7 Analysis
7.4 Symbolic power and software development
En la optimización es frecuente el uso de métodos numéricos que permitan describir el comportamiento de las funciones, determinar valores máximos y mínimos que identifiquen la mejor solución para un problema con base a distintas variables ajustables.
Los métodos numéricos pueden agruparse en tres grupos: primer orden, segundo orden y Cuasi-Newtonianos. Para este caso particular nos referimos al método del gradiente que hace parte de los métodos de primer orden.
Para una función ( ), se entiende por óptimo el punto donde la curva es plana, es decir el valor de donde la primera derivada de la función ( ) es cero; para determinar si el óptimo es máximo o mínimo se evalúa la segunda derivada, si "( ) < 0 el punto es un máximo, de lo contrario es un mínimo.
Suponiendo entonces que la función ( ) es diferenciable se pueden tener en cuenta las siguientes definiciones y sustento matemático que describe el método de descenso y ascenso por gradiente. (Gonzalo &Hernández Oliva, 2006)
Definición 1: Sea : → diferenciable. La derivada direccional de la función en la dirección ∈ está dada por:
( ; ) = ( ) ( 49)
Para obtener la dirección de máximo descenso de la función en un punto ∈ tal que
( ) = 0, se debe resolver el problema:
46 Donde
∥ ∥ = 1 ( 51)
La solución de este problema es
= −∥ ( )( ) ∥ ( 52)
Y por lo tanto la dirección de máximo descenso de la función es
= − ( ) ( 53)
Definición 2: El vector ∈ es una dirección de descenso de , función diferenciable, en el punto ∈ si:
( ) ∙ < 0 ⇐⇒ − ( ( ) ) ∙ > 0 ( 54)
A través del método del gradiente, se busca definir una sucesión de puntos que tenga la dirección de máximo descenso de la función . (Gonzalo & Hérnandez Oliva, 2006)
En el caso particular, la sucesión de puntos nombrada en la Definición 2 será utilizada para la búsqueda en dirección de máximo ascenso de la función sobre el sistema discreto teniendo como entrada la intensidad para una par de ángulos láser-muestra.
Las principales consideraciones de diseño son las siguientes:
Paso de la derivada: Se define un paso fijo de 0.1° como paso de derivada de la función de acuerdo a la resolución de los nanorotadores con la que se imita el efecto de derivación sobre la curva.
Alpha: Asume inicialmente un valor para la constante (alpha) de = 0.8, teniendo en cuenta que debe cuidarse la estabilidad del sistema y evitar el excesivo número de iteraciones.
Así pues, la rutina de gradiente ascendente sigue la siguiente lógica para cada par de ángulos laser-muestra, (se tomará como ejemplo el punto 15°-30°):
● Ubicar los nanorotadores en las posiciones deseadas, para la muestra un ángulo de 15° y para el láser un ángulo de 30°, (el láser se ubica al doble del ángulo escogido para la muestra). Esta será denominada como la posición inicial .
47
● Medir intensidad en el punto inicial denotada como
● Para simular el efecto de la derivada se realiza un incremento sobre el ángulo del láser de 0.1 ° (tomado como paso de la derivada) y se ubica el láser en dicha posición denominada .
● Medir la intensidad en el punto y definirla como .
● Calcular el paso de control que indicara la dirección en la que debe realizarse el siguiente movimiento conforme al valor de las intensidades en los puntos ; la magnitud determinará qué tan lejos se encuentra del punto máximo. La relación entre la diferencia de intensidades y el paso de la derivada se conoce como paso de control, es decir:
= − ( 55)
● E iterar hasta hallar un máximo local con la siguiente fórmula:
= − 2 + ( 56)
48
Figura 38. Spot del láser en el detector.
49
Capítulo 4
Posicionamiento
1.1
Rutina de calibración
Para garantizar que las medidas a realizar sean oportunas y se lleven a cabo en los puntos de mayor incidencia, se hace vital la determinación de la posición óptima para que el detector reciba la mayor porción del haz reflejado y efectivamente esta no deba modificarse en todo el proceso.
Es importante tener en cuenta que la activación de esta rutina en el modo manual es de libre elección para el usuario.
Para esto se utiliza la siguiente rutina de calibración:
● Desplazar equipos al ángulo mínimo de reflexión que de acuerdo a la experiencia previa de toma de muestras con la estación sin automatizar corresponde al ángulo mínimo donde se observa incidencia del láser sobre la muestra, es decir, 15° para la muestra y por consiguiente 30° para el láser.
● De la misma manera se identificó un ángulo máximo de incidencia de 80° para el láser en el que aun el haz reflejado llega al detector.
● Ubicar el detector en 0 mm y activar la tarjeta de adquisición de datos DAQ para capturar el nivel de intensidad.
● Realizar un barrido vertical de 0-4 mm para el detector.
● Incrementar la posición de la muestra y láser con saltos de 5° hasta alcanzar 30° y 60° respectivamente. Para cada uno de las posiciones repetir el numeral 3.
● Una vez terminado el proceso se obtiene el valor de máxima intensidad en el DAQ y la posición que registró el detector en ese instante para ubicarlo en dicha posición.
50
Figura 40. Diagrama de flujo para rutina de calibración
El proceso de calibración para el detector se realiza debido a que en trabajos posteriores el usuario debía ajustar manualmente con cada medida la posición vertical del detector con movimientos ascendentes y descendentes que le impedían establecer en ocasiones una única posición.
La implementación de la rutina de calibración se realiza a través de un Sub VI para el cual los parámetros de entrada corresponden al clúster del detector, muestra y laser así como el botón de activación; con estos datos se implementa la secuencia del diagrama de flujo y se obtiene como parámetro de salida al Sub VI la posición calibrada del detector
51