Task 3: 1PP-3PP Task

La ecuación de cuarto grado es de la forma 𝑥4_{+ 2𝑝𝑥}3_{+ 𝑞𝑥}2_{+ 2𝑟𝑥 + 𝑠 = 0 …. (1)} Para obtener la solución a la ecuación (1) descomponemos en dos ecuaciones de segundo grado y esto se consigue de la siguiente manera:

Sumamos a cada miembro de la ecuación (1) (𝑎𝑥 + 𝑏)2

𝑥4_{+ 2𝑝𝑥}3_{+ (𝑞 + 𝑎}2 _)𝑥2_{+ 2(𝑟 + 𝑎𝑏)𝑥 + 𝑠 + 𝑏}2 _{= (𝑎𝑥 + 𝑏)}2 _{…. (2)}

Donde 𝑎, 𝑏 son cantidades por determinar, de tal manera que el primer miembro sea un cuadrado perfecto.

Suponiendo que el primer miembro de la ecuación (2) sea igual a (𝑥2+ 𝑝𝑥 + 𝑘)2 es decir: 𝑥4_{+ 2𝑝𝑥}3_{+ (𝑝}2_{+ 2𝑘 )𝑥}2_{+ 2𝑝𝑘𝑥 + 𝑘}2 _{= (𝑎𝑥 + 𝑏)}2_{… (3)}

Comparando las ecuaciones (2) y (3) se tiene:

𝑝2_{+ 2𝑘 = 𝑞 + 𝑎}2 𝑝𝑘 = 𝑟 + 𝑎𝑏

𝑘2 = 𝑠 + 𝑏2 Eliminando 𝑎 𝑦 𝑏 de estas ecuaciones se tiene:

𝑝2_{+ 2𝑘 = 𝑞 + 𝑎}2 _{⇒ 𝑎}2 _{= 𝑝}2_{+ 2𝑘 − 𝑞} 𝑘2 _{= 𝑠 + 𝑏}2 _{⇒ 𝑏}2 _{= 𝑘}2_{− 𝑠}

𝑝𝑘 = 𝑟 + 𝑎𝑏 ⇒ 𝑝𝑘 − 𝑟 = 𝑎𝑏, elevando al cuadrado se tiene:

(𝑝𝑘 − 𝑟)2 _{= 𝑎}2_𝑏2 _{= 𝑝}2_{+ 2𝑘 − 𝑞 = 𝑘}2_{− 𝑠} Efectuando operaciones y agrupando se tiene:

2𝑘3_{− 𝑞𝑘}2 _{+ 2(𝑝𝑟 − 𝑠)𝑘 − 𝑝}2_{𝑠 + 𝑞𝑠 − 𝑟}2 _{= 0}

De esta ecuación siempre se halla un valor real para 𝑘 y con estos valores se hallan los valores de 𝑎 y 𝑏

Como (𝑥2_{+ 𝑝𝑥 + 𝑘)}2 _{= (𝑎𝑥 + 𝑏)}2_{, de donde:}

(𝑥2_{+ 𝑝𝑥 + 𝑘)}2_{− (𝑎𝑥 + 𝑏)}2 _{= 0 , por diferencia de cuadrados:}

[𝑥2_{+ (𝑝 + 𝑎)𝑥 + (𝑘 + 𝑏)][ 𝑥}2_{+ (𝑝 − 𝑎)𝑥 + (𝑘 − 𝑏)] = 0} Luego los valores de 𝑥 se obtiene de dos ecuaciones cuadráticas.

