First Tabulation: The Most Needed Action

Frente a un Evento Aleatorio, lo primero a definir es la lista de resultados posibles distinguibles por el observador. A esta lista la llamaremos Espacio Muestral . Mientras mayor sea la cantidad de elementos del Espacio Muestral mayor ser´a la falta de informaci´on (es decir el azar). En el caso de una cantidad finita de resultados posibles se habla de un Espacio Muestral Discreto.

Los ejemplos cl´asicos de Espacios Muestrales Discretos provienen de los juegos de azar, por ejemplo, cara o sello como valor de la cara superior al lanzar una moneda. El tiempo de vida de una ampolleta (o una persona, en una versi´on m´as tr´agica) resulta no ser discreto puesto que puede ser cualquier n´umero real positivo.

En una definici´on m´as formal, el Espacio Muestral se representar´a como un con- junto y se utilizar´a toda la estructura de la Teor´ıa de Conjuntos para dar definiciones, demostrar propiedades y realizar c´alculos.

Un mismo Evento Aleatorio puede dar pie a distintos Espacios Muestrales que, inclusive, podr´ıan ser en algunos casos discretos y en otros no. Esto resulta ser extre- madamente importante y muchas veces no queda tan claro. Por ejemplo, un cl´asico de los juegos de azar es lanzar un dado. El Evento Aleatorio es el lanzamiento del dado. Se asume que es evidente que lo relevante de este Evento es el valor que se observa en la cara superior del dado al dejar de rodar. Es decir, el Espacio Muestral Discreto que est´a formado por los n´umeros del 1 al 6. Esto porque en nuestra cultura es lo que habitualmente interesa en los juegos de dados. Es posible que en otras culturas y/o aplicaciones se considere otra caracter´ıstica del experimento, que podr´ıa ser inclusive un Espacio Muestral infinito.

Determinar el Espacio Muestral correcto puede resultar m´as dif´ıcil de lo que parece. Del ejemplo anterior queda claro que el Evento por s´ı solo no permite definir el Espacio Muestral. Es necesario determinar el inter´es en el Evento Aleatorio para poder definir el Espacio Muestral adecuado. Por ejemplo, en el caso del dado, ganar el juego depende del n´umero de la cara superior, esos n´umeros formar´an el Espacio.

Es fundamental entender la importancia de seleccionar un Espacio Muestral. Este es el primer paso para Modelar nuestro Evento Aleatorio y para esto se debe tener un objetivo claro. No se modela por el puro placer intelectual de hacerlo. Una manera tradicional de fijar el objetivo consiste en decidir qu´e tipo de preguntas son las que se quiere responder. Volviendo a nuestro ejemplo del lanzamiento del dado. Es muy diferente modelar pensando en preguntas del estilo, ¿cu´al es la probabilidad de obtener un seis? que modelar pensando en, ¿cu´al es la probabilidad que el dado ruede por m´as de 5 segundos?.

Por desgracia, tener claro el objetivo tampoco define por completo el Espacio Muestral. Un ejemplo cl´asico, que mencionamos en la historia de las probabilidades, proviene de considerar el Evento Aleatorio de lanzar una moneda dos veces. Podemos considerar como resultados posibles el n´umero de caras obtenidas lo que nos da 0, 1 o 2 o bien la lista de resultados que nos da cara-cara, cara-sello, sello-cara y sello-sello. Ambos Espacios Muestrales son adecuados para responder preguntas, por ejemplo, respecto a cuales son las posibilidades de obtener dos caras seguidas. Veremos, sin embargo, que al momento de cuantificar cu´an probables son los resultados posibles, el que aparentemente es m´as directo para resolver el problema, es decir, el n´umero de caras obtenidas, no es el m´as adecuado puesto que es m´as natural cuantificar los resultados posibles para el otro caso.

2.2.1 El Problema de las 12 Monedas

Es sorprendente la cantidad de informaci´on que se puede obtener tan solo consideran- do la noci´on de Espacio Muestral; Por ejemplo, consideremos el Evento Aleatorio con una bolsa con 12 monedas de las cuales una es falsa ( la ´unica manera de distinguirla es que su peso es significativamente distinto del de las otras). Si se nos da una balanza de contrapeso, la pregunta a resolver es la cantidad m´ınima de veces que podemos utilizar la balanza para determinar la moneda falsa. Este es un problema cuyo origen se pierde en la historia, pero que resulta ser un cl´asico como problema de ingenio; Ha sido resuelto de m´ultiples maneras por ilustres personajes entre los que destacamos a Martin Gardner.

El Espacio Muestral natural para encontrar la moneda falsa son 12 resultados posibles, uno por cada moneda. Si utilizamos la balanza una sola vez, s´olo obtenemos 3 resultados distinguibles que corresponden a cuando el lado izquierdo de la balanza pesa m´as, menos o igual que el lado derecho. Es claro que el n´umero de posibilidades no alcanza para obtener una respuesta a nuestro problema, no es posible decidir entre 12 posibilidades utilizando 3. Si usamos la balanza 2 veces, el n´umero de resultados posibles ser´a 3· 3 = 9, que todav´ıa no es suficiente. Al usarla 3 veces, obtenemos 3· 3 · 3 = 27. Por lo tanto, la conclusi´on es que al menos se debe utilizar la balanza 3 veces para encontrar la moneda falsa.

Si s´olo utilizamos 2 resultados posibles por cada uso de la balanza, por ejemplo, si ambos lados pesan igual o distinto necesitaremos utilizarla 4 veces en vez de 3!!.

Es importante aclarar que no hemos resuelto el problema (ni estamos cerca de hacerlo) pero s´ı, hemos sido capaces de determinar que la balanza debe ser utilizada al menos 3 veces en un caso y 4 veces en el otro, considerando s´olo el concepto de Espacio Muestral como herramienta. Si no fuese posible resolver el problema con 3 usos de la balanza esto, quiere decir que la informaci´on ´util por cada uso de la balanza no es 3 sino tan solo 2.