BLES
Como ya se ha dicho, la Inferencia Estadística permite modelizar la in- certidumbre ayudada por el modelo de probabilidad del que se supone que provienen los datos que se están analizando. Como consecuencia de este pro- ceso hay que determinar a partir de los datos disponibles el valor de ciertos parámetros, que van a caracterizar la población con la que se está trabajan- do. Más adelante, Sección 8.2.1. se aprenderá a verificar si el modelo que se ha supuesto puede considerarse como correcto, o si por el contrario debería ser cambiado. Se puede pensar que la manera de ajustar el modelo, es siem- pre a través de una muestra aleatoria simple, sin embargo existen otros tipos de muestras que permiten modelizar la incertidumbre que aparece en los ex- perimentos con los que trata la Estadística. Al estudio de tales nociones se va a dedicar esta sección. Supóngase para fijar ideas que se observa repeti- das veces una población [ v.a. discreta. Si la muestra es aleatoria simple de tamañoq, se tiene que para cualquier p ? q
(1.7.1) S{[p+1= {p+1> ===> [q= {q|[1= {1> ===> [p= {p} = = S {[p+1= {p+1> ===> [q= {q}
ya que por ser independientes las componentes de la muestra S{[p+1= {p+1> ===> [q = {q> [1= {1> ===> [p= {p} = q Y l=1 S{[ = {l} y S{[1= {1> ===> [p= {p} = p Y l=1 S{[ = {l}=
Sin embargo (1.7.1) no parece intuitivo, ya que dice que no se aprende de la experiencia pasada hasta p. La noción de aleatoriedad parece mejor capturada si se dice que S{[1 = {1> ===> [q = {q} no depende de como se
ordenen las q variables aleatorias. Esta idea, más bien de simetría que de dependencia, es la que pretende recoger la siguiente definición.
Definición 1.7.1 (v.a. intercambiables)
La colección de v.a.[1> ===> [q se dice intercambiable si su distribución con-
junta verifica
S{[1 {1> ====> [q {q} = S {[1 {u(1)> ===> [q {u(q)}
para cualquier permutación de losq índices. Esto equivale, si existe función de densidad, a que
i ({1> ====> {q) = i ({u(1)> ===> {u(q))
y, si existe función de masa, a que
s({1> ====> {q) = s({u(1)> ====> {u(q))=
Ejemplo 1.7.1 (tiradas de una chincheta)
Se considera una muestra, en las mismas condiciones siempre, de tiradas de una chincheta, y se hace [l = 1 si en la tirada i-ésima la punta queda
arriba y[l= 0 en caso contrario. En esta situación el orden es irrelevante
y la sucesión de unos y ceros{1> ====> {q es intercambiable en el sentido de la
Definición 1.7.1. Si por el contrario se tiran alternativamente una chincheta y una moneda y si al tirar la moneda se hace[l= 1 si sale cara y [l= 0 en
caso contrario, la sucesión{1===={2q de unos y ceros no será intercambiable, y sí que lo será la sucesión de las tiradas impares (correspondiente a la chincheta) entre sí y la sucesión de las tiradas pares (correspondientes a la moneda).
¥
Desde luego es evidente que si la muestra([1> ====> [q) es aleatoria simple,
la colección de las q variables aleatorias es intercambiable. i ({1> ====> {q) =
q
Y
l=1
i({l)
i({u(1)> ====> {u(q)) = q Y l=1 i({u(l)) = q Y l=1 i ({l)
ya que todas las densidades son iguales a la densidad de la población. El concepto de intercambiabilidad es más débil, por tanto, que el concepto de independencia. Ambos conceptos no son equivalentes, como pone de mani- fiesto el siguiente contraejemplo.