𝑥2_{+ (𝑝 + 𝑎)𝑥 + (𝑘 + 𝑏) = 0} 𝑥2_{+ (𝑝 − 𝑎)𝑥 + (𝑘 − 𝑏) = 0}

Solución:

 Como la ecuación es de cuarto grado es de la forma:

𝑥4_{+ 2𝑝𝑥}3_{+ 𝑞𝑥}2_{+ 2𝑟𝑥 + 𝑠 = 0}  Comparando con la ecuación dada se tiene:

𝑥4_{+ 2𝑥}3_{− 7𝑥}2_{− 8𝑥 + 12 = 𝑥}4_{+ 2𝑝𝑥}3_{+ 𝑞𝑥}2_{+ 2𝑟𝑥 + 𝑠 = 0} Donde: 2 = 2𝑝 ⇒ 𝑝 = 1

−7 = 𝑞 ⇒ 𝑞 = −7 −8 = 2𝑟 ⇒ 𝑟 = −4 12 = 𝑠

 Además, se conoce que:

2𝑘3 _{− 𝑞𝑘}2_{+ 2(𝑝𝑟 − 𝑠)𝑘 − 𝑝}2_{𝑠 + 𝑞𝑠 − 𝑟}2 _{= 0}  Reemplazando los valores: 𝑝, 𝑞 , 𝑟 𝑦 𝑠 ; se tiene:

2𝑘3_{+ 7𝑘}2_{− 32𝑘 + 12 − 84 − 16 = 0 = 2𝑘}3_{+ 7𝑘}2_{− 32𝑥 − 112 = 0} Luego por Ruffini se tiene el valor de 𝑘

2 7 -32 -112

8 60 112 𝑘 = 4

2 15 28 0

𝑎2 _{= 𝑝}2_{+ 2𝑘 − 𝑞 ⇒ 𝑎 = 4} 𝑏2 _{= 𝑘}2_{− 𝑠 ⇒ 𝑏 = 2}

𝑥2+ (𝑝 + 𝑎)𝑥 + (𝑘 + 𝑏) = 0 𝑥2_{+ (𝑝 − 𝑎)𝑥 + (𝑘 − 𝑏) = 0} Reemplazando; 𝑝 = 1 ; 𝑎 = 4 ; 𝑏 = 2 𝑦 𝑘 = 4 𝑥2− 3𝑥 + 2 = 0 ⇒ 𝑥₁ = 1 ; 𝑥₂= 2 𝑥2_{+ 5𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥} 3 = −2 ; 𝑥4= −3

APLICACIÓN DIDÁCTICA

SESIÓN DE APRENDIZAJE

TITULO: ““APLICACIÓN DE NUESTROS CONOCIMIENTOS SOBRE FUNCIONES””

I. DATOS INFORMATIVOS:

INSTITUCION EDUCATIVA : CENTRO EDUCATIVO “SAN ISIDRO” - HUACHIPA AREA CURRICULAR : Matemática

COMPONENTE : Tipos de funciones

CAPACIDAD : Comprensión y aplicación de funciones

GRADO Y SECCION : 3° “A”

TIEMPO : 120 minutos

PROFESOR : Manuel Germán Arteaga Sedano

TEMA TRANSVERSAL : Aumento de autoestima y deseo de superación hacia una mejor

calidad de vida.

CONOCIMIENTOS CAPACIDAD (Aprendizaje Esperado) VALOR/ACTITUDES 1).- PREVIOS Teoría de funciones Dominio y rango

Calculo del dominio y rango.

2).-NUEVOS

Función cuadrática

Analiza e indica que tipo de función es

en su material didáctico y responde a las

preguntas hechas en clase aumentando su

interés y autoestima para superarse en

temas posteriores.

 Responsabilidad  Puntualidad.

 Entrega oportuna de los trabajos.

 Laboriosidad

 Muestra interés y perseverancia en la

elaboración de los trabajos

individuales y grupales.

III. SECUENCIA DIDÁCTICA

SITUACIONES DE APRENDIZAJE ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS MÉTODO / TÉCNICA TIEMPO (Min.) RECURSOS ORGANIZACIÓN

Se sugiere una lectura silenciosa de 10’ para que los alumnos tengan una idea de lo

que se va a tratar la clase.

Se verificará la limpieza de espacio de

trabajo. Estudio Dirigido 10 Material didáctico RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS

¿Qué entiendes por función?

