Una cadena de Markov23 es una serie de eventos en donde la probabilidad que ocurra un evento depende del evento anterior inmediato. Las cadenas de Markov sirven para analizar el comportamiento de determinados tipos de procesos estocásticos y representan un sistema que varía su estado a lo largo del tiempo, existiendo en cada cambio una transición, estos cambios no están predeterminados, aunque si lo está la probabilidad del próximo estado en función de los estados anteriores, probabilidad que va a ser constante a lo largo del tiempo.
Se dice que un proceso estocástico es una cadena cuando el espacio de estados es discreto, es decir S∈
{
0,1, 2...}
, y una cadena de Markov en tiempo discreto es un proceso estocástico en el que S es discreto y T también lo es.{
}
{
}
(
1 1 2 2 0 0) (
1 1)
Proceso estocastico: : 0,1, 2,... , 0,1, 2... , ,..., . n n n n n n n n n Y n S P Y A Y− y − Y− y − Y y P Y A Y− y − = = ∈ = = = = ∈ = (51)Una cadena de Markov
{
Y nn, ≥0}
es un proceso estocástico que satisface la propiedad de pérdida de memoria, en donde el futuro es independiente del pasado, dado el estado presente del proceso.Los estados en las cadenas de Markov se pueden clasificar de la siguiente forma:
22
Técnica usada por primera vez en Hastings (1970)
23
Accesible: l es accesible desde k si hay alguna secuencia de transiciones de k
a l con probabilidad no nula, en donde:
( )
0 0 kl n P n > >Comunicantes: los estados k y l son comunicantes, solo si son accesibles entre si; en donde si representamos k ↔l y l↔m entonces también podemos encontrar que k ↔m.
Absorbente: Un estado absorbente es aquel en que Pkk =1, por lo cual es
imposible abandonarlo.
Recurrente: El estado k es recurrente, si la probabilidad de regresar alguna vez a él es de 1. 1 1, kk P ∞ =
∑
un estado i es recurrente positivo si el tiempo esperado hasta que la cadena vuelva al estado i partiendo de éste es finito.
Un estado i es recurrente nulo si el tiempo esperado hasta que la cadena vuelva a i desde éste es infinito.
Periódico: Un estado es periódico con periodo d, solo si se puede regresar a él
después de d pasos.
Aperiódico: Un estado es aperiódico, o con periodo d=1, si se puede regresar a él en cualquier momento.
Transitorio: Un estado es transitorio, si la probabilidad de regresar a él alguna vez es menor que 1.
Existen los siguientes tipos de cadenas de Markov:
• Irreducible, si para toda i y j, existe n tal que Pijn >0. En una cadena irreducible son todos los estados recurrentes o transitorios.
• Aperiódica, si el mayor de los divisores comunes de
{
n P; ijn >0}
=1.• Absorbente, si tiene al menos un estado absorbente accesible desde cualquier otro estado.
• Regular, Si es posible ir de un estado a otro exactamente en n pasos en donde:
( )
0 0 kl n P n > >• Recurrente, si P
(
La cadena de Markov regresa a inicio en i i)
=1, para toda i y es recurrente positiva,• Ergódica, si es irreducible, aperiódica y recurrente y
{ }
πj es la colección de probabilidades, tal que:lim ijn j n→∞P =π Y i ij j i P π =π
∑
Las probabilidades de transición a un paso se definen como la probabilidad de ir del estado i al estado j desde el instante n al instante n+1.
( )
(
1)
.ij n n
P n =P Y+ = j Y =i
Una cadena de Markov de tiempo discreto es homogénea si las probabilidades de transición no dependen del instante n.
( ) ( ) .
ij ij ij
P n =P n+m =P
La condicionalidad de los datos se describe por la propiedad de pérdida de memoria, mediante las cadenas de Markov; la generación de los parámetros en el modelo MCMC se lleva a cabo mediante la simulación Monte Carlo que se explica en la siguiente sección.
3.3 Simulación Monte Carlo
24La Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora. A través de los experimentos se trata de describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real comprendiendo en cada experimento ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas.
Las etapas del proceso de simulación son los siguientes:
Definición, descripción del problema
Para poder simular es necesario hacer un análisis preliminar de éste, determinando la interacción con otros sistemas, las restricciones, variables que interactúan y sus interrelaciones.
24Es llamado así por el principado de Mónaco al ser considerado la capital del juego de azar, donde se generaban números
Formulación del modelo.
Se define y construye el modelo que se va a implementar a partir de todas las variables aleatorias y las relaciones que puedan tener entre ellas.
Colección de Datos
Se depuran y organizan los datos que el modelo usará para poder obtener resultados.
Programación
Introducir el algoritmo formulado a una computadora, para que mediante iteraciones obtengamos resultados.
Verificación y Validación del modelo
A través de la verificación se pueden detallar las deficiencias que tenga el modelo, mediante la exactitud en la predicción y la comparación con otros modelos similares.
Interpretación Probabilística de Resultados
En los modelos financieros van a existir varias variables aleatorias interactuando, y estas variables, siguen distribuciones de probabilidad teóricas o empíricas distintas a la distribución uniforme. Por esta razón, para simular este tipo de variables, es necesario contar con un generador de números uniformes y una función que a través de un método específico, transforme estos números en valores de distribución normal.
Existen varios procedimientos para lograr este objetivo, en este trabajo se adoptó el siguiente procedimiento especial para generar números al azar que sigan la distribución de probabilidad.
Para cada tipo de distribución continua, se puede montar una función estocástica; en nuestro caso, una distribución normal puede ser expresado por:
2 1 2 1 ( ) 2 x f x e μ σ πσ − ⎛ ⎞ − ⎜⎝ ⎟⎠ = (52) en donde −∞ < < ∞x
al expresar la distribución acumulada de la distribución normal, se usará el teorema del límite central, el cual establece que la suma de n variables aleatorias independientes se aproxima a una distribución normal a medida que n se aproxima a infinito.
Si x x1, 2,...,xn es una secuencia de n variables aleatorias independientes con
( )
iE x =μ y var( )x =σi2 (ambas finitas) y y=a x1 1+a x2 2+ +... a xn n, entonces bajo ciertas condiciones generales:
1 2 2 1 n i i i n i i i Y a Z a μ μ = = − =
∑
∑
(53) tiene una distribución normal estándar a medida que n se aproxima a infinito.25
25
La simulación Monte Carlo provee como resultado aproximaciones para las distribuciones de probabilidades de los parámetros que están siendo estudiados, y dependiendo del problema pueden usarse diferentes distribuciones de probabilidad,
La simulación Monte Carlo se usa principalmente para generar escenarios o para resolver integrales que no son fáciles de resolver por métodos analíticos, para lo cual se usan números aleatorios, también se usa la simulación Monte Carlo para resolver problemas estocásticos y problemas determinísticos.
El algoritmo de la simulación Monte Carlo se fundamenta en la generación de números aleatorios por el método de Transformación inversa, el cual se basa en las distribuciones acumuladas de frecuencias:
Determinar las V.A. y sus distribuciones acumuladas
Generar un número aleatorio uniforme ∈
( )
0,1 Determinar el valor de la V.A. para el número aleatorio generado de acuerdo a las clases que tengamos.
Calcular media, desviación estándar error y realizar el histograma.
Analizar resultados para distintos tamaños de muestra.
Por lo tanto la simulación de Monte Carlo va ser un proceso computacional que partiendo de distribuciones de probabilidad de alguna o todas las variables de entrada se van a generar números aleatorios que a su vez van a derivar en una distribución de probabilidad para una salida después de una corrida de la simulación.