Traffic state estimation and prediction at signalized intersections based on

En este caso, para ahorrar tiempo y evitar errores, mostraré únicamente el resultado con Mosek, que es la herramienta más rápida.

La relación señal-ruido elegida es SNR=0dB. Con este dato, la elección óptima de ε se obtiene de la gráfica 6.16, y es ε = 9,7. Para valores mayores de 10 el problema es inviable.

El diagrama de radiación resultante lo tenemos en la figura 6.17, donde se incluyen el conformador óptimo, el SMI y el LSMI. Se comprueba que las

6.4. SIMULACIONES 161 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10  SINR SNR = 0 dB -20 -15 -10 -5 0 5 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 SNR SINR  = 2.0 SINR_óptimo SINR_SMI SINR_LSMI

SINR_{Matlab (directo con )} (valores correctos) SINR_{Matlab (directo con )} (valores erróneos) SINR_{Matlab (con Hessiano)} (valores correctos) SINR_{Matlab (con Hessiano)} (valores erróneos)

Figura 6.15: Parámetros de decisión para el diagrama de radiación con 10 antenas.

opciones no robustas tienen una forma muy diferente de la óptima, mientras que la solución robusta se aproxima al óptimo con mucha precisión. La principal diferencia es un factor de escala que está corregido en la figura, ya que nuestro problema no impone que el diagrama sea igual a 1 en la dirección apuntada. El motivo es que las restricciones no lineales de nuestro problema tienen que ser de desigualdad para que sea convexo. Este factor no afecta al funcionamiento de la agrupación, pues ya hemos estudiado en la asignatura de transmisión y propagación que habitualmente los diagramas de radiación se representan normalizados con respecto la dirección apuntada.

Pero además, podemos comprobar nuestra medida de calidad en la figu- ra 6.18, donde apreciamos que el conformador robusto se diferencia nota- blemente de las soluciones SMI y LSMI especialmente para valores altos de SNR, resultando más eficiente frente a la autoanulación.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -15 -10 -5 0 5 10 15 20  SINR SNR = 0 dB SINR_óptimo SINR_SMI SINRLSMI SINRMosek

Figura 6.16: SINR vs. ε para N=100 antenas, utilizando Mosek.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20  Respuesta SNR = 0,  = 9.7 Óptimo SMI LSMI Mosek

6.4. SIMULACIONES 163 -20 -15 -10 -5 0 5 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 SNR SINR  = 9.7 SINR_óptimo SINR_SMI SINRLSMI SINRMosek

6.5

Conclusiones

En este capítulo hemos aplicado un conjunto representativo de las herra- mientas descritas en el capítulo Capítulo 5 al problema de conformación de haz. Hemos comenzado por revisar las diferentes tendencias de investigación que hay publicadas sobre este tema, con diferentes aplicaciones en recepción y en transmisión. La presentación de las diferentes opciones me ha servido para comprender la conexión existente entre este capítulo y el siguiente, que también consiste en una aplicación de las agrupaciones de antenas.

La comparativa de herramientas se ha reflejado en todos los pasos del problema. Respecto a la implementación, la conclusión es que disponemos de diferentes enfoques dependiendo de los datos que tengamos sobre el proble- ma. Desde §2.1 he comentado que la parte más laboriosa de la optimización convexa está en la definición del problema y la manera de convertirlo en un formato convexo. Si no somos capaces de encontrar un problema convexo equivalente, tenemos la opción de utilizar Matlab Optimization Toolbox o Mathematica, pero hemos visto que nos podemos encontrar con soluciones erróneas. Las probabilidades de éxito aumentarán si las funciones utiliza- das son derivables y conocemos su expresión analítica, aunque en este caso tampoco está asegurado encontrar solución. Si conseguimos plantear nuestro problema en forma convexa, pero no encontramos exactamente la forma de expresarlo en alguno de los formatos estándar descritos en la figura 3.1 y en general, en el tema 3, entonces nuestra mejor opción será buscar la forma de cumplir las normas de programación convexa disciplinada [Gra06, Gra11], o buscar otra herramienta de modelado como las descritas en §5.3. En este caso tenemos que conocer las funciones convexas con las que puede trabajar CVX, y la forma de combinarlas teniendo en cuenta la teoría de los capí- tulos 2.3 y 2.2, para conseguir describir nuestro problema. Por último, y avanzando un paso más en orden de complejidad, si somos capaces de plan- tear nuestro problema en un formato estándar, entonces podemos conseguir mayor velocidad de procesamiento con las herramientas de resolución como SeDuMi o Mosek. En este último caso, además de ser el más rápido con nuestro ejemplo, podríamos sacarlo de Matlab y utilizarlo en un programa hecho a medida por ejemplo en C, para aplicaciones prácticas.

