10) con ψa,b(t) = 1 p |a|ψ t−b a , a, b∈R;a6= 0 (A.11)
ConΨ(t)como wavelet madre, el conjunto {ψa,b(t)} forma una base ortonormal
en L2(R). Esto implica que a partir de este conjunto se puede generar cualquier funci ´on enL2(R). En esta transformada, la funci ´on waveletψ(t)act ´ua como ventana, donde la variable, a, determina su ancho y la variable, b, determina su ubicaci ´on en el dominio del tiempo. De acuerdo a esto, se identifica a la variable, a, como variable de escala con la cual se comprime o dilata la funci ´on ψ(t) y establece el grado de resoluci ´on con el cual se analiza la se ˜nal x(t), la variable, b, se identifica como variable de traslaci ´on y determina la posici ´on de la funci ´on ventana sobre la se ˜nal analizada (Daubechies , 1992). As´ı, con la CWT se logra expresar una se ˜nal continua en el tiempox(t)como una expansi ´on en t ´erminos de versiones escaladas y trasladadas de la funci ´on ψ(t), cuyos coeficientes son proporcionales al producto interno entre la se ˜nal y las versiones respectivas deψ(t).
Algunos ejemplos de funciones wavelets se muestran en la figura A.5.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 Wavelet Haar 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 Wavelet Daubechie 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 Wavelet Coiflet 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 Wavelet Symmlet
Figura A.5. Funciones wavelets m ´as comunes
De acuerdo a la definici ´on de la CWT puede concluirse que m ´as que una repre- sentaci ´on tiempo-frecuencia, es una representaci ´on tiempo-escala. Esto en raz ´on de que las bajas frecuencias de una se ˜nal se analizan con escalas altas, obteni ´en- dose una buena resoluci ´on en frecuencia, mientras que los detalles de la se ˜nal, co- rrespondientes a las altas frecuencias, se analizan con bajas escalas, obteni ´endose una buena resoluci ´on en tiempo. En este sentido, se dice que la escala y la frecuen- cia tienen una relaci ´on inversa.
operan como filtros pasa-banda y se cumple que:
c= ∆f
f , (A.12)
donde ∆f es su ancho de banda, f es la frecuencia central de la banda y c es una constante. Desde este punto de vista, las funciones wavelets pueden ser vistas como bancos de filtros con una banda de paso relativamente constante (un an ´alisis de Q-constante) (Englehart, 1998).
As´ı mismo, recordemos que en el an ´alisis con la STFT se tiene una resoluci ´on temporal∆t fija y una resoluci ´on en frecuencia ∆f restringida a la desigualdad de Heisenberg, ∆t·∆f ≥ 1
4π, lo que produce una partici ´on regular del plano tiempo-
frecuencia. En el an ´alisis wavelets, con una resoluci ´on temporal∆t′y una resoluci ´on
de frecuencia∆f′de la funci ´on waveletψ(t), se puede demostrar que para la versi ´on
escalada y trasladadaψa,b(t), las resoluciones temporal y de frecuencia son respec-
tivamente:
∆t′ =
|a|∆t y ∆f′ = 1
|a|∆f . (A.13)
De manera que la partici ´on del plano tiempo-frecuencia no solo resulta con cel- das no uniformes sino que dependen directamente de la escala a. As´ı, a bajas escalas (altas frecuencias) las celdas son estrechas y altas, mientras que para es- calas altas (bajas frecuencias), las celdas son anchas y bajas (ver: figura 4, Capitulo 2). Aun as´ı, la localizaci ´on tiempo frecuencia de cada funci ´on wavelet escalada y trasladada estar ´a restringida por la desigualdad de Heisenberg:
∆t′·∆f′ = ∆t·∆f ≥ 1
4π (A.14)
Desde un punto de vista intuitivo, la CWT consiste en calcular un ´ındice de seme- janza entre la se ˜nal que est ´a siendo analizada y la wavelet seleccionada (De Castro , 2002), tal como se muestra en la figura A.6. El proceso de c ´alculo de la CWT consiste en seleccionar una wavelet madre con un valor inicial para las variablesa
y b, compararla con un intervalo inicial de la se ˜nal y determinar el coeficiente de correlaci ´onca,b, entre la wavelet y la secci ´on de la se ˜nal bajo an ´alisis. Entre mayor
sea el valor del coeficiente mayor ser ´a la similitud, de all´ı que los resultados del an ´alisis dependen mucho de la funci ´on wavelet elegida para el an ´alisis. Y mediante variaciones de la variable de traslaci ´onb se recorre sucesivamente toda la se ˜nal de
an ´alisis para determinar todos los coeficientes del nivel de escala a. Este proceso se repite para cada valor de escalaadeseado, seg ´un la profundidad de an ´alisis que se desee.