¿Qué es el dominio y rango de una

función? Lluvia de ideas 10 Pizarra y plumones CONFLICTO COGNITIVO

Se pregunta ¿Qué entiendes por función

cuadrática?

Material

El tema se utilizara en temas posteriores. Discusión 10

PROCESAMIENTO

DE LA NUEVA

INFORMACIÓN

Para desarrollar el tema se mencionará la

definición tanto textual como simbólicamente

y con sus respectivos ejemplos de:

Funciones cuadráticas Método Experimental 15 Material didáctico TRANSFERENCIA

Haciendo uso del proceso anterior y

trabajando en su cuaderno el alumno podrá:

Relacionar el tema con los temas

anteriores sobre funciones.

Diferenciar los tipos de funciones que se

ha estudiado. Estudio dirigido 30 Pizarra, y Cuaderno EVALUACIÓN (METACOGNICIÓN)

¿Qué hemos aprendido hoy?

Función cuadrática

¿Cómo lo hemos aprendido?

Relacionando el tema con las clases

anteriores y trabajando con su material

didáctico. Evaluación oral 15 Lista de Cotejo IV. EVALUACIÓN:

CAPACIDAD DE ÁREA: Gestión de Procesos

INDICADORES TÉCNICAS INSTRUMENTOS

Analiza e indica que tipo de función es

mediante su regla de correspondencia y gráfica en

su material didáctico.

Observación Sistemática.

Evaluación Oral: Diálogo

Evaluación de Ejecución: Realiza

cálculos en su cuaderno.

Lista de Cotejo

ACTITUDES Y VALORES: Responsabilidad

Resuelve los problemas hechas en clase y a la

hora indicada, fomentando el trabajo grupal, para

su desarrollo integral.

Evaluación de actitudes Ficha de seguimiento

de actitudes

V. MEDIOS Y MATERIALES EDUCATIVOS:

MEDIOS MATERIALES EDUCATIVOS

Visual

Material didáctico

Pizarra

VI. BIBLIOGRAFÍA:

PARA EL ALUMNO:

SANTILLANA. Matemática Para 3ro de Secundaria. 1ra edición. Lima – Perú.

LIBROS ACADÉMICOS

CUZCANO, Matemática- Álgebra.

SAN MARCOS, Matemática - Álgebra.

LUMBRERAS, Matemática- Álgebra.

PARA EL DOCENTE:

MISTERIO DE EDUCACIÓN. Diseño Curricular Nacional De Educación Básica Regular, Perú.

ACADEMIA ADUNI – César Vallejo. Álgebra Tomo II. Editorial Lumbreras. Lima – Perú

Escuela administrativa. (2015). Enseñanza de Funciones. Recuperado de:

www.itcr.ac.cr/escuelas/agropecuaria_administrativa/htm/cursos/noreales_funciones.../E02_NoReales_Funcion e s_Gráficas_P01.ppt

FICHA PRÁCTICA

1. Determinar si las siguientes funciones son cuadráticas.

2. Una función cuadrática de la forma 𝑦 = 𝑥2_{+ 𝑚𝑥 + 𝑚 para por el punto (1; 9).} Calcular “m”.

3. Hallar los puntos de intersección de la función 𝑦 = 2𝑥2_{− 2 con los ejes “x” e “y”} 4. Graficar la función 𝑦 = 𝑥2_{+ 2𝑥 + 1; encontrar dominio, rango, vértice e}

intersecciones.

5. Obtener dominio, rango, intersecciones y gráfica de la función 𝑦 = 𝑥2_{− 4𝑥 + 5} 6. Pasar a forma factorizada las siguientes funciones cuadráticas:

a) 𝑦 = 𝑥2_{+ 2𝑥 − 3} b) 𝑦 = 𝑥2− 6𝑥 − 7 c) 𝑦 = −𝑥2_{+ 8𝑥 − 15} d) 𝑦 = −2𝑥2_{+ 10𝑥 + 48}

7. Sea la función: 𝑦 = 𝑥2_{− 6𝑥 + 5. Estúdiala y dibújala.}

8. Calcula una función cuadrática que pase por los puntos (0, 1) (1, 0) y (−2, 9). 9. Una función cuadrática de la forma 𝑦 = 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 1 toma el valor 7 para x = -1 y}

10.Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 𝑚𝑥 + 𝑚. Determina m sabiendo que la gráfica pasa por el punto (2; 7).