Hemos visto que Matlab Optimization Toolbox y Mathematica son más intuitivas, y nos permiten una descripción de las funciones prácticamente como las planteamos inicialmente, aunque los resultados han demostrado que esta facilidad tiene un coste elevado en términos de fiabilidad. El plan- teamiento con CVX también es bastante intuitivo, aunque requiere un grado mayor de rigidez respecto a las normas de definición. La utilización directa de los solvers SeDuMi y Mosek necesitan trabajo para conseguir el problema en formato estándar.

Respecto a la calidad de los resultados, Las herramientas convexas dan valores prácticamente iguales. El problema lo encontramos en Matlab Op-

6.5. CONCLUSIONES 165 timization Toolbox y en Mathematica. El primero aporta soluciones menos precisas, pero cuando da errores, estos no se alejan demasiado del valor co- rrecto. El segundo da soluciones iguales a las herramientas convexas, pero cuando no converge los resultados son inaceptables.

Capítulo 7

Canales MIMO

Este capítulo contiene otra aplicación de las herramientas de optimización convexa: el diseño de las matrices de precodificación y detección lineal en sistemas con múltiples antenas en transmisión y en recepción. Para el desa- rrollo de este tema me he basado en la tesis doctoral de Daniel Pérez Palomar [Pal03a], que unifica diferentes criterios de calidad para el diseño de la es- tructura del transmisor y el receptor. En mi caso he seleccionado dos de los criterios utilizados en [Pal03a] y he procurado que mi trabajo aportara un beneficio sobre las soluciones de dicha tesis en lugar de intentar simple- mente reproducir sus resultados. La mayor parte de los casos de [Pal03a] se resuelven con algoritmos de water-filling adaptados a cada ejemplo y se pueden desarrollar sin necesidad de utilizar herramientas comerciales de op- timización, por lo que la aportación de estas se tiene que centrar en aquellos ejemplos en los que [Pal03a] no da una solución cerrada. Por este motivo me pareció que era interesante implementar una técnica que se estudia en la citada tesis para reducir los picos de señal que se producen en la modulación

OFDM, que conocemos como PAR1 _{o PAPR}2_{. En este caso las herramien-}

tas de optimización convexa nos permiten añadir nuevas restricciones sin necesidad de volver a diseñar el modelo inicial por completo.

Para revisar el esquema de este capítulo, comenzaremos con el contexto del problema tratado describiendo el modelo del canal y la formulación. Se incluye un repaso teórico de temas que hemos visto en la asignatura de comunicaciones móviles, aunque con la perspectiva particular de nuestro problema en concreto. Estos aspectos se tratan en §7.2 y §7.3 siguiendo la línea argumental de [Pal03a].

Del mismo modo que en el capítulo anterior, en §7.4 se describen las ca- racterísticas del procedimiento de implementación para varias herramientas de optimización seleccionadas con los mismos criterios que en el capítulo anterior, salvo que en este tema, en vista de que en la aplicación de confor-

1_{Peak to Average Ratio} 2

Peak to Average Power Ratio

mación de haz los programas de optimización global no siempre convergían a resultados correctos, no los he utilizado porque las conclusiones del tema 6 son suficientes para comprender su funcionamiento. En definitiva, en este capítulo he utilizado un sistema de modelado (CVX ) y dos solvers (SeDuMi y Mosek). En §7.4 se detallan las operaciones necesarias para convertir la formulación de [Pal03a] en un formato de problema SOCP, para lo que ha sido necesaria toda la teoría estudiada en la primera parte de este trabajo. El apartado §7.5 contiene un esquema de los bloques de código que compo- nen la simulación, y la sección §7.6 proporciona los resultados obtenidos de las simulaciones. Por último, se extraen las conclusiones más importantes de este tema en §7.7.

7.1

Motivación

En general, se puede hablar de sistemas MIMO no sólo en el caso de múlti- ples antenas, sino para una gran variedad de sistemas que se pueden modelar como esquemas con múltiples entradas y salidas. Por ejemplo, se pueden es-

tudiar con este planteamiento sistemas de transmisión DSL3 con múltiples

cables entre los que hay acoplamiento, o incluso sistemas selectivos en fre- cuencia con una sola antena en transmisión y en recepción, tomando como entradas y salidas vectores en la dimensión de los retardos.

Este capítulo se hace especialmente interesante porque contiene un pro- blema de optimización convexa tratado en la asignatura de comunicaciones móviles. También está relacionado con el capítulo anterior, ya que pode- mos considerar algunas aplicaciones de conformación de haz como un caso particular de sistema MIMO.