Figura A.6. Modo de operaci ´on de la transformada wavelet continua CWT (De Castro , 2002)
Propiedades de las wavelets
Las propiedades m ´as importantes de las wavelets son las condiciones de admisi- bilidad y de regularidad, y son las propiedades que le dan a una wavelet su nombre (Alfred M. , 1999). Se puede mostrar que una funci ´on ψ(t)cuadrado integrable sat- isface la condici ´on de admisibilidad si se cumple que:
Z
|Ψ(w)|2
|w| dw <+∞, (A.15)
por lo que puede ser utilizada para analizar y sintetizar una se ˜nal sin p ´erdida de informaci ´on. Aqu´ıΨ(w)representa la transformada de Fourier deψ(t). La condici ´on de admisibilidad implica tambi ´en que la transformada de Fourier de ψ(t) es nula a frecuencia cero, esto es
|Ψ(w)|2w=0 = 0, (A.16)
lo que significa que la wavelet tiene un espectro similar a una banda de paso, caracter´ıstica muy importante para la implementaci ´on de la transformada wavelet de manera r ´apida y eficiente. Que el espectro sea nulo a frecuencia cero significa tambi ´en que el valor promedio temporal de la wavelet es cero, es decir:
Z
ψ(t)dt= 0, (A.17)
por tantoψ(t)puede tratarse como una onda oscilatoria.
La condici ´on de regularidad establece que la funci ´on wavelet debe tener alguna suavidad y concentraci ´on tanto en el tiempo como en la frecuencia. Es un concepto
un tanto complejo que puede intentarse explicar desde el concepto de momentos de desvanecimiento. Si se expande la transformada wavelet dada por la ecuaci ´on (3.2), en series de Taylor hasta el ordenn, haciendo b = 0 por simplicidad, y para
t= 0, se llega a CW Tx(a, b) = 1 √ a " n X p=0 x(p)(0) Z tp p!ψ t a dt+O(n+ 1) # , (A.18)
dondex(p) representa la derivada de ordenn dexyO(n+ 1)representa el resto de la expansi ´on.
Ahora si se define los momentosMp de una wavelet por:
Mp =
Z
tpψ(t)dt, (A.19)
entoces se puede reescribir la expansi ´on en series de Taylor de la forma:
CW Tx(a, b) = 1 √ a x(0)M0a+ x(1)(0) 1! M1a 2+...+ x(n)(0) n! Mna n+1+O(an+2) (A.20) De la condici ´on de admisibilidad se tiene queM0 = 0(momento de orden nulo), por tanto el primer t ´ermino de la serie en la ecuaci ´on (3.12) se elimina. Y si se logra hacer que los momentos restantes hasta el de ordenntambi ´en sean nulos, entonces los coeficientes de la transformada waveletsCW Tx(a, b)decaer ´an tan r ´apido como
a(n+2)para una se ˜nal suavex(t). Esto se conoce en la literatura como momentos de desvanecimiento u orden de aproximaci ´on. De esta manera, si una wavelet tieneN
momentos de desvanecimiento, entonces el orden de aproximaci ´on de la transfor- mada wavelet ser ´a tambi ´en N. Los momentos no tienen que ser exactamente iguales a cero, un valor suficientemente peque ˜no tambi ´en ser ´a aceptado. De hecho, investi- gaciones experimentales sugieren que el n ´umero de momentos de desvanecimiento requeridos depende principalmente de la aplicaci ´on.
En resumen, la condici ´on de admisibilidad determina la forma de onda y la condici ´on de regularidad (junto con los momentos de desvanecimiento) determina la velocidad con que La onda decae, y las dos condiciones juntas determinan a la wavelet.