11.Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2_{+ 𝑚𝑥 + 𝑛. Determina m y n sabiendo que la gráfica pasa} por los puntos (1, 0), (− 3,4).

12.Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐. Determina a, b, c sabiendo que la gráfica pasa} por los puntos (1, 0), (0, 0), (−1, 2).

13.Dibuja las siguientes funciones cuadráticas: a) 𝑦 = 𝑥2_{− 6𝑥 + 10} b) 𝑦 = 𝑥2_{− 4𝑥 + 4} c) 𝑦 = −𝑥2_{− 4𝑥 − 2} d) 𝑦 = 𝑥2− 4 e) 𝑦 = −2𝑥2_{− 𝑥 + 6} f) 𝑦 = 𝑥2+ 2𝑥 + 2

14.Identifica las siguientes funciones:

SÍNTESIS

El concepto de funciones abarca un campo extenso de estudio, en el caso de las funciones reales de variable real, el campo de acción será dado básicamente en el conjunto de los números reales.

Entenderemos por función de A en B a toda regla que asocia a cada elemento x del conjunto A un único elemento “y” del conjunto. Es decir, una función es un conjunto de pares ordenados tales que la primera componente pertenece a A y la segunda a B, de modo tal que dos pares ordenados distintos no tenga la misma primera componente. (Figueroa, 1992, pág. 154)

Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, tecnológicos, químicos o simplemente para expresar relaciones matemáticas.

Las funciones polinómicas se diferencian en el grado de su regla de correspondencia, lo que también diferenciara a cada una de sus gráficas.

Las funciones trigonométricas se desarrollan en una circunferencia donde su radio es igual a 1, formamos nuestras razones a partir de un ángulo agudo, trazado en la circunferencia en el primer cuadrante y sumamos las nociones trigonométricas ya conocidas.

Las ecuaciones polinomiales tendrán el número de raíces dependiendo del grado que tengan, es decir una de segundo grado tendrá dos raíces, una de tercer grado tendrá tres raíces y así

sucesivamente.

El método de resolución de cada tipo de ecuación varia, no siempre el procedimiento será el mismo.

Las ecuaciones polinomiales, no necesariamente tendrán todas sus raíces reales, ésta también pueden ser complejas.

APRECIACIÓN CRÍTICA Y SUGERENCIAS

Hoy en día uno de los temas más pedidos en los diversos exámenes de admisión es el de funciones; sin embargo, se puede apreciar que no es un tema del otro mundo que mediante otros temas básicos de álgebra como potenciación, radicación, productos notables, polinomios y otros temas de aritmética y geometría se pueden trabajar sin problemas. Temas bastante utilizado en la realidad que sería muy fácil de entender y despertar el interés si no se relaciona con la realidad.

Los pares ordenados, aunque no parezca lo utilizamos implícitamente en nuestra realidad, cuando se trata de trabajar dos o más elementos en forma ordenada, sería bueno encontrar más ejemplos en nuestra vida cotidiana y enseñar a los demás.

Cuando se quiere vincular todos los elementos de dos conjuntos que pueden ser de personas, animales, cosas en especial números está presente el producto cartesiano y estudiando más afondo podemos encontrar casos particulares como una relación o función.

Para la matemática es indispensable el uso de las maneras como representar gráficamente una función porque nos da un mejor panorama mejor de las de trabajar con dos conjuntos.

Las funciones es una herramienta muy importante en todos los campos del desarrollo humano de no ser utilizada la ciencia, tecnología, no podría avanzar.