Ejemplo 1.7.2
Supongamos tres v.a.[1> [2> [3cada una de las cuales puede tomar el valor 0 o el valor 1 con función de masa definida mediante
S{[1= 0> [2= 1> [3= 1} = S {[1= 1> [2= 0> [3= 1} = S {[1= 1> [2= 1> [3= 0} = 13=
Cualquier otra combinación de valores tiene probabilidad cero, tanto de las tres en bloque como de dos o de una de las variables. Es evidente que la colección {[1> [2> [3} es intercambiable pero las variables no son
independientes, ya que
S{[1= 0> [2= 1> [3= 1} =1
3 pero
S{[1= 0}S {[2= 1}S {[3= 1} = 0=
Es más, puede probarse que la sucesión no se puede extender a una cuarta v.a. [4 que tome el valor cero o uno, de manera que la colección
{[1> [2> [3> [4} sea intercambiable, véase el Ejercicio 1.9.21.
¥
El desarrollo en profundidad del concepto de intercambiabilidad se sale fuera del ámbito de un curso introductorio como éste, pero se recoge el si- guiente teorema, sin demostración, para que se tenga un mejor conocimiento de su significado.
Teorema 1.7.1 (representación de v.a. intercambiables 0-1)
Dada una colección de v.a. intercambiables que toman los valores 0 ó 1, existe una función de distribuciónT() tal que la funcion de masa S {[1=
{1> ====> [q= {q} puede ponerse como
(1.7.2) S{[1= {1> ====> [q= {q} = Z 1 0 q Y l=1 {l(1 )13{lgT()=
La demostración puede verse en Sudderth (1976). ¥
Interesa enfatizar el significado intuitivo del teorema, que está diciendo que si la muestra es de v.a. intercambiables con valores0 ó 1, se puede mod- elizar de manera que las v.a.[l| sean independientes y con distribución de
Ehuqrxool(); y el valor de se puede suponer obtenido mediante una fun- ción de distribución, lógicamente en el intervalo[0> 1]. Es decir que si en una determinada situación práctica, existe incertidumbre sobre variables aleato- rias que toman valores0 ó 1 y las variables son intercambiables, entonces se
puede suponer que se está trabajando con una distribución de probabilidad de la forma S{[1= {1> ====> [q= {q} = Z 1 0 q Y l=1 {l(1 )13{l ()g()>
siendo () una densidad en el intervalo [0> 1], es decir, una función positiva
tal que Z
1
0 ()g = 1=
La noción de v.a. intercambiables, fué introducida por De Finetti (1972) y es central en la aproximación a la inferencia que recibe el nombre de inferencia bayesiana. El siguiente ejemplo, pone de manifiesto la diferencia entre independencia e intercambiabilidad en el contexto de v.a. cero-uno. Ejemplo 1.7.3
La colección de v.a.[l| son i.i.d. con distribución [l| Ehuqrxool() y
es una v.a. con distribución uniforme en el intervalo(0> 1) X(0> 1)= Las y=d= [1> ===> [q son intercambiables y sin embargo no son independientes,
con lo que la colección ([1> ===> [q) no es una m.a.s.
En efecto, por el teorema de la probabilidad total en su versión continua S{[1= {1> ===> [q = {q} =
Z 1
0 S{[1= {1> ===> [q= {q|}g
por ser[l| independientes y con distribución de Ehuqrxool()
S{[1= {1> ===> [q = {q} = Z 1 0 q P 1 {l(1 )q3 q P 1 {lg=
Finalmente, por la definición de la funciónEhwd R1 0 q P 1 {l(1 )q3 q P 1 {lg = Ehwd(Pq 1 {l+ 1> q q P 1 {l+ 1) = w!(q3w)!(w31)! siendow = Pq
l=1{l= Por lo tanto las v.a. [1> ===> [q son intercambiables.
Por otro lado
S{[l= {l} = R1 0 {l(1 )13{lg = {l!(13{l)! 2 y evidentemente w!(q w)! (w + 1)! 6= q Y l=1 {l!(1 {l)! 2 luego las variables[lno son independientes.