Theory of Planned Behaviour

El concepto de reversibilidad en la obra de Piaget no queda definido con claridad.

“En general parece significar cosas algo distintas en contextos diferentes sin que Piaget haga un intento de resolver las diferencias mediante una definición única e inequívoca” (Flavell 1982: 450). Este aspecto es analizado en gran número de sus experimentos pero es en las pruebas específicamente sobre reversibilidad donde se identifican sus dos procesos componentes.

La prueba numérica

El experimento numérico (Piaget 1979:39) diferencia claramente, incluso en el tiempo, dos problemas a los que denomina proceso directo y proceso inverso. En el primer caso, partiendo de un número n, se pide al niño que efectúe paso a paso las siguientes operaciones:

1º.- sumar 3 a n.

2º.- multiplicar por 2 el resultado de 1º 3º.- sumar 5 al resultado de 2º. Obteniendo un número n’.

En este problema, por tanto, todas las reglas se van explicitando y aplicando para terminar obteniendo un nuevo número como efecto cuyas causas son las operaciones efectuadas.

El proceso inverso consiste en: conociendo el número n’, se pide al niño que averigüe cual fue el número n de partida teniendo en cuenta que fue calculado haciendo las mismas operaciones que antes.

Es decir, ahora sabiendo que el efecto de aplicar las operaciones fue el número n’, es necesario determinar el número n causante del resultado.

La determinación de n desde n’ precisa reconstruir el camino de n hacia n’ en orden que, siendo inverso, involucra en sí mismo otros procesos a su vez inversos, así el primer paso en la operación inversa será el último de su directa pero, no exactamente puesto que este paso consiste en una operación formal: la suma (+5) que, a su vez admite una inversa: la resta, y es esta la que opera en el proceso inverso. Lo mismo podemos decir del paso 2º que en la inversión del orden de las operaciones seguirá siendo el segundo pero consiste no en la operación que contiene (x2) sino en la inversa de esta (/2). Por último el tercer paso del proceso inverso, es el primero del proceso directo y como en los casos anteriores consiste en una operación (+3) así mismo inversible (-3).

Es decir, la operación inversa y su directa tienen la siguiente relación:

Directa Inversa

1º.- sumar 3 a n. 1º.- restar 5 a n’

2º.- multiplicar por 2 el resultado de 1º 2º.- dividir entre 2 el resultado de 1º 3º.- sumar 5 al resultado de 2º 3º.- restar 3 al resultado de 2º Vemos en este ejemplo el campo de aplicación de la reversibilidad que opera a un doble nivel. Por una parte: el nivel más bajo o primero relativo a las operaciones, donde cada una es invertida en relación con ella misma, esto es la suma se invierte en resta, la multiplicación en división, por otra parte: hay una inversión del proceso del que las operaciones anteriores forman parte, así vemos como la primera operación en el problema directo, es la última en el inverso, etc.

El proceso directo se apoya en el dato de partida: el número n, las reglas de operación son explícitas, sólo es necesario aplicarlas al número n para conseguir la solución: el número n’. Por el contrario, en el proceso inverso, las reglas no se expresan, el dato de partida es el número n’ y lo es en tanto que resultado o efecto de la aplicación sobre otro de una serie de operaciones. Hay en el problema inverso un aspecto condicional, en sus datos -que no está en el problema directo- que implica en su solución un procedimiento relacionado con el propio procedimiento del problema directo -sin que lo haga explícito- que es su inverso, en el caso del ejemplo inverso en relación al proceso utilizado pero también inverso en cada una de las operaciones concretas intervinientes: suma por resta y multiplicación por división.

Identificamos en esta prueba los dos procesos que hemos distinguido en el campo matemático como de modo directo e inverso.

El proceso inverso, puede ser asumido como un problema escolar de cálculos algorítmicos. Los siguientes enunciados son un ejemplo:

“La edad de un padre es 11 años más que el doble de la edad de su hijo. Si el padre tiene 69 años ¿Cuántos años tiene el hijo?”.

“La edad de un padre es 5 años más que el doble mas tres de la edad de su hijo. Si el padre tiene 69 años ¿Cuántos años tiene el hijo?”.

Ambos conservan la similitud con el proceso inverso de la prueba Piagetiana con la única diferencia del contexto de referencia. En el caso de estos problemas las relaciones están implícitas mientras son mucho más explícitas en el caso de la prueba Piagetiana, especialmente por su vinculación en el tiempo con su problema directo asociado.

El proceso directo igualmente puede representar una actividad escolar de cálculo algorítmico por ejemplo:

“Un chico tiene 10 años ¿Cuál es la edad de su padre si este tiene 5 años más que el doble más tres de los años de su hijo?”

La diferencia de este último problema con el proceso directo de la prueba Piagetiana está en el contexto que pone de relieve la situación, sin embargo, este probablemente sería considerado menos interesante por muchos profesores de matemáticas debido a su carácter directo y explícito.

Pero, la relación operacional que este problema presenta, se prolonga hacia otros campos matemáticos en los cuales éste es tratado como objeto.

Este es el caso, por ejemplo, del problema de interpolación enunciado de la siguiente forma:

“Encontrar la relación que liga a los números de la columna 1 con los números de la columna 2 Columna 1 Columna 2 1 13 2 15 3 17 4 19 ...”

El papel de los número origen (columna 1) o de los números resultado (columna 2) es indistinto, ninguno es anterior al otro y en cambio ambos forman parte de un único problema que vincula los números en columna 1 con los de columna 2, en cualquier sentido. Observamos, en este ejemplo, que el problema que constituye la prueba piagetiana, se convierte aquí en objeto.

El reconocimiento de la operación en ámbitos o situaciones implícitas, supone el descubrimiento de la misma allá donde esté aplicada e implica los procesos de tipo inverso.

Tenemos así la presencia de la reversibilidad a nivel de operaciones y a nivel de operaciones de operaciones formando parte de un proceso equivalente en este contexto al de la encapsulación.

Las pruebas no formales

Para los niños más pequeños Piaget plantea una prueba con dos experimentos consistentes en armar y desarmar una lámpara y un cubo. En el caso de la lámpara las piezas necesitan un orden de colocación secuencial. No así en el caso del cubo en el que las piezas resultan intercambiables. En este último caso, el más sencillo, la inversión es una inversión del proceso únicamente. Igualmente, en este caso, la prueba se fragmenta en dos también separadas y diferentes: una de armar y otra de desarmar.

En el caso de la lámpara sin embargo hay también un doble proceso de inversión: no sólo hay que armar y desarmar sino que el orden en que se desmontan las piezas es inverso al orden en que se montan, por tanto, aquí se une una inversión propia de cada pieza particular en el sentido de que la pieza desmontada en i-ésimo lugar entre las n que componen la totalidad, es usada en el proceso de armado en el lugar (n-i)- ésimo complementario del anterior. Así la primera pieza que se quita es la última que se pone y recíprocamente.

El interés desde el punto de vista de la reversibilidad en todas las pruebas está en el vínculo que el sujeto establece entre un proceso y otro.

De acuerdo con esta concepción es necesaria la equilibración, es decir, la reversibilidad de pensamiento, en de todos los estadios operacionales previos a los formales y, por tanto es necesario que el sujeto pueda resolver sus dos problemas integrantes entre operaciones no formales.

Las pruebas de reversibilidad ponen de manifiesto que, si bien el niño es capaz, en diversas medidas según la edad, de resolver uno de los procesos, no lo es, en la misma medida, de resolver el otro.

2.3. Nuestro marco referencial: estadio de operaciones concretas piagetiano