17.2.1.
Un ´unico bloque continuo
En la Fig. 17.2 se muestra un sistema continuo precedido de un muestreador. El objetivo ser´a deter- minar la salida del sistema.
G(s) C(s) R(s) R*(s)
T
Figura 17.2: Bloque continuo despu´es de un muestreador La salida del sistema es:
Si existiera un nuevo muestreador despu´es de la salida (entonces el usuario del sistema s´olo ser´ıa capaz de conocer la salida en los instantes de muestreo), la se˜nalC(s) muestreada ser´ıa, por definici´on:
C∗(s) = 1 T ∞ X n=−∞ C(s−jnωs) (17.2)
Usando la expresi´on (17.1), ser´ıa:
C∗(s) = 1 T ∞ X n=−∞ R∗(s−jnω s)G(s−jnωs) (17.3)
Como las funciones muestreadas son peri´odica, se cumple que:
R∗(s) =R∗(s−jnωs), (17.4) y por tanto: C∗(s) =R∗(s)1 T ∞ X n=−∞ G(s−jnωs) (17.5) C∗(s) =R∗(s)G∗(s) (17.6) Comparando las ecuaciones (17.1) y (17.6) se puede definir la “operaci´on muestreo” en una ecuaci´on en el dominio de Laplace y pasar directamente de una a otra. Tambi´en se puede dar la expresi´on equivalente enZ de la ecuaci´on (17.6):
C(z) =R(z)G(z) (17.7)
17.2.2.
Bloques continuos con muestreador intermedio
En la Fig. 17.3 se muestra un sistema con dos bloques que representan sistemas continuos con una muestreador intermedio. Se supondr´a que todos los muestreadores poseen igual periodo de muestreo y est´an “sincronizados”. G2(s) C(s) Y(s) Y *(s) T G1(s) R(s) R*(s) T
Figura 17.3: Bloques continuos con muestreador intermedio Las ecuaciones que se pueden plantear para el sistema son:
C(s) =Y∗(s)G2(s)
Y(s) =R∗(s)G 1(s)
)
, (17.8)
donde no es posible sustituir la segunda en la primera. Si aplicamos la “operaci´on muestreo” a las dos ecuaciones (a partir de ahora se dir´a “muestrear una ecuaci´on”) resulta:
C∗(s) =Y∗(s)G∗2(s)
Y∗(s) =R∗(s)G∗ 1(s)
)
, (17.9)
y ahora ya se puede reducir el sistema de dos ecuaciones en:
C∗(s) =R∗(s)G1∗(s)G∗2(s). (17.10) Estrictamente hablando, no hubiera sido necesario muestrear la primera ecuaci´on para reducir las dos ecuaciones a una sola. Muestreando s´olo la segunda ecuaci´on se hubiera llegado a la siguiente expresi´on para la salida:
C(s) =R∗(s)G∗
1(s)G2(s). (17.11)
Y con (17.11) se puede obtener (17.10) aplicando a su vez la operaci´on muestreo. En cualquier caso, en los sistemas discretos que se pretende estudiar, siempre se presta atenci´on a la salida muestreada en lugar de a la salida continua (por tanto, aunque realmente no lo haya, siempre se supone que despu´es de la salida continua hay un muestreador final).
17.2.3.
Bloques continuos sin muestreador intermedio: el problema de la con-
voluci´on
En la Fig. 17.4 se muestra un sistema con dos bloques continuos sin una muestreador intermedio. Las ecuaciones que se pueden plantear para el sistema son:
C∗(s) =Y(s)G2(s) Y(s) =R∗(s)G1(s) ) , (17.12) en definitiva: C(s) =R∗(s)G1(s)G2(s). (17.13) Muestreando la ecuaci´on: C∗(s) =R∗(s)[G1(s)G2(s)]∗ (17.14) Evidentemente este caso se reduce al presentado en el apartado 17.2.1 si se simplifican previamente los dos bloques continuos por su producto. Lo que se quiere destacar es que al muestrear una ecuaci´on s´olo se pueden “sacar fuera de la operaci´on muestreo” las se˜nales que ya est´en muestreadas, y calcular la transformada de Laplace muestreada del producto de todas las que sean continuas. Esto equivale a decir que en el anterior paso de (17.3) a (17.5) s´olo pueden salir del sumatorio las se˜nales muestreadas.