Hay autores que tratan el tema de funciones, como un tema abstracto; sin embargo, mediante este trabajo se puede ver que tiene muchas aplicaciones en la realidad como física, química, biología estadística, ciencias sociales y otros.

Este tema del álgebra es un tema motivador para que el estudiante aprecie las matemáticas y no lo vea como un tema más de la matemática, es cuestión de mencionar los aplicaciones que tiene y como está influenciando en su desarrollo social, biológico, económico, etc.

Referencias Bibliográficas

Quispe, Armando. (2005). Relaciones y funciones I y II. Cuzcano. Lima. Perú. Espinoza, Eduardo. (2005). Análisis matemático I. Servicios gráficos J.J. Lima. Perú. Calderón, Antonio. (2003). Matemática básica. Universitaria. Lima. Perú.

Hasser, Norman. (2003). Análisis matemático. Trillas S.A. México.

Academia Cesar Vallejo. (2001). Álgebra y principios del análisis tomo II. Lumbreras Editores. Lima. Perú.

Academia Cesar Vallejo. (2005). Compendio Académico de Matemática-Álgebra. Lumbreras Editores. Lima. Perú.

Rey, Bernando. (2005). Enciclopedia escolar interactiva. El Comercio. Lima. Perú. Lázaro, Moisés (2017). Análisis matemático I.

Queysanne, Michel (1971). Matemática Básica. Venero, Armando (2008). Matemática Básica. Figueroa, R. (1992). Matemática Básica.

Internet

Funciones matemáticas. (2016). Obtenido de Atlantic International University:

https://www.aiu.edu/cursos/matematica/pdf%20leccion%202/lecci%C3%B3n%202.3.pdf Ecuación Cúbica. (2016).Obtenido de Colombia Documents:

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACION “Enrique Guzmán y Valle”

“

LA CANTUTA”

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA

PLAN DE CLASE MODELO

TEMA : FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

Bachiller : Arteaga Sedano, Manuel German. Miembros del jurado:

 Presidente : Mg. Luis Esteban ROJAS GUEVARA  Secretario : Mg. Aurelio Julián GAMEZ TORRES

 Vocal : Lic. Leonidas TORRES ANAYA

I. APRENDIZAJES ESPERADOS.

Se espera que al concluir la presente sesión de aprendizaje el estudiante sea capaz de:  Definir funciones reales, lineales y cuadráticas; aplicar sus propiedades en la resolución de

situaciones problemáticas.

II. CONTENIDOS DE APRENDIZAJE.

CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES

 Función  Funciones reales de variable real.  Dominio y rango y gráfica de funciones reales.  Funciones Lineales.  Funciones Cuadráticas. .

 Define una función y ejemplifica.

 Define funciones reales de variable real.

 Define el dominio, rango y grafica una función.

 Define funciones Lineales.

 Define una función cuadrática.

 Muestra

Responsabilidad.  Valoración del tema.  Disposición al

tiempo.

III. SECUENCIA DIDÁCTICA.

IV. BIBLIOGRAFÍA.

 ESPINOZA, Eduardo. (2005). “Análisis matemático I”.  LAZARO, Moisés (2017). “Análisis matemático I”.  QUEYSANNE, Michel (1971) “Matemática Básica”  VENERO, Armando (2008) “Matemática Básica”  FIGUEROA, R. (1992) “Matemática Básica”

SITUACIÓN ESTRATEGIAS MATERIALES TIEMPO

INICIO

 Presentación y motivación  Revisión de conceptos previos.

Papelógrafo. Plumones. Diapositiva

10’

PROCESO

Define ¿Qué es una función de variable real?

Calcula el dominio y rango de gráfica de funciones.

Define una función Lineal, estudia sus propiedades y gráfica.

Define una función cuadrática, estudia sus propiedades y grafica

Papelógrafo. Diapositiva. Hoja de

ejercicios.

30’

In document An investigation of self-biases in perception and visual perspective taking (Page 107-115)