Two step method

Las salidas y entradas de energía térmica en un punto de la corriente se determinan a partir de los términos Ja y Js, este último sólo para el término que

depende de la temperatura de los sedimentos, según se discutió en el numeral anterior.

El desarrollo y detalle de los métodos de cálculo de esas variables son ampliamente abordados en textos (Chapra S. C., 1997), (Garcia Q, 2008), por lo que en el presente capítulo sólo se hará mención a las principales funciones influyentes y se remite al lector a los textos de la referencia para mayor detalle. Uno de los aspectos más importantes que se debe mencionar es que todos los términos y la mayoría de los coeficientes y parámetros que intervienen en ellos, varían temporalmente y se deben incluir en el movimiento temporal del modelo. Algunos también varían espacialmente y se deben considerar condicionales que establezcan los valores de acuerdo con su ubicación de cada sección del río.

5.2.4.1Intercambio de energía en la superficie del agua. Ja.

En la Figura 22 se detalla el fenómeno de intercambio de calor en la superficie del agua (Chapra, Pelletier, & Tao, 2006), representado también en la Figura 10. El análisis de estos fenómenos se basa en el estudio de la transferencia de calor, mediante fenómenos radiantes y convectivos.

Figura 22. Componentes de Intercambio de Energía Calórica en la Superficie del Agua.

Fuente (Garcia Q, 2008) Ecuación 55 e c br an a I J J J J J (0) I(0) Jan Jbr Jc Je

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Donde I(0) es la radiación solar en la superficie del agua, Jan, la radiación

atmosférica de onda larga, Jbres la radiación de onda larga del agua, Jc se refiere a los efectos de conducción y convección y Je es el efecto de la evaporación. Todos estos componentes se expresan en (cal/cm2_.d).

La radiación solar en la superficie del agua es un valor dado por la radiación solar fuera de la atmósfera terrestre, Io, que depende de la inclinación y distancia entre el Sol y la Tierra. Esta radiación es mitigada por factores menores a 1 que representan las pérdidas de energía debido a la atenuación atmosférica αt, la atenuación por nubosidad αc, la fracción reflejada por el albedo, Rs y la fracción

bloqueada por sombra efectiva Sf.

Ecuación 56

Los valores de Jan, y Jbr se basan en la ley de Stefan – Boltzmann (Chapra, Pelletier, & Tao, 2006) que recrea el fenómeno de transferencia de calor por radiación electromagnética entre dos cuerpos con diferencia de temperatura (Holman, 1963). En cada caso se usan los coeficientes correspondientes y las ecuaciones que las definen son:

Ecuación 57 L sky air an T R J 2734 1 Ecuación 58 4 273 T J_br

La constante de Stefan-Boltzmann ó= (11,7x10-8cal/cm2·d·K4); Tair es la temperatura del aire en °C, åsky es la emisividad efectiva de la atmosfera (-) y RL

es el coeficiente de reflexión de onda larga (-) típicamente 0.03,. å es la emisividad

del agua y T la temperatura del agua en grados centígrados.

Los términos referentes a la evaporación y convección por el viento en la superficie del agua se estiman de la siguiente forma:

Ecuación 59 air s w c c f U T T J ₁ Ecuación 60 ) )( ( _{w s air} e f U e e J

En el primer caso, la diferencia de temperatura, se convierte en factor de una

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coeficiente de Bowen (0.47 mmHg/°C). En el segundo caso, que refiere las pérdidas de calor por procesos de evaporación, se relaciona la diferencia entre la presión de saturación de vapor en la superficie del agua es y la presión de vapor del aire eair con la función de velocidad del viento.

5.2.4.2Intercambio de energía en el fondo debido a la capa de sedimentos. Js.

El fenómeno que ocurre en la capa límite entre sedimentos y agua es un fenómeno de convección de calor similar al de la interface aire – agua. La ecuación que gobierna es:

Ecuación 61 i si i sed s ps s i s T T H C J 2 / , ,

Debe tenerse en cuenta que en 5.2.3, se definió que el término que incluye la temperatura del agua pasa a ser un coeficiente de las variables desconocidas.

5.2.5

El modelo matemático de temperatura se fundamenta en una ecuación diferencial de segundo orden (Ecuación 42) que tiene una componente advectiva, una componente difusiva y unos términos independientes que representan las entradas y salidas de energía térmica. El hecho de tener orden dos, demanda dos condiciones de frontera y una condición inicial para la resolución de la ecuación mediante el método de diferencias finitas. Según se comentó en 4.1, y se ilustró con la Figura 7, los valores de frontera son para un punto definido en el espacio y durante todo el tiempo de interés de la modelación. Y el valor inicial es a lo largo de toda la corriente en el tiempo inicial o to.

En ambos casos se puede partir de la Ecuación 42 para determinar los valores correspondientes, así:

En el caso de las condiciones de frontera, la derivada espacial se hace igual a cero, obteniendo que para un x dado, el comportamiento de la temperatura en el tiempo está dado por:

Ecuación 62

En donde la temperatura en un momento j depende de la temperatura en el

momento anterior j-1, más las entradas y salidas J por el incremento de

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En el caso de las condiciones iniciales, a partir de la Ecuación 50, la derivada temporal se hace igual a cero, obteniendo que para un instante dado, el comportamiento de la temperatura en todo el tramo de la corriente en estudio se puede conocer con la ecuación:

Ecuación 63

De todas maneras esta ecuación sigue siendo una solución numérica de una ecuación diferencial de segundo orden, por tanto se requieren ahora dos nuevas condiciones iniciales para esta ecuación y desarrollar la solución mediante sistemas de ecuaciones lineales.

Una alternativa viable para establecer la condición inicial de la temperatura a lo largo de toda la corriente, es estimar basado en observaciones de campo valores medios de temperatura en ciertas horas y realizar una ponderación lineal para cada sección.

Es una alternativa viable por cuanto los ciclos de luz solar diaria gobiernan en gran medida los ciclos de temperatura del aire y de los cuerpos de agua, así que se puede esperar con cierta confianza que los valores de temperatura todos los días a una hora determinada se parezcan.