G2(s) C(s) Y(s)
G1(s) R(s) R*(s)
T
Figura 17.4: Bloques continuos sin muestreador intermedio Escribiendo la expresi´on equivalente en el dominioZ de la ecuaci´on (17.14):
C(z) =R(z)Z[G1(s)G2(s)] (17.15) Dado que:
Z[G1(s)G2(s)]6=Z[G1(s)]Z[G2(s)] =G1(z)G2(z), (17.16) por tanto:
C(z) =R(z)Z[G1(s)G2(s)]6=R(z)G1(z)G2(z) (17.17) En el siguiente ejemplo se muestran en distintos pasos la forma correcta de aplicar la operaci´on muestreo a una ecuaci´on en el dominio de Laplace:
A(s) =B(s)C∗(s)D(s)E(s)F∗(s) (17.18) [A(s)]∗= [B(s)C∗(s)D(s)E(s)F∗(s)]∗ (17.19)
A∗(s) =C∗(s)F∗(s)[B(s)D(s)E(s)]∗ (17.20) Con el mismo ejemplo se muestra laforma incorrecta de muestrear la ecuaci´on:
A(s) =B(s)C∗(s)D(s)E(s)F∗(s) (17.21) [A(s)]∗= [B(s)C∗(s)D(s)E(s)F∗(s)]∗ (17.22)
A∗(s)6=B∗(s)C∗(s)[D(s)E(s)]∗F∗(s) (17.23) Es muy importante manejar muy bien la operaci´on muestreo para conseguir simplificar correctamente los diagramas de bloques que mezclan partes continuas y partes discretas.
17.2.4.
Sistemas en lazo cerrado
Con las indicaciones de los apartados anteriores, se calculan en este apartado las salidas muestreadas de varios sistemas de control realimentados con muestreadores en alg´un punto del lazo.
Para el caso de la Fig. 17.5 donde se muestrea s´olo el error, la salida es:
C∗(s) = G∗(s) 1 + [G(s)H(s)]∗R
∗(s) (17.24)
Como se ve en la ecuaci´on (17.24), es posible obtener una funci´on de transferencia en lazo cerrado que relacione la referencia muestreada con la salida muestreada.
H(s) C(s) R(s) G(s) – T
Figura 17.5: Ejemplo 1 de sistema en lazo cerrado
La salida para sistema de la Fig. 17.6, donde se supone que los muestreadores est´an sincronizados, es:
C∗(s) = G ∗(s) 1 +G∗(s)H∗(s)R
∗(s) (17.25)
De nuevo es posible obtener una funci´on de transferencia en lazo cerrado que relacione la referencia muestreada con la salida muestreada. Sin embargo, la ecuaci´on caracter´ıstica es distinta.
H(s) C(s) R(s) G(s) – T T
Figura 17.6: Ejemplo 2 de sistema en lazo cerrado En el caso del sistema de la Fig. 17.7, la salida es:
C∗(s) = [G(s)R(s)]∗
1 + [G(s)H(s)]∗ (17.26) donde no es posible encontrar una funci´on de transferencia en lazo cerrado que relacione la referencia muestreada con la salida muestreada. Sin embargo, esto no es una dificultad para el ingeniero ya que, en cualquier caso, es posible identificar la ecuaci´on caracter´ıstica del sistema. Dicha ecuaci´on caracter´ıstica es el denominador de la salida muestreada C∗(s) igualado a cero. Es interesante se˜nalar que tanto el sistema del ejemplo 1 como el del ejemplo 3 tienen la misma ecuaci´on caracter´ıstica.
H(s) C(s) R(s) G(s) – T
Figura 17.7: Ejemplo 3 de sistema en lazo cerrado
La salida del cuarto ejemplo de sistema en lazo cerrado que aparece en la Fig. 17.8 es:
C∗(s) = G∗2(s)[G1(s)R(s)]∗ 1 + [G1(s)G2(s)H(s)]∗
, (17.27)
donde tampoco es posible encontrar la funci´on de transferencia muestreada en lazo cerrado, pero s´ı la ecuaci´on caracter´ıstica del sistema.
H(s) C(s) R(s) G2(s) – T G1(s)
Figura 17.8: Ejemplo 4 de sistema en lazo cerrado
En cambio, calculando la salida del sistema de la Fig. 17.9, s´e es posible identificar la funci´on de transferencia en lazo cerrado del sistema de control:
C∗(s) = G ∗ 1(s)G∗2(s) 1 +G∗ 1(s)[G2(s)H(s)]∗ R∗(s), (17.28)
H(s) C(s) R(s) G2(s) – T G1(s) T
Figura 17.9: Ejemplo 5 de sistema en lazo cerrado
Realizando los ejemplos de este apartado es posible encontrar muchas dificultades a la hora de sim- plificar las ecuaciones de un sistema muestreado. En concreto, la clave es saber cu´ando hay que usar la operaci´on muestreo sobre una ecuaci´on y cu´ando no.
En el siguiente apartado se describe un m´etodo que evita todos estos problemas, es decir, siguiendo sus pasos siempre ser´a posible encontrar la salida muestreada del sistema.